周家發(fā)

1 引言

關(guān)系三段論（relational syllogism）是指在前提和結(jié)論中至少有一個(gè)語(yǔ)句包含二元或更高元謂詞的三段論，有別于僅由包含一元謂詞的語(yǔ)句組成的簡(jiǎn)單三段論（simple syllogism）。這類(lèi)三段論是三段論研究的難點(diǎn)，因?yàn)樗恼Z(yǔ)句具有較復(fù)雜的句法結(jié)構(gòu)，例如帶有賓語(yǔ)或關(guān)系從句。因此，歷來(lái)對(duì)關(guān)系三段論的研究不多，由上世紀(jì)后期開(kāi)始才出現(xiàn)較多研究關(guān)系三段論的文獻(xiàn)，如[3,8,10,11,13,15,17,18,20–23]等。

上述文獻(xiàn)所研究的關(guān)系三段論大多只限于包含經(jīng)典量詞（即英語(yǔ)的“every”、“no”、“some”和“not every”）的關(guān)系三段論，經(jīng)典量詞無(wú)疑是邏輯研究中最重要的量詞，對(duì)它們作深入研究無(wú)可厚非；但如果把研究范圍僅限于經(jīng)典量詞，將會(huì)錯(cuò)失很多有效的推理。事實(shí)上，當(dāng)代很多研究三段論的學(xué)者已發(fā)掘出大量包含非經(jīng)典量詞（亦稱(chēng)“廣義量詞”）的三段論，這些非經(jīng)典量詞包括數(shù)值量詞（如[12,13,16,19]）、比例量詞（如[4,15]）、模糊量詞（如[9,15,25]）等。但上述學(xué)者所研究的包含非經(jīng)典量詞的三段論大多局限于簡(jiǎn)單三段論，如何發(fā)掘包含非經(jīng)典量詞的關(guān)系三段論，是一個(gè)值得探討的問(wèn)題。

本文主旨是介紹一種推導(dǎo)有效關(guān)系三段論的新方法，以下是本文將會(huì)討論的關(guān)系三段論實(shí)例：

(1)每個(gè)愛(ài)一個(gè)女孩的（個(gè)體）都唱了一首歌，每個(gè)男孩都愛(ài)一個(gè)女孩，所以每個(gè)男孩都唱了一首歌。

(2)在運(yùn)動(dòng)員中，除了最多兩人外，所有人都得到獎(jiǎng)項(xiàng)，至少五名男孩是運(yùn)動(dòng)員，所以至少三名男孩得到獎(jiǎng)項(xiàng)。

(3)所有馬都是動(dòng)物，幾乎所有獸醫(yī)都喜愛(ài)所有動(dòng)物，所以大多數(shù)獸醫(yī)喜愛(ài)所有馬。

(4)有人報(bào)讀了幾乎所有課程，幾乎所有課程都是必修的，在報(bào)讀了幾乎所有課程的人中，少于一半能夠結(jié)業(yè)，所以并非每個(gè)報(bào)讀了大多數(shù)必修課程的人都能夠結(jié)業(yè)。

(5)在報(bào)讀了所有必修課程的人中，除了最多兩人外，所有人都能夠結(jié)業(yè)，至少有五人報(bào)讀了所有課程，所有必修課程都是課程，所以至少有三個(gè)報(bào)讀了所有課程的人能夠結(jié)業(yè)。

(6)每個(gè)籃球員都比大多數(shù)騎師高，有游泳選手比（至少）一個(gè)籃球員高，所以有游泳選手比大多數(shù)騎師高。

(7)存在至少一個(gè)騎師，每個(gè)籃球員都比大多數(shù)騎師高，有游泳選手比（至少）一個(gè)籃球員高，所以大多數(shù)騎師比（至少）一個(gè)游泳選手矮。

上述推理實(shí)例展示了關(guān)系三段論的復(fù)雜性。由于關(guān)系三段論是有關(guān)多元量化句（即包含多于一個(gè)量詞的量化句）的三段論，而這些多元量化句可以包含不同種類(lèi)的量詞，所以其情況遠(yuǎn)較簡(jiǎn)單三段論復(fù)雜。舉例說(shuō)，(4)便同時(shí)包含模糊量詞“幾乎所有”、比例量詞“少于一半”和經(jīng)典量詞“并非每個(gè)”，(5)則同時(shí)包含數(shù)值量詞“至少五個(gè)”和經(jīng)典量詞“所有”。非經(jīng)典量詞本身已很復(fù)雜（如要在一階邏輯下處理帶有數(shù)值量詞的語(yǔ)句，必須使用復(fù)雜的表達(dá)式或者定義新的量詞；在一階邏輯下，更無(wú)法處理包含一般比例量詞或模糊量詞的語(yǔ)句），包含不同種類(lèi)量詞的關(guān)系三段論就更加復(fù)雜，無(wú)法用一階邏輯來(lái)處理。請(qǐng)注意上列實(shí)例所代表的推理格式是以往學(xué)者沒(méi)有提出過(guò)的格式，但卻可以用本文介紹的方法推導(dǎo)出來(lái)。

如前所述，對(duì)于關(guān)系三段論，歷來(lái)研究不多，這是因?yàn)檫@類(lèi)研究存在很大難度。首先，對(duì)于包含非經(jīng)典量詞的簡(jiǎn)單三段論而言，至今學(xué)者無(wú)法找出所有有效三段論格式，這是因?yàn)榉墙?jīng)典量詞的數(shù)目遠(yuǎn)多于經(jīng)典量詞的數(shù)目，而且要用到更復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具（模糊量詞尤其如此）。其次，即使就僅包含經(jīng)典量詞的簡(jiǎn)單三段論而言，傳統(tǒng)的研究也只限于符合某些特定格式的三段論，只要對(duì)這些特定格式作出更改（例如容許三段論中的大項(xiàng)／中項(xiàng)／小項(xiàng)帶有否定詞、合取詞等邏輯聯(lián)結(jié)詞，或者對(duì)大項(xiàng)／中項(xiàng)／小項(xiàng)在三段論中出現(xiàn)的次數(shù)不加限制），便已超出傳統(tǒng)三段論研究的范圍，同樣難以找出所有有效三段論格式，例如以下就是一個(gè)超出傳統(tǒng)研究范圍的有效三段論格式：

(8)所有C是B，所有非C是B，所以所有A是B。

既然上述簡(jiǎn)單三段論的研究存在一定難度，由此可知相對(duì)應(yīng)的關(guān)系三段論的研究就更是難上加難。

為此，本文采取新的研究路向。簡(jiǎn)言之，本文并不直接推導(dǎo)有效的關(guān)系三段論格式，而是把有效的關(guān)系三段論建基于（一個(gè)或多個(gè)）有效簡(jiǎn)單三段論和某些命題邏輯基本原理之上。換句話說(shuō)，本文的研究重點(diǎn)是如何從（一個(gè)或多個(gè)）有效的簡(jiǎn)單三段論和命題邏輯的某些基本原理推導(dǎo)出有效的關(guān)系三段論，請(qǐng)注意本文的方法對(duì)簡(jiǎn)單三段論的格式以及所含量詞的種類(lèi)并無(wú)限制，因此只要找到符合本文所提要求的有效簡(jiǎn)單三段論，便可推導(dǎo)出包含不同種類(lèi)量詞的有效關(guān)系三段論格式，例如上面的(4)和(5)。

接下來(lái)介紹本文將用到的形式表達(dá)式及其語(yǔ)義解釋。本文基本采用[5,6]提出的一種表達(dá)式來(lái)表達(dá)量化句，但會(huì)使表達(dá)式更貼近自然語(yǔ)言的表層結(jié)構(gòu)。這種表達(dá)式具有Q(X1,...Xn)的形式，其中Q代表量詞，(X1,...Xn)代表作為Q的論元的謂詞，這些謂詞又有自己的論元。因此量詞可被看成二階謂詞，它以（一階）謂詞作為其論元。本文采用當(dāng)代廣義量詞理論，把量詞的語(yǔ)義解釋成以集合或集合的有序n元組作為論元的函數(shù)，因此量化句的語(yǔ)義可以用集合論表達(dá)式來(lái)表達(dá)。舉例說(shuō)，語(yǔ)句“有男孩跑步”的表達(dá)式是：

(9)some(boy,run)

在上述表達(dá)式中，some是帶有兩個(gè)論元的量詞（以下稱(chēng)為〈1,1〉型量詞），這兩個(gè)論元可分別稱(chēng)為左論元和右論元。根據(jù)廣義量詞理論，上述表達(dá)式的語(yǔ)義解釋可以表達(dá)成以下集合論公式：

(10)boy∩run?=?

