摘要：為正確評估緊湊結構在外載荷作用下的安全性，推導隨機振動和諧波載荷下相對位移的理論計算方法，考慮響應點之間相關性，并以某工程結構有限元分析為例，對隨機振動和諧波載荷下結構中的間隙變化進行評估。將諧波載荷與隨機振動載荷進行等效轉換，數(shù)值模擬結果表明2種方法的計算結果完全吻合，相互驗證分析方法的有效性和正確性。

關鍵詞：隨機振動; 諧響應; 相對位移; 相關性; 數(shù)值模擬; 有限元

中圖分類號：O327; TB115.1

文獻標志碼：A

Structure gap change evaluation under random vibration and

harmonic excitation based on analysis of relative displacement

HU Jie

（Institute of System Engineering， China Academy of Engineering Physics， Mianyang 621999， Sichuan， China;

Shock and Vibration of Engineering Materials and Structures Key Laboratory of Sichuan Province，

Mianyang 621999， Sichuan， China）

Abstract：

To correctly evaluate the safety of compact structures under external excitation， the relative displacement calculation method is theoretically deduced under random vibration and harmonic excitation. The correlation between response points is considered， and the change of gap in structure under random vibration and harmonic excitation is evaluated by taking the finite element analysis of an engineering structure as an example. The equivalent conversion between harmonic excitation and random vibration excitation are done. The numerical simulation results show that the two methods are agree well with each other， which can prove the effectiveness and correctness of two analytical methods.

Key words：

random vibration; harmonic response; relative displacement; correlation; numerical simulation; finite element

收稿日期：2019-06-01

修回日期：2019-07-09

作者簡介：

胡杰（1982—），男，湖南岳陽人，副研究員，博士，研究方向為結構動力學，（E-mail）401hujie@caep.cn

0?引?言

相對位移可評估外載荷作用下結構之間發(fā)生碰撞的可能性。在設計方案階段開展數(shù)值仿真，可盡量降低設計失當風險，在工程領域中應用廣泛。

在結構設計中，由于空間限制或者其他結構緊湊性要求，結構中往往存在許多小的間隙。在外載荷作用下，組件之間可能發(fā)生碰撞。馮玉龍等[1]采用有限元法計算增壓載荷下飛機艙門與對應機頭結構的相對位移。在建筑抗震分析領域，主要考慮地震載荷下相鄰建筑結構之間是否會發(fā)生碰撞。FAGHIHMALEKI等[2]針對近場和遠場地震，通過數(shù)值模擬分析建筑結構之間的最大相對位移。國巍等[3]針對鐵路客運站建筑與橋梁結構在地震載荷下可能發(fā)生碰撞的隱患，開展動力學時程數(shù)值模擬，指出目前還缺乏對房屋與橋梁結構間安全距離統(tǒng)一的設計指導規(guī)范。白鳳龍等[4]研究橋梁相鄰結構在地震載荷下的碰撞問題，指出抗震設計標準中推薦的調整相鄰結構基本頻率相近、減小相鄰結構間的相對位移的建議僅在地震動空間變化效應可以忽略的前提下有效。此外，LI等[5-6]和LU等[7]通過傳感器實時監(jiān)測，基于測試數(shù)據(jù)分析研究不同類型建筑結構的相對位移。在醫(yī)學領域，何黎明等[8]和李海巖等[9]基于有限元法，在關注區(qū)域設置彈簧單元，進行沖擊載荷下顱骨-腦相對位移的數(shù)值模擬。李海巖等[10]又構建生物仿真度更高的第95百分位中國人頭部有限元模型，獲得與試驗結果基本吻合的顱骨-腦相對位移曲線，為交通事故中頭部損傷機理的研究提供理論依據(jù)。

上述研究涉及的外載荷大體可分為2類：一類是靜載荷，如增壓載荷，此時結構的位移變形基本恒定，在評估相對位移時可直接將變形結果進行簡單的幾何加減;另一類是動載荷，如地震載荷和沖擊載荷，與時間歷程相關，分析時間都較短，可以通過關注位置之間的響應時間歷程對比分析相對位移。對于隨機振動載荷，由于其具有寬頻率、長時間等特點，結構的響應是隨機的，結構上各點之間的響應存在相關性，各點之間的相對位移也具有隨機特性，這使得評估振動載荷作用下結構之間的相對位移更復雜，對此鮮有文獻涉及。

