曹亞群

（安徽水利水電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽合肥 231603）

1 什么是線性規(guī)劃

線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的重要分支，是合理分配及利用有限資源，以取得最佳經(jīng)濟(jì)效益的一種優(yōu)化方法。它采取的是在一系列條件約束下，獲得最優(yōu)值的數(shù)學(xué)理論[1]。線性規(guī)劃是一種數(shù)學(xué)規(guī)劃方法，滿足約束條件下，讓目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)值。它要解決的問(wèn)題通常約束條件及目標(biāo)函數(shù)是線性關(guān)系，約束條件是不等式或者等式，目標(biāo)函數(shù)取極值。線性規(guī)劃在管理學(xué)、建筑學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，例如：下料問(wèn)題、庫(kù)存問(wèn)題、運(yùn)輸問(wèn)題等。線性規(guī)劃都有一定的形式，標(biāo)準(zhǔn)形式如下：

2 線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用

在我們的實(shí)際生活中，可以利用線性規(guī)劃解決很多問(wèn)題以減少人們的工作量、節(jié)約經(jīng)費(fèi)，提高工作效率[2]。生活中一些常見(jiàn)問(wèn)題，比如兩種不同型號(hào)材料的配比問(wèn)題、話費(fèi)選用套餐問(wèn)題等，都可以用線性規(guī)劃這種統(tǒng)籌方法找到最優(yōu)解。下面，我們就以生活中某些常見(jiàn)問(wèn)題為例，說(shuō)明線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

2.1 線性規(guī)劃在合理下料問(wèn)題中的應(yīng)用

合理下料問(wèn)題是線性規(guī)劃模型中的典型問(wèn)題，建筑施工中，需要大量的各種各樣的原材料，比如：鋼材、木材、鋁合金、砂、石、塑鋼等建筑材料，而生產(chǎn)廠家只能提供一定規(guī)格的原材料，實(shí)際施工時(shí)要裁減才能得到所需要的規(guī)格，這樣必然會(huì)產(chǎn)生殘料，造成一定的損失和浪費(fèi)，所以，合理下料，盡量減少產(chǎn)生殘料，這讓建筑企業(yè)能夠減少成本投入，獲得更高的經(jīng)濟(jì)效益[3]。下面，選用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明線性規(guī)劃在下料問(wèn)題中的實(shí)際應(yīng)用。

問(wèn)題：要把20 根4 m 長(zhǎng)和25 根5 m 長(zhǎng)的同規(guī)格鋼材，截成1.5 m 的50 根，1.2 m 的80 根，如何下料廢料最少?(所有下料方法見(jiàn)表1)

表1 下料方法

解：設(shè)用以上五種方法分別各用X1，X2，X3，X4，X5，次，則min f（X）=80X1+10X2+40X3+20X4+50X4

運(yùn)用LIND0 軟件，解得X1=0，X2=20，X3=0，X4=10，X5=10，即方法2 用20 次，方法4 用10 次，方法5 用10次，廢料最少為900 cm。

2.2 線性規(guī)劃在廣告投放問(wèn)題中的應(yīng)用

如今，隨著人民生活水平的不斷提高，幾乎每家都有電視，電視的普及率已經(jīng)相當(dāng)高了。尤其是目前手機(jī)、 電腦等電子產(chǎn)品的普及更是讓人們感受到科技的力量。鑒于此，很多商家將目光投向了各種應(yīng)用媒體平臺(tái)的廣告時(shí)段，目的就是增加自己的產(chǎn)品在人們視線中的出現(xiàn)頻率。各個(gè)廣告投資商需要根據(jù)具體情況，弄清楚各個(gè)媒體平臺(tái)播放廣告的時(shí)間及所需資金，以便獲得更大的利潤(rùn)[4]。接下來(lái)我們用實(shí)際生活中的例子進(jìn)行舉例分析。

問(wèn)題：某商家在投入資金不超過(guò)80 萬(wàn)元的條件下，需要保證至少有200 萬(wàn)女性觀眾觀看廣告，其中在電視臺(tái)投入的廣告費(fèi)用不超過(guò)50 萬(wàn)元，電視臺(tái)在白天至少播出3 次，在晚上至少播出2 次，無(wú)線電廣播和雜志的廣告播放次數(shù)均不低于5 次且不超過(guò)10 次,廣告市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果如表2 所示，問(wèn)要想獲得理想的廣告效果應(yīng)該如何安排播放次數(shù)。

表2 廣告市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果

解：設(shè)電視臺(tái)的廣告在白天的播放次數(shù)為X1次，晚間的播放次數(shù)為X2，無(wú)線電廣播播放X3次，雜志的廣告刊登為X4次。則：

運(yùn)用LIND0 軟件，解得X1=3，X2=3，X3=10，X4=10，此時(shí)，總觀看人數(shù)是1 155 萬(wàn)人，女性觀看人數(shù)是510萬(wàn)人，總支出是79.5 萬(wàn)元。

2.3 在集合料問(wèn)題中應(yīng)用

解決集合料問(wèn)題必須滿足一定的條件，如種類(lèi)、含量等，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)各個(gè)條件，就是線性規(guī)劃模型中的約束條件，要求所用的運(yùn)輸費(fèi)用最省，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，就是線性規(guī)劃模型中的目標(biāo)函數(shù)，在集合料問(wèn)題中，有很多不同方案被選擇，優(yōu)化目的就是從眾多方案中選出一個(gè)最優(yōu)方案[5]。

問(wèn)題：某個(gè)筑路工地鋪設(shè)道路基層，需要10 000 m3集合料，準(zhǔn)備從兩個(gè)棄土堆取混合料，已知棄土堆A 的材料成分為：礫石含量70%，砂含量30%，棄土堆B 的材料成分為：礫石含量30%，砂含量60%，粘土含量10%，集合料的成分含量要求為：礫石含量60%,砂含量50%，粘土含量8%。從棄土堆A 取料的裝載運(yùn)輸費(fèi)為2元/m3，從棄土堆B 取料的裝載運(yùn)輸費(fèi)為3.2 元/m3。問(wèn)應(yīng)如何取料才能使總的運(yùn)輸費(fèi)用最少?

解：設(shè)從棄土堆A、B 取料數(shù)量分別為X1、X2m3，則：

解得:X1=3 333 m3，X2=6 667 m3即從棄土堆A取料3 333 m3，從棄土堆B 取料6 667 m3，這樣配料裝卸運(yùn)輸費(fèi)用最少為28 000 元。

3 結(jié)語(yǔ)

線性規(guī)劃是有力的數(shù)學(xué)工具，它的重要目標(biāo)就是規(guī)劃出各種“最優(yōu)”，即如何用最佳的方式分配有限的資源，以獲得最佳經(jīng)濟(jì)效益，如施工建筑下料問(wèn)題中節(jié)約了材料，盡量減少殘料的發(fā)生，合理下料，投資廣告問(wèn)題中獲得預(yù)期的廣告效果，集合料問(wèn)題中如何取料運(yùn)輸費(fèi)用最少，線性規(guī)劃在諸如這些生活中的具體應(yīng)用還有很多很多。