在上式中，boy和run分別代表boy和run的語(yǔ)義解釋1本文采用黑體字表示形式表達(dá)式，并用普通字體表示這些表達(dá)式的語(yǔ)義解釋。，即由男孩和跑步者組成的集合。請(qǐng)注意(10)也可以被看成(9)的真值條件：(9)是真的當(dāng)且僅當(dāng)(10)成立，即男孩集合與跑步者集合的交集非空。

(9)這種表達(dá)式只包含一元謂詞和一個(gè)量詞，所以只能用來(lái)表達(dá)簡(jiǎn)單三段論中的語(yǔ)句。為表達(dá)關(guān)系三段論，便要使用二元（或更高元）的謂詞和兩個(gè)（或多個(gè)）量詞。本文采用嵌套表達(dá)式來(lái)表達(dá)這些語(yǔ)句，這種表達(dá)式的特點(diǎn)是一個(gè)量化表達(dá)式內(nèi)嵌套著另一個(gè)量化表達(dá)式，例如“每個(gè)男孩都愛(ài)（至少）一個(gè)女孩”的表達(dá)式是：

(11)every(boy,some(girlacc,love))

在上式中，every是〈1,1〉型量詞，其左論元是boy，右論元?jiǎng)t是下列量化表達(dá)式：

(12)some(girlacc,love)

在上式中，girl帶有下標(biāo)acc，這個(gè)下標(biāo)是accusative（賓格）一詞的縮寫(xiě)，代表“（至少）一個(gè)女孩”是作為及物動(dòng)詞“愛(ài)”的賓語(yǔ)。2acc盡管在表面上依附于girl，但實(shí)質(zhì)上是作用于整個(gè)some(girl)結(jié)構(gòu)。從語(yǔ)法上看，充當(dāng)“愛(ài)”賓語(yǔ)的是“(至少)一個(gè)女孩”而非僅“女孩”。這個(gè)下標(biāo)也可用來(lái)提醒我們，上式不是完整的語(yǔ)句，而是表達(dá)一個(gè)一元謂詞。事實(shí)上，根據(jù)[5]，(12)的語(yǔ)義解釋是以下集合：

(13){x:some(girl,{y:love(x,y)})}

上式告訴我們，(12)表達(dá)一元謂詞“愛(ài)（至少）一個(gè)女孩的（個(gè)體）”。當(dāng)然，應(yīng)用some的語(yǔ)義解釋?zhuān)€可以進(jìn)一步把上式改寫(xiě)成：

(14){x:girl∩{y:love(x,y)}?=?}

盡管上式使用了純粹的集合論語(yǔ)言（上式用∩、?=和?這些集合論符號(hào)表達(dá)some的語(yǔ)義），但跟(13)比較，上式隱去了與some的關(guān)系；而且如要討論抽象的量詞（即以變項(xiàng)形式出現(xiàn)的量詞，例如Q），更無(wú)法使用純粹的集合論語(yǔ)言。因此本文在提到量化表達(dá)式的語(yǔ)義解釋時(shí)，將主要使用(13)這種形式。一般地，我們有：

(15)設(shè)Q為〈1,1〉型量詞，A為一元謂詞，R為二元謂詞，則Q(Aacc,R)的語(yǔ)義解釋為{x:Q(A,{y:R(x,y))}}。

由于(12)實(shí)質(zhì)上是一元謂詞，它不能單獨(dú)用來(lái)表達(dá)語(yǔ)句。如要表達(dá)語(yǔ)句，必須像(11)那樣把(12)作為論元嵌套在另一個(gè)量化表達(dá)式的內(nèi)部；另一種方法是引入不受約束的個(gè)體變項(xiàng)x，把(12)改寫(xiě)成如下的“開(kāi)語(yǔ)句”(open sentence）：

(16)x(some(girlacc,love))

上式的意思是“x愛(ài)（至少）一個(gè)女孩”。請(qǐng)注意上式使用了廣義量詞理論處理個(gè)體詞項(xiàng)（包括個(gè)體常項(xiàng)和個(gè)體變項(xiàng)）的方式，把個(gè)體詞項(xiàng)看成帶有一個(gè)論元的量詞。根據(jù)廣義量詞理論，上式的語(yǔ)義解釋可以表達(dá)成以下集合論公式：

(17)x∈{x:some(girl,{y:love(x,y)})}

上述嵌套表達(dá)式不僅可用來(lái)表達(dá)帶有賓語(yǔ)的量化句，也可用來(lái)表達(dá)帶有復(fù)雜主語(yǔ)（指包含關(guān)系從句的主語(yǔ)）的量化句，例如“每個(gè)愛(ài)（至少）一個(gè)女孩的（個(gè)體）都快樂(lè)”的表達(dá)式是：

(18)every(some(girlacc,love),happy)在上式中，some(girlacc,love)出現(xiàn)于量詞every的左論元位置，在語(yǔ)法上相當(dāng)于一個(gè)用來(lái)修飾主語(yǔ)的關(guān)系從句。我們甚至可以用嵌套表達(dá)式表達(dá)同時(shí)帶有復(fù)雜主語(yǔ)和賓語(yǔ)的量化句，例如“每個(gè)愛(ài)（至少）一個(gè)女孩的（個(gè)體）都唱了（至少）一首歌”的表達(dá)式是：

(19)every(some(girlacc,love),some(songacc,sing))

在結(jié)束本節(jié)前，有必要指出，當(dāng)代很多學(xué)者并不對(duì)三段論的格式作嚴(yán)格規(guī)定，甚至不對(duì)三段論的前提和結(jié)論數(shù)目作嚴(yán)格規(guī)定。對(duì)很多學(xué)者而言，三段論成了包含至少兩個(gè)前提和一個(gè)結(jié)論的量化句衍推關(guān)系的同義詞。因此本文也對(duì)三段論作較寬松的理解，但把討論范圍限于包含兩個(gè)前提（有時(shí)可附加一個(gè)存在假設(shè)，詳見(jiàn)第三節(jié)）和一個(gè)結(jié)論的衍推關(guān)系。

2 代入法、演繹定理和前提代換

我們認(rèn)為，構(gòu)造關(guān)系三段論的一種簡(jiǎn)單方法是把包含二元謂詞且實(shí)質(zhì)上等同于一元謂詞的量化表達(dá)式代入有效簡(jiǎn)單三段論格式的變項(xiàng)中，代入時(shí)要把同一個(gè)量化表達(dá)式代入三段論格式中的同一個(gè)變項(xiàng)。由于這些量化表達(dá)式等同于一元謂詞，這樣做等于把謂詞代入有效三段論格式中的變項(xiàng)，所以會(huì)得到有效的三段論。舉例說(shuō)，設(shè)有經(jīng)典AAA-1三段論格式：

(20){every(C,B),every(A,C)}?every(A,B)

把X、some(Yacc,R)和some(Zacc,S)分別代入上式中的A、B和C，可得到下式：

(21){every(some(Zacc,S),some(Yacc,R)),every(X,some(Zacc,S))}

?every(X,some(Yacc,R))

上式是有效的關(guān)系三段論格式，其中X、Y和Z是一元謂詞變項(xiàng)，R和S是二元謂詞變項(xiàng)。把具體的詞項(xiàng)代入上述格式，便可得到有效的關(guān)系三段論實(shí)例，例如把“男孩”、“歌”、“女孩”、“唱”和“愛(ài)”分別代入X、Y、Z、R和S，便可得到第一節(jié)提過(guò)的以下推理實(shí)例：

