高德超

摘? 要：類比思想是人類發(fā)現(xiàn)新知識的重要源泉，是人們提高學習和生活效率的一種方法，是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的一種途徑.教學實踐表明，類比法能夠增加學生學習積極性，提高課堂教學效率，培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維能力。多元函數(shù)微分學教學中科學地應(yīng)用類比法，能夠使抽象、復雜的多元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為比較形象、簡單的一元函數(shù)，在高等數(shù)學教學中起著十分重要的作用。

關(guān)鍵詞：類比法? 一元函數(shù)? 極限? 多元函數(shù)

中圖分類號：G642.0 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2019）10（a）-0107-03

隨著我國經(jīng)濟的增長，在教育方面的大力投入，我國的高等教育已經(jīng)完成了從精英教育到大眾教育的轉(zhuǎn)變，一定程度上滿足了人們對高等教育的渴求，但是，這個快速的轉(zhuǎn)變過程中也出現(xiàn)了一系列急需解決的問題，比如教學配套設(shè)施跟不上，學生水平參差不齊，新的學生培養(yǎng)方案沒有跟上實際社會發(fā)展需求等問題;另外，2015年5月，國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于深化高等學校創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育改革的實施意見》，確立了創(chuàng)新精神、創(chuàng)業(yè)意識和創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)能力為指標的人才培養(yǎng)要求。許多應(yīng)用型本科高校積極響應(yīng)政策號召，開始大量的增加實踐科目的課時量，這對培養(yǎng)創(chuàng)新實踐型人才的培養(yǎng)十分有利，但總的課時量卻沒有增加，大幅度減少數(shù)學、英語等基礎(chǔ)學科的課時量成為必然，以某高校電氣類專業(yè)為例，原來高等數(shù)學課時量為136學時，線性代數(shù)和概率統(tǒng)計課時量為64學時，而現(xiàn)在壓縮到高等數(shù)學課時量為96學時，線性代數(shù)和概率統(tǒng)計課時量32學時，大量的課時壓縮為數(shù)學課程的教學帶來了很大的挑戰(zhàn)。

對于大眾化教育帶來的問題，目前許多研究者已經(jīng)從多角度進行了研究，趙文才等研究學者就當前大學生數(shù)學學習障礙成因進行了研究[1];楊孝平等研究學者就分層次教學法進行了研究[2];曾祥艷等研究學者就創(chuàng)新實踐能力培養(yǎng)目標下的教學方法進行了研究[3]，這些方法對有效應(yīng)對學生水平參差不齊問題，加大創(chuàng)新能力的培養(yǎng)等要求，但是，這些方法實施起來對課時量都有相對較多的要求.如何在較少的時間內(nèi)完成高等數(shù)學保質(zhì)保量的教學是亟待解決的問題，類比法的合理應(yīng)用自然就成為了高等數(shù)學教學中重要方法。

1? 教學中類比法應(yīng)用的必要性

類比法也稱類比遷移，它是指人們在解決一個新問題時，往往與過去已經(jīng)解決的相似的問題進行聯(lián)系，用其解決已有問題的程序與方法去解決新問題.類比法是人們尋找發(fā)現(xiàn)真理的一種重要方法，例如，在萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，牛頓就充分利用了自由落體與天體運動之間的類比;類比法也是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的一種途徑，如魯班發(fā)明鋸子、德雷布爾制造潛艇等，類比法更是人們提高學習和生活效率的一種方法，正如德國古典哲學家康德所說：“每當理智缺乏可靠論證的思想時，類比這個方法往往指引我們前進[4]。”類比法在數(shù)學學科的教學的作用尤為重要，科學的將類比法應(yīng)用于高等數(shù)學的教學中能夠大大地提高教學效率，能夠充分調(diào)動學生的學習積極性，加強學生的課堂參與度，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力。

2? 類比法的原則與步驟

應(yīng)用類比法時應(yīng)該遵循一定的基本原則，首先，類比的兩問題之間應(yīng)該有足夠的相似性;其次，類比是在認知個體在已有知識體系的基礎(chǔ)上進行的，即認知個體應(yīng)擁有該問題領(lǐng)域足夠的知識;最后，類比的結(jié)論要進行充分的論證，保證類比得出來的結(jié)論準確合理。

類比法的一般步驟：（1）明確研究的事物，即要明確知道研究目標（概念、性質(zhì)或方法）是什么;（2）分析目的，提出問題，即分析要研究的事物要有什么樣的基本特點，這些特點是否能與已知事物進行聯(lián)系;（3）科學類比，得出結(jié)論，此時通過與已知事物進行聯(lián)系類比，可得出類似的結(jié)論，驗證類比結(jié)論的合理性。