(1)每個(gè)愛(ài)一個(gè)女孩的（個(gè)體）都唱了一首歌，每個(gè)男孩都愛(ài)一個(gè)女孩，所以每個(gè)男孩都唱了一首歌。

在上例中，被代入的三段論（即(20)）是僅包含經(jīng)典量詞的簡(jiǎn)單三段論，代入的量化表達(dá)式也只包含經(jīng)典量詞，所以得到的是僅包含經(jīng)典量詞的關(guān)系三段論。如要推導(dǎo)包含廣義量詞（這里指非經(jīng)典量詞）的關(guān)系三段論，我們可以在進(jìn)行代入法時(shí)選取包含廣義量詞的簡(jiǎn)單三段論格式，或者包含廣義量詞的量化表達(dá)式。

舉例說(shuō)，設(shè)我們選取以下由[12]提出的有效數(shù)值三段論格式（在下式中，n和m是大于0的整數(shù)）：

(22){all but at most n(C,B),at least m+n(A,C)}?at least m(A,B)把X、some(Yacc,R)和Z分別代入上式中的A、B和C，可得到下式：

(23請(qǐng)注意三段論格式（而非三段論實(shí)例）實(shí)質(zhì)上也是由帶有謂詞變項(xiàng)的語(yǔ)句組成，這些語(yǔ)句在本質(zhì)上也是開(kāi)語(yǔ)句。){all but at most n(Z,some(Yacc,R)),at least m+n(X,Z)}

?at least m(X,some(Yacc,R))

上式是包含數(shù)值量詞的有效關(guān)系三段論格式，如把3、2、“男孩”、“獎(jiǎng)項(xiàng)”、“運(yùn)動(dòng)員”和“得到”分別代入m、n、X、Y、Z和R，便可得到第一節(jié)提過(guò)的以下推理實(shí)例：

(2)在運(yùn)動(dòng)員中，除了最多兩人外，所有人都得到獎(jiǎng)項(xiàng)，至少五名男孩是運(yùn)動(dòng)員，所以至少三名男孩得到獎(jiǎng)項(xiàng)。

在構(gòu)造關(guān)系三段論時(shí)，除使用代入法外，如能配合使用其他保持推理有效性的變換，將能大大擴(kuò)闊所能構(gòu)造關(guān)系三段論的范圍。接下來(lái)介紹一種十分有用的變換，此即命題邏輯中的“演繹定理”（deduction theorem）。演繹定理的一般表示形式如下：

(24)若{p,q}?r，則p?q→r。

上面的{p,q}?r可被看成一個(gè)三段論，其中p和q是前提，r是結(jié)論；q→r則代表一個(gè)蘊(yùn)涵式。上式告訴我們，可以將三段論變換成僅包含一個(gè)前提的推理，其前提是p，其結(jié)論則是蘊(yùn)涵式q→r。

舉例說(shuō)，設(shè)我們選取AAA-1三段論格式，并把X、R和Y分別代入該格式中的A、B和C，從而得到下式：

(25){every(Y,R),every(X,Y)}?every(X,R)

上述代入結(jié)果存在一些問(wèn)題：由于R是二元謂詞，上式中的every(Y,R)和every(X,R)實(shí)質(zhì)上是一元謂詞而非語(yǔ)句（因此Y和X應(yīng)帶有下標(biāo)acc），可是三論段通常應(yīng)由語(yǔ)句組成。為補(bǔ)救這一問(wèn)題，可以把這兩個(gè)一元謂詞改寫(xiě)成帶有不受約束的個(gè)體變項(xiàng)x的開(kāi)語(yǔ)句，即把上式改寫(xiě)成3請(qǐng)注意三段論格式（而非三段論實(shí)例）實(shí)質(zhì)上也是由帶有謂詞變項(xiàng)的語(yǔ)句組成，這些語(yǔ)句在本質(zhì)上也是開(kāi)語(yǔ)句。：

(26){x(every(Yacc,R)),every(X,Y)}?x(every(Xacc,R))

接下來(lái)把上式的兩個(gè)前提對(duì)調(diào)位置，然后利用演繹定理，可得到：

(27)every(X,Y)?x(every(Yacc,R))→x(every(Xacc,R))上式右端蘊(yùn)涵式的意思是：如果x屬于every(Yacc,R)，則x屬于every(Xacc,R)。由于x是任意變項(xiàng)，這個(gè)蘊(yùn)涵式也可看成表達(dá)一個(gè)全稱(chēng)量化句：凡是屬于every(Yacc,R)的都屬于every(Xacc,R)，因此可以把這個(gè)蘊(yùn)涵式改寫(xiě)成一個(gè)以every作為量詞的量化句，即把上式改寫(xiě)成：

(28)every(X,Y)?every(every(Yacc,R),every(Xacc,R))

這樣我們便把一個(gè)三段論變換成僅包含一個(gè)前提的推理（這種推理稱(chēng)為“直接推理”），其前提是原三段論的某個(gè)前提，其結(jié)論則是一個(gè)以every作為量詞的量化句。把具體的詞項(xiàng)代入上述格式，便可得到有效的推理實(shí)例，例如把“馬”、“動(dòng)物”和“喜愛(ài)”分別代入X、Y和R，便可得到以下推理實(shí)例：

(29)所有馬都是動(dòng)物，所以每個(gè)喜愛(ài)所有動(dòng)物的（個(gè)體）都喜愛(ài)所有馬。

我們可以把上面推導(dǎo)(28)的過(guò)程總結(jié)成以下一般形式：

(30)設(shè)Q1、Q2、Q3為〈1,1〉型量詞，X、Y、Z和W為一元謂詞，R和S為二元謂詞，x為個(gè)體變項(xiàng)，則從三段論{Q1(X,Y),x(Q2(Zacc,R))}?x(Q3(Wacc,S))，可以推出直接推理Q1(X,Y)?every(Q2(Zacc,R),Q3(Wacc,S))。

以下我們把上述變換仍稱(chēng)作“演繹定理”，因?yàn)樗菑拿}邏輯中的演繹定理推導(dǎo)而來(lái)的。

利用演繹定理可以推導(dǎo)出有效的直接推理格式，但我們不必停留于此。由于這個(gè)直接推理的結(jié)論是一個(gè)全稱(chēng)量化句，如果把這個(gè)全稱(chēng)量化句與其他包含全稱(chēng)量化句的三段論格式結(jié)合，便可推導(dǎo)出關(guān)系三段論格式。舉例說(shuō)，我們可以把(28)與[15]提出的下列模糊三段論格式結(jié)合起來(lái)：

(31){every(C,B),almost all(A,C)}?most(A,B)

把Z、every(Xacc,R)和every(Yacc,R)分別代入上式中的A、B和C，可得到：

(32){every(every(Yacc,R),every(Xacc,R)),almost all(Z,every(Yacc,R))}

?most(Z,every(Xacc,R))

但上式中的第一個(gè)前提等同于(28)中的結(jié)論，因此可以用(28)中的前提取代上式中的第一個(gè)前提，由此可得以下有效關(guān)系三段論格式：

(33){every(X,Y),almost all(Z,every(Yacc,R))}?most(Z,every(Xacc,R))上式是把AAA-1三段論和(31)中的模糊三段論結(jié)合起來(lái)的有效關(guān)系三段論，如把“馬”、“動(dòng)物”、“獸醫(yī)”和“喜愛(ài)”分別代入X、Y、Z和R，便可得到第一節(jié)提過(guò)的以下推理實(shí)例：

(3)所有馬都是動(dòng)物，幾乎所有獸醫(yī)都喜愛(ài)所有動(dòng)物，所以大多數(shù)獸醫(yī)喜愛(ài)所有馬。

在推導(dǎo)上述關(guān)系三段論格式的過(guò)程中，我們運(yùn)用了以下變換：當(dāng)一個(gè)推理的某個(gè)前提等同于另一個(gè)推理的結(jié)論時(shí)，可以用后者的前提取代該前提，以下把這種十分有用的變換稱(chēng)為“前提代換”，并將其總結(jié)成以下一般形式：

(34)設(shè)p1、···、pm、q、r1、···、rn、s為語(yǔ)句，則從{p1,…pm}?q和{q,r1,…rn}?s，可以推出{p1,…pm,r1,…rn}?s。

3 引入存在假設(shè)

如前所述，利用演繹定理，可以推導(dǎo)出一個(gè)以全稱(chēng)量化句作為結(jié)論的直接推理。但其實(shí)我們不必限于以全稱(chēng)量化句every(A,B)作為結(jié)論，這是因?yàn)樵谝脒m當(dāng)?shù)母郊忧疤岷?，every(A,B)蘊(yùn)涵其他量化句，這樣便可以其他量化句作為上述直接推理的結(jié)論，從而擴(kuò)大上一節(jié)所述方法的適用范圍。這些附加前提的特點(diǎn)是對(duì)A的基數(shù)作出規(guī)定，此即[13]所稱(chēng)的“存在假設(shè)”(existential assumption)。

在三段論研究中，存在假設(shè)并非新奇事物。在經(jīng)典邏輯研究的24個(gè)有效三段論中，有9個(gè)便須依賴(lài)適當(dāng)?shù)拇嬖诩僭O(shè)才能成立（參見(jiàn)[14]），例如以下的AAI-3三段論：

(35){some(C,exist),every(C,B),every(C,A)}?some(A,B)

在上式中，some(C,exist)就是存在假設(shè)，其中exist代表“存在”，some(C,exist)代表存在個(gè)體具有C所述的性質(zhì)4在廣義量詞理論下，存在句“有A存在”可以表示成some(A,exist)。這里exist是論域（用U來(lái)代表）中最寬泛的謂詞，因?yàn)檎撚蛑械娜魏我粋€(gè)元素都是在該論域中存在的，因此exist=U。根據(jù)some的語(yǔ)義解釋?zhuān)傻胹ome(A,exist)真當(dāng)且僅當(dāng)A∩U?=??A?=?，即A非空，這正是“有A存在”所要表達(dá)的意思。。從某一角度看，引入適當(dāng)?shù)拇嬖诩僭O(shè)可以擴(kuò)大有效三段論的范圍。

關(guān)系三段論的存在假設(shè)可分為兩類(lèi)，第一類(lèi)存在假設(shè)表明論域中存在個(gè)體具有某謂詞所述的性質(zhì)，以下我們用一個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明如何推導(dǎo)包含這類(lèi)假設(shè)的關(guān)系三段論。設(shè)我們選取以下由[9]提出的有效模糊三段論格式：

(36){almost all(A,C),almost all(A,B)}?most(C and A,B)

把X、R和Y分別代入上式中的A、B和C，并引入變項(xiàng)x，可得到下式：

(37){almost all(X,Y),x(almost all(Xacc,R))}?x(most(Y and Xacc,R))

對(duì)上式利用演繹定理，可得到：

(38)almost all(X,Y)?every(almost all(Xacc,R),most(Y and Xacc,R))上式的結(jié)論是全稱(chēng)量化句，但我們可以從這個(gè)量化句推導(dǎo)出一個(gè)較弱的量化句，其原理是若假設(shè)論域中存在個(gè)體具有A所述的性質(zhì)，便可以從every(A,B)推導(dǎo)出more than p(A,B)，其中p代表0與1之間的任意分?jǐn)?shù)。以下把上述推導(dǎo)過(guò)程總結(jié)成以下一般形式：

(39){some(A,exist),every(A,B)}?more than p(A,B)

在上式中，some(A,exist)是第一類(lèi)存在假設(shè)，引入這個(gè)假設(shè)后，便可以從上式的第二個(gè)前提推出結(jié)論?，F(xiàn)在把a(bǔ)lmost all(Xacc,R)和most(Y and Xacc,R)分別代入上式中的A和B，可得到：

(40){some(almost all(Xacc,R),exist),every(almost all(Xacc,R),most(Y

and Xacc,R))}?more than p(almost all(Xacc,R),most(Y and Xacc,R))

由于上式的第二個(gè)前提等同于(38)的結(jié)論，所以可以進(jìn)行前提代換，把上式和(38)結(jié)合成下式：

(41){some(almost all(Xacc,R),exist),almost all(X,Y)}

?more than p(almost all(Xacc,R),most(Y and Xacc,R))

接著考慮以下由[4]提出的有效比例三段論格式（其中p和q是0與1之間的分?jǐn)?shù)，而且p＞q）：

(42){more than p(C,A),less than q(C,B)}?not every(A,B)

把most(Y and Xacc,R)、Z和almost all(Xacc,R)分別代入上式中的A、B和C，可得到下式：

(43){more than p(almost all(Xacc,R),most(Y and Xacc,R)),

less than q(almost all(Xacc,R),Z)}?not every(most(Y and Xacc,R),Z)

但上式中的第一個(gè)前提等同于(41)中的結(jié)論，所以可以進(jìn)行前提代換，把上式變換成下式：

(44){some(almost all(Xacc,R),exist),almost all(X,Y),less than q

(almost all(Xacc,R),Z)}?not every(most(Y and Xacc,R),Z)

上式是結(jié)合(36)中模糊三段論和(42)中比例三段論且包含第一類(lèi)存在假設(shè)的有效關(guān)系三段論，如把、“課程”、“必修”、“能夠結(jié)業(yè)”和“報(bào)讀了”分別代入q、X、Y、Z和R，便可得到第一節(jié)提過(guò)的以下推理實(shí)例：

(4)有人報(bào)讀了幾乎所有課程，幾乎所有課程都是必修的，在報(bào)讀了幾乎所有課程的人中，少于一半能夠結(jié)業(yè)，所以并非每個(gè)報(bào)讀了大多數(shù)必修課程的人都能夠結(jié)業(yè)。

第二類(lèi)存在假設(shè)表明論域中有多少個(gè)體具有某謂詞所述的性質(zhì)，以下我們用一個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明如何推導(dǎo)包含這類(lèi)假設(shè)的關(guān)系三段論。設(shè)我們選取AAA-1三段論格式，并把X、R和Y分別代入該格式中的A、B和C，并引入變項(xiàng)x，從而得到下式：

(45){x(every(Yacc,R)),every(X,Y)}?x(every(Xacc,R))

對(duì)上式利用演繹定理，可得到：

(46)every(X,Y)?every(every(Yacc,R),every(Xacc,R))

上式的結(jié)論是全稱(chēng)量化句，但我們可以從這個(gè)量化句推導(dǎo)出一個(gè)數(shù)值量化句，其原理是若假設(shè)論域中存在至少n個(gè)個(gè)體具有A所述的性質(zhì)，便可以從every(A,B)推導(dǎo)出at least n(A,B)，其中n代表大于0的任意整數(shù)。以下把上述推導(dǎo)過(guò)程總結(jié)成以下一般形式：

(47){at least n(A,exist),every(A,B)}?at least n(A,B)

在上式中，at least n(A,exist)是第二類(lèi)存在假設(shè)，引入這個(gè)假設(shè)后，便可以從上式的第二個(gè)前提推出結(jié)論?，F(xiàn)在把every(Yacc,R)和every(Xacc,R)分別代入上式中的A和B并把上式中的n改為m+n，可得到：

(48){at least m+n(every(Yacc,R),exist),every(every(Yacc,R),every(Xacc,R)?at least m+n(every(Yacc,R),every(Xacc,R))

由于上式的第二個(gè)前提等同于(46)的結(jié)論，所以可以進(jìn)行前提代換，把上式和(46)結(jié)合成下式：

(49){at least m+n(every(Yacc,R),exist),every(X,Y)}?at least m+n(every(Yacc,R),every(Xacc,R))

接著考慮以下由[12]提出的數(shù)值三段論格式（等同于(22)）：

(50){all but at most n(C,B),at least m+n(A,C)}?at least m(A,B)