3? 類比法在多元函數(shù)教學中的實踐

高等數(shù)學中微分學部分的內(nèi)容主要是由一元函數(shù)微分學和多元函數(shù)微分學兩部分內(nèi)容構(gòu)成，兩部分都有其固有的特點，一元函數(shù)微分學的內(nèi)容我們易于數(shù)形結(jié)合的思路進行教學，內(nèi)容相對直觀簡單易接受，但多元函數(shù)對應(yīng)的維數(shù)較高，內(nèi)容更加復雜，不易于作圖或無法作圖，這樣直接進行教學就顯得特別抽象，不利于學生學習，教學效果低下。此時，以一元函數(shù)微分學為基礎(chǔ)，以類比法和翻轉(zhuǎn)課堂為手段，以得到多元函數(shù)微分學相關(guān)的概念、性質(zhì)與計算方法為目的，進行多元函數(shù)微分學的教學可以使教學更加形象易接受，將會大大地節(jié)約授課時間，提高教學效果，并且類比過程充分培養(yǎng)學生應(yīng)用已有結(jié)論處理未知問題的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。

類比法要求類比的兩問題之間應(yīng)有充足的表象相似性，為了滿足相似性的需求，我們先引入多元函數(shù)的點函數(shù)形式：

u=f（P），P∈D（其中D∈Rk，k∈N）

此時，多元函數(shù)與一元函y=f（x）數(shù)的形式一致，從而可以利用類比方法得到多元函數(shù)中許多概念、性質(zhì)和計算方法等。

3.1 類比法在多元函數(shù)概念中的應(yīng)用

概念的學習是高等數(shù)學學習的基礎(chǔ)，只有準確的理解掌握概念才能更好地進行后續(xù)的學習。概念的類比，需要概念本身既要有相同或高度相似的內(nèi)涵，還要有形式的高度相似性，才能得到合理的概念，否則，類比得到的概念不能保證與標準概念的相容性;另外，針對類比得到的概念還要充分分析其與已有概念的相同點和不同點，這樣既能加強學生對已有概念的記憶理解，又能促進學生對新概念本質(zhì)的理解挖掘，避免因形式的相似而混淆相關(guān)的概念，一元函數(shù)、多元函數(shù)概念的類比可見表1。

3.2 類比法在多元函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用

性質(zhì)的學習是高等數(shù)學學習的核心，性質(zhì)的正確理解應(yīng)用是高等數(shù)學應(yīng)用于其他學科前提，由于多元函數(shù)微分學中變量的增加，許多性質(zhì)的嚴格證明復雜程度大大增加，并且多元函數(shù)的圖像不易畫，這樣多元函數(shù)性質(zhì)的學習理解難度大幅度增加，此時，多元函數(shù)的性質(zhì)通過一元函數(shù)的性質(zhì)進行類比講解成為必然。通過這樣的類比講解，既能充分回顧復習一元函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，加深對一元函數(shù)性質(zhì)的理解，又能降低多元函數(shù)學習的難度，學生更容易接受。類比過程中，特別注意不同點的講解，其中選取適當?shù)姆蠢挠葹殛P(guān)鍵。一元函數(shù)、多元函數(shù)性質(zhì)的類比見表2。

3.3 類比法在多元函數(shù)解題中的應(yīng)用

多元函數(shù)問題處理時一個重要的思路就是歸化為一元函數(shù)，特別是多元函數(shù)極限問題處理，由于極限是微分學的基礎(chǔ)，多元函數(shù)的求解顯得十分重要，已經(jīng)有許多對多元函數(shù)求解的方法[5]，雖然方法很多，但整體的思路還是利用類比歸化為一元函數(shù)極限，充分利用一元函數(shù)極限求解的方法。

例 求極限。

分析：由于二元函數(shù)定義域是一個平面區(qū)域，→（0，0）的方式有無窮多中，沒辦法對此極限進行直接求解.從形式上看到應(yīng)該應(yīng)用四則運算，且分子與分母中都含有項，應(yīng)該歸化類比于一元函數(shù)。

解 原式

（其中）=0

4? 結(jié)語

實踐教學表明，類比法能夠加大學生對教學過程的參與度，增加學生學習積極性，提高課堂教學效率，培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維能力，科學地應(yīng)用類比法，能夠使是抽象的問題形象化，復雜問題簡單化，未知問題已知化，在高等數(shù)學教學中起著十分重要的作用。但是，類比法應(yīng)用時必須要遵循類比法的原則，類比得出的結(jié)論應(yīng)該有充分的論證，不能盲目亂用。

參考文獻

[1] 趙文才，侯婷，楊記明，等.大學數(shù)學學習障礙的成因與對策[J].教育與教學研究，2010，24（8）：112-114.

[2] 楊孝平，俞軍，陳萍，等.深化分層次教學提高大學數(shù)學教育質(zhì)量[J].中國大學教學，2006（3）：14-16.

[3] 曾祥艷，南江霞.基于創(chuàng)新實踐能力培養(yǎng)的大學數(shù)學教學改革研究[J].黑龍江教育：高教研究與評估，2017（5）：39.

[4] 章士藻.數(shù)學方法論簡明教程[M].南京：南京大學出版社，2006.

[5] 馮英杰，李麗霞.二元函數(shù)極限的求法[J].高等數(shù)學研究，2003，6（1）：32-33.