把every(Yacc,R)、Z和every(Xacc,R)分別代入上式中的A、B和C，可得到下式：

(51){all but at most n(every(Xacc,R),Z),at least m+n(every(Yacc,R),

every(Xacc,R))}?at least m(every(Yacc,R),Z)

但上式中的第二個(gè)前提等同于(49)中的結(jié)論，所以可以進(jìn)行前提代換，把上式變換成下式：

(52){all but at most n(every(Xacc,R),Z),at least m+n(every(Yacc,R),exist),

every(X,Y)}?at least m(every(Yacc,R),Z)上式是結(jié)合AAA-1三段論和(50)中數(shù)值三段論且包含第二類(lèi)存在假設(shè)的有效關(guān)系三段論，如把3、2、“必修課程”、“課程”、“能夠結(jié)業(yè)”和“報(bào)讀了”分別代入m、n、X、Y、Z和R，便可得到第一節(jié)提過(guò)的以下推理實(shí)例：

(5)在報(bào)讀了所有必修課程的人中，除了最多兩人外，所有人都能夠結(jié)業(yè)，至少有五人報(bào)讀了所有課程，所有必修課程都是課程，所以至少有三個(gè)報(bào)讀了所有課程的人能夠結(jié)業(yè)。

4 表達(dá)比較形容詞的二元謂詞

上面討論的關(guān)系三段論都包含一般二元謂詞，這些謂詞沒(méi)有特殊的性質(zhì)，可用來(lái)表達(dá)自然語(yǔ)言中的一般及物動(dòng)詞。在某些情況下，如果規(guī)定二元謂詞具備某些特殊性質(zhì)，便可用來(lái)表達(dá)自然語(yǔ)言中的某些特殊詞項(xiàng)，并研究包含這些詞項(xiàng)的關(guān)系三段論。在本節(jié)，我們將研究能表達(dá)比較形容詞（例如英語(yǔ)的“tallerthan”、“as tall as”等）的二元謂詞，這里首先介紹這類(lèi)二元謂詞的定義。

我們假設(shè)每個(gè)可作比較的形容詞（用R來(lái)代表）均派生出三個(gè)二元謂詞：R＞、R＜和R=，其中R＞(x,y)、R＜(x,y)和R=(x,y)分別代表“x比y較為R”、“y比x較為R”和“x與y一樣R”。此外，我們還用R#來(lái)統(tǒng)稱(chēng)R＞、R＜和R=中的任何一個(gè)，即以#代表{＞,＜,=}中的任意一員。鑒于比較關(guān)系是雙向的(例如若x比y高，則y比x矮)，我們假設(shè)上述二元謂詞滿(mǎn)足以下等價(jià)關(guān)系：

(53)對(duì)任意個(gè)體x、y，均有

(i)R＞(x,y)?R＜(y,x)

(ii)R＜(x,y)?R＞(y,x)

(iii)R=(x,y)?R=(y,x)

此外，我們還假設(shè)上述二元謂詞滿(mǎn)足以下性質(zhì)：

(54)三分律（trichotomy）：設(shè)x和y為任意個(gè)體，則在以下語(yǔ)句中有且只有

一個(gè)成立：{R＞(x,y),R＜(x,y),R=(x,y)}。

(55)自反性（reflexivity）：對(duì)任意個(gè)體x，均有R=(x,x)。

(56)傳遞性（transitivity）：對(duì)任意個(gè)體x、y、z，均有

(i){R#(x,y),R#(y,z)}?R#(x,z)

(ii){R=(x,y),R#(y,z)}?R#(x,z)

從上述性質(zhì)可以推導(dǎo)出其他性質(zhì)，例如從(54)和(55)可以推出，對(duì)任意個(gè)體x，均非R＞(x,x)；從(54)可以推出，對(duì)任意個(gè)體x、y，若R＞(x,y)，則必非R＜(x,y)；從(54)和(56)可以推出，對(duì)任意個(gè)體x、y、z，若非R＞(x,y)且非R＞(y,z)，則必非R＞(x,z)。5上述三種性質(zhì)分別相當(dāng)于[11]所稱(chēng)的“非自反性”、[8]所稱(chēng)的“非對(duì)稱(chēng)性”和[8]所稱(chēng)的“反傳遞性”，因此本節(jié)的討論也適用于[8]和[11]研究的包含比較形容詞的關(guān)系三段論。

根據(jù)上述定義，可以推導(dǎo)出與比較形容詞相關(guān)的定理，以下是下文將要用到的定理，其證明載于下文第六節(jié)：

定理1.設(shè)Q1和Q2為下界右遞增〈1,1〉型量詞，x為個(gè)體變項(xiàng)，A為一元謂詞R#為如上面定義的二元謂詞，則x(Q1(Q2(Aacc,R#)acc,R#))?x(Q2(Aacc,R#))。6以下提供這個(gè)衍推關(guān)系的一個(gè)實(shí)例，把some、most、boy和be taller than分別代入Q1、Q2、A和R#，可得到以下推理實(shí)例（譯成漢語(yǔ)）：“x高過(guò)（至少）一個(gè)高過(guò)大多數(shù)男孩的（個(gè)體），所以x高過(guò)大多數(shù)男孩”。

上述定理提到量詞的“下界性”（lowerboundedness）和“右遞增性”（rightincreasing monotonicity）這兩個(gè)概念，其定義如下：

(57)設(shè)Q為〈1,1〉型量詞，Q是下界的當(dāng)且僅當(dāng)若Q(A,B)真，則|A∩B|≥1。

(58)設(shè)Q為〈1,1〉型量詞，Q是右遞增的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意一元謂詞A、B、C，

若B?C，則有Q(A,B)?Q(A,C)。

根據(jù)量詞的語(yǔ)義解釋?zhuān)菀鬃C明some、most、at least n、more than n等是下界右遞增〈1,1〉型量詞（可見(jiàn)于廣義量詞理論的文獻(xiàn)）。

接著看如何運(yùn)用上述定理推導(dǎo)關(guān)系三段論。設(shè)我們選取經(jīng)典IAI-3三段論格式

(59){some(C,B),every(C,A)}?some(A,B)

把most(Xacc,R#)、R#和Y分別代入上式中的A、B和C，并引入變項(xiàng)x，可得到下式：

(60){x(some(Yacc,R#)),every(Y,most(Xacc,R#))}?x(some(most(Xacc,R#)acc R#))

由于some和most是下界右遞增〈1,1〉型量詞，因此從定理1，可得：

(61)x(some(most(Xacc,R#)acc,R#))?x(most(Xacc,R#))

上式的前提等同于(60)的結(jié)論，因此可以進(jìn)行前提代換，把上式和(60)結(jié)合成下式：

(62){x(some(Yacc,R#)),every(Y,most(Xacc,R#))}?x(most(Xacc,R#))

對(duì)上式利用演繹定理，可得到：

(63)every(Y,most(Xacc,R#))?every(some(Yacc,R#),most(Xacc,R#))

接著考慮以下經(jīng)典AII-1三段論格式：

(64){every(C,B),some(A,C)}?some(A,B)把Z、most(Xacc,R#)和some(Yacc,R#)分別代入上式中的A、B和C，可得到：

(65){every(some(Yacc,R#),most(Xacc,R#)),some(Z,some(Yacc,R#))}?some(Z,most(Xacc,R#))

但上式中的第一個(gè)前提等同于(63)中的結(jié)論，所以可以進(jìn)行前提代換，把上式變換成下式：

(66){every(Y,most(Xacc,R#)),some(Z,some(Yacc,R#))}?some(Z,most(Xacc,R#))

上式是結(jié)合IAI-3和AII-1三段論的關(guān)系三段論格式，雖然這兩者都是經(jīng)典三段論，但由于我們運(yùn)用了定理1，所以可以把非經(jīng)典量詞most引入到上述格式中。把具體的詞項(xiàng)代入上述格式，便可得到有效的關(guān)系三段論實(shí)例，如把“騎師”、“籃球員”、“游泳選手”和“比……高”分別代入X、Y、Z和R#，便可得到第一節(jié)提過(guò)的以下推理實(shí)例：

(6)每個(gè)籃球員都比大多數(shù)騎師高，有游泳選手比（至少）一個(gè)籃球員高，所以有游泳選手比大多數(shù)騎師高。

請(qǐng)注意如果把上例中的“比…高”改為“與……一樣高”，上述推理仍然成立；但若把“比……高”改為“看見(jiàn)”，則上述推理不成立，這是因?yàn)椤翱匆?jiàn)”并非具有前述性質(zhì)的比較形容詞。

5 等價(jià)變換

當(dāng)代廣義量詞理論研究了量化句之間的多種等價(jià)關(guān)系，我們可以利用這些關(guān)系把某一關(guān)系三段論格式中的語(yǔ)句變換成等價(jià)語(yǔ)句，從而獲得更多有效關(guān)系三段論格式。舉例說(shuō)，根據(jù)[7]的定理5，由于every與no互為“后補(bǔ)運(yùn)算”（postcomplement），而most與at most12互為“補(bǔ)運(yùn)算”（complement）（請(qǐng)參閱[7]對(duì)這兩個(gè)概念的定義），以下等價(jià)關(guān)系成立：

(67)every(Y,most(Xacc,R#))?no(Y,at most12(Xacc,R#))

由于有上述等價(jià)關(guān)系，我們可以用上式右端的量化句來(lái)替換(66)中的第一個(gè)前提，從而得到以下有效關(guān)系三段論格式：

(68){no(Y,at most12(Xacc,R#)),some(Z,some(Yacc,R#))}?some(Z,most(Xacc,R#))

量化句之間的各種等價(jià)關(guān)系，詳見(jiàn)當(dāng)代廣義量詞理論的文獻(xiàn)，本文無(wú)意一一介紹，這里只擬提出一個(gè)適用于比較形容詞的等價(jià)關(guān)系。根據(jù)[1]的事實(shí)2，若Q為右遞增〈1,1〉型量詞，A、B為一元謂詞，R為二元謂詞，則以下洐推關(guān)系成立：

(69)some(A,Q(Bacc,R))?Q(B,some(Aacc,Rconv))

(70)Q(A,every(Bacc,R))?every(B,Q(Aacc,Rconv))

在以上兩式中，Rconv代表R的“逆向反義詞”（converse），其定義如下：

(71)對(duì)任意個(gè)體x、y，Rconv(x,y)?R(y,x)。

例如若R代表“看見(jiàn)”，則Rconv代表“被看見(jiàn)”。把上述定義應(yīng)用于(53)中的等價(jià)關(guān)系，可得：

(72) (i)(R＞)conv=R＜

(ii)(R＜)conv=R＞

(iii)(R=)conv=R=

衍推關(guān)系(69)和(70)適用于所有二元關(guān)系R。有趣的是，當(dāng)把這個(gè)R換成R＞或R＜（并再加上一些限制條件）后，這兩個(gè)衍推關(guān)系便會(huì)變成等價(jià)關(guān)系：

定理2.設(shè)Q為下界右遞增〈1,1〉型量詞，A和B為一元謂詞且B非空，R＞和R＜為如上面定義的二元謂詞，則

(i)some(A,Q(Bacc,R＞))?Q(B,some(Aacc,R＜))

(ii)Q(A,every(Bacc,R＞))?every(B,Q(Aacc,R＜))

上列兩式中的R＞和R＜如對(duì)調(diào)位置，等價(jià)關(guān)系仍然成立。

把具體的量詞代入上述定理，便可得到一些等價(jià)關(guān)系。舉例說(shuō)，由于most為下界右遞增〈1,1〉型量詞，根據(jù)定理2(i)，若X非空，以下等價(jià)關(guān)系成立：

(73)some(Z,most(Xacc,R＞))?most(X,some(Zacc,R＜))

由于有上述等價(jià)關(guān)系，我們可以用上式右端的量化句來(lái)替換(66)中的結(jié)論，并把(66)中的R#改為R＞，從而得到以下有效關(guān)系三段論格式（下式帶有存在假設(shè)some(X,exist)，是用以滿(mǎn)足定理2對(duì)非空集合的要求）：

(74){some(X,exist),every(Y,most(Xacc,R＞)),some(Z,some(Yacc,R＞))}?most(X,some(Zacc,R＜))

如把“騎師”、“籃球員”、“游泳選手”和“高”分別代入X、Y、Z和R，便可得到第一節(jié)提過(guò)的以下推理實(shí)例：

(7)存在至少一個(gè)騎師，每個(gè)籃球員都比大多數(shù)騎師高，有游泳選手比（至少）一個(gè)籃球員高，所以大多數(shù)騎師比（至少）一個(gè)游泳選手矮。

6 本文介紹方法的有效性

前面各節(jié)介紹了推導(dǎo)關(guān)系三段論格式的方法，此方法包含以下元素：有效簡(jiǎn)單三段論格式、代入法、演繹定理、前提代換、引入存在假設(shè)、定理1、等價(jià)變換和定理2。為確保本文所介紹方法能推出有效的關(guān)系三段論格式，必須確保上述每項(xiàng)元素本身都是有效推理，即都能從真的前提推出真的結(jié)論。

在前述各項(xiàng)元素中，簡(jiǎn)單三段論格式的有效性是經(jīng)典三段論和各種非經(jīng)典三段論（包括數(shù)值三段論、比例三段論、模糊三段論等）學(xué)者研究的課題，它們的有效性已由有關(guān)學(xué)者證明，本文不擬重復(fù)。

其次考慮代入法。代入法的本質(zhì)就是把有效三段論格式中的謂詞換成其他謂詞，由于三段論格式中的謂詞相當(dāng)于變項(xiàng)，只要在代入時(shí)把相同的謂詞代入相同的變項(xiàng)，并且對(duì)代入結(jié)果作必要的調(diào)整（例如加上下標(biāo)acc和個(gè)體變項(xiàng)x，使代入結(jié)果從一元謂詞變成開(kāi)語(yǔ)句），所得結(jié)果仍是有效的三段論格式。請(qǐng)注意把一元謂詞變成開(kāi)語(yǔ)句并沒(méi)有改變一元謂詞的本質(zhì)，這是因?yàn)橐辉^詞與開(kāi)語(yǔ)句存在相通之處：兩者都可被看成把個(gè)體映像為真值的函數(shù)。

接著考慮演繹定理和前提代換。在第二節(jié)，我們?cè)敿?xì)解釋了演繹定理(30)和前提代換(34)的理?yè)?jù)。概言之，(30)的有效性源自命題邏輯中演繹定理(24)的有效性；而(34)本身也是命題邏輯中的一個(gè)推理結(jié)果。由于上述定理和推理的證明可在一般的數(shù)理邏輯教科書(shū)中找到，本文不擬重復(fù)這些證明。

接著考慮存在假設(shè)。本文介紹了兩類(lèi)存在假設(shè)，第一類(lèi)存在假設(shè)表明論域中存在個(gè)體具有某謂詞所述的性質(zhì)。通過(guò)引入這類(lèi)假設(shè)，可以從一個(gè)全稱(chēng)量化句推導(dǎo)出一個(gè)包含比例量詞more than p的語(yǔ)句（其中p是0與1之間的任意分?jǐn)?shù)），其理?yè)?jù)是以下推理的有效性：

(39){some(A,exist),every(A,B)}?more than p(A,B)

現(xiàn)在證明上述推理的有效性。根據(jù)廣義量詞理論對(duì)上式中量詞的語(yǔ)義解釋?zhuān)瑂ome(A,exist)和every(A,B)真當(dāng)且僅當(dāng)A?=?并且A?B。從這兩式可得|A∩B|/|A|=|A|/|A|=1＞p。另一方面，more than p(A,B)真當(dāng)且僅當(dāng)|A∩B|/|A|＞p。由此可見(jiàn)，上述推理的前提若真，其結(jié)論必真，因此是有效推理。

第二類(lèi)存在假設(shè)表明論域中有多少個(gè)體具有某謂詞所述的性質(zhì)。通過(guò)引入這類(lèi)假設(shè)，可以從一個(gè)全稱(chēng)量化句推導(dǎo)出一個(gè)包含數(shù)值量詞at least n的語(yǔ)句（其中n是大于0的任意整數(shù)），其理?yè)?jù)是以下推理的有效性：

(47){at least n(A,exist),every(A,B)}?at least n(A,B)

現(xiàn)在證明上述推理的有效性。根據(jù)廣義量詞理論對(duì)上式中量詞的語(yǔ)義解釋?zhuān)琣t least n(A,exist)和every(A,B)真當(dāng)且僅當(dāng)|A|≥n并且A?B。從這兩式可得|A∩B|=|A|≥n。另一方面，at least n(A,B)真當(dāng)且僅當(dāng)|A∩B|≥n。由此可見(jiàn)，上述推理的前提若真，其結(jié)論必真，因此是有效推理。

接著考慮定理1。為證明此定理，首先引入廣義量詞理論中“見(jiàn)證集”（witness set）的概念，其定義如下：

(75)設(shè)Q為〈1,1〉型量詞，A為一元謂詞，則W是Q(A)的見(jiàn)證集當(dāng)且僅當(dāng)W?A并且Q(A,W)真。

[2]證明了與見(jiàn)證集相關(guān)的下列事實(shí)：

(76)設(shè)Q為右遞增〈1,1〉型量詞，A和B為一元謂詞，則Q(A,B)真當(dāng)且僅當(dāng)存在Q(A)的一個(gè)見(jiàn)證集W使得W?B。

此外，我們還可以推導(dǎo)出以下事實(shí)：

(77)設(shè)Q為下界〈1,1〉型量詞，A為一元謂詞，則Q(A)的見(jiàn)證集必非空集。上述事實(shí)的理?yè)?jù)是，如果Q(A)的見(jiàn)證集是空集（?），那么從(75)可知Q(A,?)真；但另一方面，由于Q是下界量詞，根據(jù)(57)，若Q(A,?)真，則|A∩?|≥1，但這是不可能的。

現(xiàn)在證明定理1（重列于下）。

定理1.設(shè)Q1和Q2為下界右遞增〈1,1〉型量詞，x為個(gè)體變項(xiàng)，A為一元謂詞R#為如上面定義的二元謂詞，則x(Q1(Q2(Aacc,R#)acc,R#))?x(Q2(Aacc,R#))。

證明.設(shè)前提x(Q1(Q2(Aacc,R#)acc,R#))真，根據(jù)(15)，這即是說(shuō)x∈{x:Q1({z:Q2(A,{w:R#(z,w)})},{y:R#(x,y)})}真，亦即Q1({z:Q2(A,{w:R#(z,w)})},{y R#(x,y)})真。由于Q1是右遞增〈1,1〉型量詞，根據(jù)(75)和(76)，可知存在見(jiàn)證集W使得W?{z:Q2(A,{w:R#(z,w)})}并且W?{y:R#(x,y)}。由于Q1是下界量詞，根據(jù)(77)，W非空，故必有W的一個(gè)元素z使得Q2(A,{w:R#(z,w)})和R#(x,z)皆真。另外，根據(jù)(56)(i)，對(duì)任何w，均有{R#(x,z),R#(z,w)}?R#(x,w)。由此根據(jù)命題邏輯中的演繹定理，可得

(78)R#(x,z)?w∈{w:R#(z,w)}→w∈{w:R#(x,w)}

但由于w是任意個(gè)體變項(xiàng)，上式右端的蘊(yùn)涵式實(shí)質(zhì)上表達(dá)集合包含關(guān)系，即

(79)R#(x,z)?{w:R#(z,w)}?{w:R#(x,w)}

由于上面已證得R#(x,z)真，根據(jù)上式以及Q2的右遞增性，可得

(80)Q2(A,{w:R#(z,w)})?Q2(A,{w:R#(x,w)})

但又由于上面已證得Q2(A,{w:R#(z,w)})真，從上式可知Q2(A,{w:R#(x,w)})真，即x∈{x:Q2(A,{w:R#(x,w)})}真。根據(jù)(15)，這即是說(shuō)x(Q2(Aacc,R#))真，定理1證畢。

接著考慮等價(jià)變換。等價(jià)變換的原理是命題邏輯中的基本原理：把一個(gè)有效推理中的前提或結(jié)論換成等價(jià)語(yǔ)句，所得結(jié)果仍是有效推理。本文第五節(jié)也討論了一些等價(jià)關(guān)系，包括(67)和定理2，其中(67)是廣義量詞理論的研究成果，其證明可見(jiàn)于相關(guān)文獻(xiàn)。

以下要證明定理2。為證明此定理，須先證明以下引理。

引理1.設(shè)R＞和R＜為如上面定義的二元謂詞，A為非空集合，則

(i)A中有元素x，使得對(duì)A中所有元素z，均有R＞(x,z)或R=(x,z)；并且

(ii)A中有元素y，使得對(duì)A中所有元素z，均有R＜(y,z)或R=(y,z)。證明.以下僅證明(i)，(ii)的證明方法類(lèi)似。我們對(duì)|A|進(jìn)行歸納，首先假設(shè)|A|=1且A={x}。根據(jù)(55)，R=(x,x)。由于x是A中唯一元素，故對(duì)A中所有元素z，有R=(x,z)，即(i)在|A|=1的情況下成立。其次假設(shè)(i)在|A|=n的情況下成立，現(xiàn)考慮|A|=n+1的情況。從A中任意選取元素x，并定義A′=A–{x}，由此得|A′|=n。根據(jù)歸納假設(shè)，A′中必有元素y，使得對(duì)A′中所有元素z，均有R＞(y,z)或R=(y,z)?，F(xiàn)在考慮x和y。根據(jù)(54)，有且只有以下三種情況之一成立：(a)R＞(x,y)；(b)R＜(x,y)；(c)R=(x,y)。在情況(a)下，根據(jù)(56)和上述按歸納假設(shè)所得的結(jié)論，我們找到A中元素x，使得對(duì)A中所有元素z，均有R＞(x,z)或R=(x,z)，即(i)在|A|=n+1的情況下成立。在情況(b)和(c)下，我們亦找到A中元素y，使得對(duì)A中所有元素z，均有R＞(y,z)或R=(y,z)，即(i)在|A|=n+1的情況下也成立。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，(i)對(duì)任意非空集合A均成立，引理證畢。

現(xiàn)在證明定理2（重列于下）：

定理2.設(shè)Q為下界右遞增〈1,1〉型量詞，A和B為一元謂詞且B非空，R＞和R＜為如上面定義的二元謂詞，則

(i)some(A,Q(Bacc,R＞))?Q(B,some(Aacc,R＜))

(ii)Q(A,every(Bacc,R＞))?every(B,Q(Aacc,R＜))

上列兩式中的R＞和R＜如對(duì)調(diào)位置，等價(jià)關(guān)系仍然成立。

證明.由于[1]已證明上述兩個(gè)等價(jià)關(guān)系的一半（即(69)和(70)），所以只需證明上述關(guān)系的另一半，即以下衍推關(guān)系：

(81)Q(B,some(Aacc,R＜))?some(A,Q(Bacc,R＞))

(82)every(B,Q(Aacc,R＜))?Q(A,every(Bacc,R＞))

(i)設(shè)前提Q(B,some(Aacc,R＜))真。由于Q是右遞增〈1,1〉型量詞，根據(jù)(75)和(76)，可知存在見(jiàn)證集W使得

(83)Q(B,W)真

并且W?some(Aacc,R＜)，根據(jù)(15)，此即

(84)W?{x:some(A,{y:R＜(x,y)})}

另外，由于Q是下界量詞，根據(jù)(77)，W非空。由此根據(jù)引理1，W中有元素b使得

(85)對(duì)W中所有元素w，均有R＞(b,w)或R=(b,w)真

由于b是W的元素，它必是(84)右端集合的元素，即some(A,{y:R＜(b,y)})真。根據(jù)some的語(yǔ)義解釋?zhuān)赜蠥中元素a，使得R＜(b,a)真，亦即R＞(a,b)真。由此和 (85)，根據(jù) (56)，可知對(duì)W中所有元素w，均有R＞(a,w)真，即W?{w:R＞(a,w)}。由于Q是右遞增的，由此和(83)，可得Q(B,{w:R＞(a,w)})真，這即是說(shuō)a∈{z:Q(B,{w:R＞(z,w)})}。但因a∈A，由此可知some(A,{z:Q(B,{w:R＞(z,w)})})真。根據(jù)(15)，這即是說(shuō)some(A,Q(Bacc,R＞))真，(i)證畢。(ii)設(shè)前提every(B,Q(Aacc,R＜))真。根據(jù)every的語(yǔ)義解釋?zhuān)蠦?Q(Aacc,R＜)，根據(jù)(15)，此即

(86)B?{x:Q(A,{y:R＜(x,y)})}

由于B非空，根據(jù)引理1，B中有元素b，使得

(87)對(duì)B中所有元素w，均有R＞(b,w)或R=(b,w)真

由于b是B的元素，它必是(86)右端集合的元素，即Q(A,{y:R＜(b,y)})真。另外，由于Q是右遞增〈1,1〉型量詞，根據(jù)(75)和(76)，可知存在見(jiàn)證集W使得

(88)Q(A,W)真

并且

(89)W?{y:R＜(b,y)}

這即是說(shuō)對(duì)W中所有元素y，均有R＜(b,y)真，亦即R＞(y,b)真。由此和(87)，根據(jù)(56)，可知W中每個(gè)元素y對(duì)B中所有元素w，均有R＞(y,w)真，即W?{y:every(B,{w:R＞(y,w)})}。由于Q是右遞增的，由此和(88)，可得Q(A,{y:every(B,{w:R＞(y,w)})})真。根據(jù)(15)，這即是說(shuō)Q(A,every(Bacc,R＞))真，(ii)證畢。

在以上證明中，R＞和R＜的角色可以互相對(duì)調(diào)，由此可知(i)和(ii)兩式中的R＞和R＜如對(duì)調(diào)位置，等價(jià)關(guān)系仍然成立，定理2證畢。

7 總結(jié)

本文介紹了推導(dǎo)有效關(guān)系三段論的方法，也證明了此方法的有效性。把本文介紹的方法應(yīng)用于有效的簡(jiǎn)單三段論格式，所得結(jié)果必為有效的關(guān)系三段論格式。一個(gè)相關(guān)問(wèn)題是，能否使用本文介紹的方法推導(dǎo)出所有有效關(guān)系三段論格式？

由于本文介紹的方法須應(yīng)用簡(jiǎn)單三段論格式，如要使用此方法推導(dǎo)出所有包含廣義量詞的關(guān)系三段論，須先確定所有包含廣義量詞的有效簡(jiǎn)單三段論格式。但廣義量詞多種多樣，并非每一種都經(jīng)學(xué)者充分研究，本文也只提到其中幾種非經(jīng)典量詞（包括數(shù)值量詞、比例量詞、模糊量詞）的三段論格式，而對(duì)這幾種非經(jīng)典量詞三段論的研究還不算多，跟經(jīng)典三段論不可同日而語(yǔ)。因此，還有很多包含廣義量詞（包括本文沒(méi)有提到的廣義量詞類(lèi)別）的有效簡(jiǎn)單三段論格式未被發(fā)現(xiàn)。

此外，本文的研究也說(shuō)明了，如對(duì)關(guān)系三段論中所包含的二元謂詞加入一些附加條件（例如比較形容詞所滿(mǎn)足的條件），可得到更多推理結(jié)果（例如定理1和定理2），從而推導(dǎo)出更多有效關(guān)系三段論格式。可是，本文只是初步探討了加入這些附加條件的一些可行方法并初步提出一些推理結(jié)果，還未充分展開(kāi)這方面的研究，很多可行的附加條件和相關(guān)的推理結(jié)果尚待學(xué)者去發(fā)掘，因此本文介紹的方法雖未能窮盡所有有效關(guān)系三段論，但為研究包含廣義量詞的關(guān)系三段論提供了一個(gè)開(kāi)端，提供了進(jìn)一步研究的方向。

盡管如此，本文介紹的方法有很強(qiáng)的推導(dǎo)能力，能夠推導(dǎo)出學(xué)者此前提出的絕大多數(shù)涉及二元謂詞的有效關(guān)系三段論格式7我們?cè)\(yùn)用本文介紹的方法，推導(dǎo)出[3,8,10,11,13,15,20–23]中提到的所有有效關(guān)系三段論格式(包括某些被歸入公理或推理規(guī)則的關(guān)系三段論格式)，其中某些推導(dǎo)要使用前提代換以外的命題邏輯原理以及與比較形容詞有關(guān)的其他定理，但所用方法仍是本文介紹的基本方法。[17]研究了Hamilton三段論，這種三段論實(shí)質(zhì)上是以等詞作為二元謂詞的關(guān)系三段論；[18]則在其關(guān)系三段論推理系統(tǒng)中加入了一種形如if(some(A,exist),some(B,exist))的蘊(yùn)涵句，本文的研究并不涵蓋包含上述等詞和蘊(yùn)涵句的關(guān)系三段論。。另外，雖然本文只討論了二元謂詞，但不難把本文介紹的方法推廣應(yīng)用于三元或甚至更高元謂詞，并推導(dǎo)出[13]和[22]討論過(guò)的涉及三元謂詞的有效關(guān)系三段論，其方法如下：先對(duì)某個(gè)簡(jiǎn)單三段論格式進(jìn)行適當(dāng)代入，其中至少有一個(gè)代入項(xiàng)包含三元謂詞，而包含這個(gè)三元謂詞的語(yǔ)句實(shí)質(zhì)上等于一個(gè)二元謂詞。接著引入不受約束的個(gè)體變項(xiàng)x和y，把上述語(yǔ)句改寫(xiě)成包含x和y的開(kāi)語(yǔ)句（由于三元謂詞有三個(gè)論元，除了代表直接賓語(yǔ)的下標(biāo)acc外，還要使用代表間接賓語(yǔ)的下標(biāo)dat）。舉例說(shuō)，設(shè)Z和R分別是一元和三元謂詞，那么every(Z,R)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)二元謂詞，例如如果把Z和R分別理解為“男孩”和“告訴”，那么every(Z,R)便代表“告訴每名男孩”，這是一個(gè)包含兩個(gè)論元（告訴者和被告訴的信息）的二元謂詞。引入個(gè)體變項(xiàng)x和y后，便可以把這個(gè)二元謂詞改寫(xiě)成以下開(kāi)語(yǔ)句：

(90)x(yacc(every(Zdat,R)))

上式代表“x把y告訴每名男孩”。從以上討論可見(jiàn)，本文前面介紹的概念和方法也適用于三元謂詞，只不過(guò)由于三元謂詞有三個(gè)論元，推導(dǎo)包含三元謂詞的有效關(guān)系三段論的程序會(huì)較為繁復(fù)，而且要對(duì)前面介紹過(guò)的某些定理作適當(dāng)調(diào)整。

最后，本文推導(dǎo)有效關(guān)系三段論的方法是基于一種貼近自然語(yǔ)言表層結(jié)構(gòu)的形式表達(dá)式，在推導(dǎo)的過(guò)程中無(wú)需把表達(dá)式轉(zhuǎn)化為邏輯公式或集合論公式(只有在證明定理1和定理2時(shí)才須作這種轉(zhuǎn)化)，這正是當(dāng)今某些形式語(yǔ)義學(xué)者所稱(chēng)的“自然邏輯”（Natural Logic）研究路向（詳見(jiàn)[24]的說(shuō)明）。本文的研究說(shuō)明了利用自然邏輯的研究路向，可以發(fā)掘出自然語(yǔ)言中很多復(fù)雜句（這里指包含賓語(yǔ)或復(fù)雜主語(yǔ)的語(yǔ)句）的推理?？偫ǘ?，本文對(duì)關(guān)系三段論和自然邏輯的研究作出了一定貢獻(xiàn)。