本文針對隨機振動和諧波2種振動載荷，推導相對位移計算公式，考慮響應之間的相關性，進行典型工程結構有限元數(shù)值模擬，并通過載荷等效轉換，相互驗證計算公式的有效性。

1?隨機振動載荷下的結構相對位移?計算方法

記A和B為結構上關注的2個點，在隨機振動載荷作用下，其響應是隨機變量，假定該變量滿足正態(tài)分布。記A、B點在隨機振動載荷下x方向的位移響應分別為UAx?和UBx?，根據(jù)統(tǒng)計分析方法，A、B兩點之間在x方向的相對變形D（Ux）的計算公式為

D（Ux）=D（UAx?-UBx?）=

D（UAx?）+D（UBx?）-2C（UAx?-UBx?）

（1）

式中：D（UAx?）和D（UBx?）分別為A、B兩點在x方向的位移響應方差;C（UAx?-UBx?）為A、B兩點在x方向的位移響應協(xié)方差。

同理，A、B兩點之間在y方向和z方向的相對變形D（Uy）和D（Uz）的計算公式分別為

D（Uy）=D（UAy?-UBy?）=

D（UAy?）+D（UBy?）-2C（UAy?-UBy?）

（2）

D（Uz）=D（UAz?-UBz?）=

D（UAz?）+D（UBz?）-2C（UAz?-UBz?）

（3）

上述公式考慮兩個隨機變量之間的相關性。根據(jù)工程分析需要，隨機振動分析的計算結果需取3倍均方根值，以滿足99.73%的置信度。

2?諧波載荷下的結構相對位移計算方法

在諧波載荷下，結構響應為譜形式，可用復數(shù)形式表示。記結構上A、B兩點的位移響應譜分別為

RA=RAr?（ω）+iRAi?（ω）

RB=RBr?（ω）+iRBi?（ω）

（4）

其中虛部包含響應的相位信息，將這2點的響應相減，可得到A、B兩點相對位移RAB?的復數(shù)形式為

RAB?=RA-RB=

RAr?（ω）-RBr?（ω）+i（RAi?（ω）-RBi?（ω））

（5）

RAB?中的虛部反映A、B兩點的相位差，也體現(xiàn)兩點響應之間的相關性。

3?隨機振動載荷與諧波載荷的等效換算

在隨機振動載荷下，結構響應的分析結果不包含相位信息，其相關性通過協(xié)方差體現(xiàn)，相對位移以均方根形式表現(xiàn)。在諧波載荷下，結構響應可通過復數(shù)形式（或以幅值結合相位的形式）體現(xiàn)，其虛部包含相位信息，相對位移可以用響應譜的差表示，并以復數(shù)形式的譜表征，該復數(shù)譜的幅值就可用來衡量相對位移的大小。

實際上，若將隨機振動載荷與諧波載荷進行等效換算，這2種載荷作用下得到的結構相對位移結果應當吻合。隨機振動載荷與諧波載荷的量綱不同，兩者之間的換算關系為

P（ω）=Q2（ω）/df

（6）

式中：P（ω）為隨機振動載荷的功率譜密度;Q（ω）為諧波載荷的幅值譜;df為頻率分辨率。

4?數(shù)值模擬

4.1?結構模型

某光學平臺結構模型見圖1。該平臺底部通過12個螺栓安裝于其他結構上，諸多光學器件安裝于同一平面，上覆蓋板，光學器件高度相同，蓋板與光學器件之間的間隙為5 mm。

4.2?隨機振動載荷下的相對位移數(shù)值模擬

隨機振動載荷基礎加速度功率譜見表1。載荷方向為橫向，分析在該隨機振動載荷下，蓋板是否會與光學器件發(fā)生碰撞。

采用Workbench進行建模和計算，結構節(jié)點位移響應的均方根值可以直接獲得，但兩節(jié)點響應之間的協(xié)方差無法直接獲取。在算例中，將計算結果在ANSYS經(jīng)典界面打開，采用APDL后處理得到協(xié)方差，然后通過式（1）～（3）進行計算。

得到的光學器件橫向位移響應均方根分布見圖2。若蓋板與光學器件發(fā)生碰撞，則碰撞位置應在光學器件上表面的邊緣，因此選擇光學器件上表面橫向位移響應最大的A點作為評估對象，并取蓋板下表面與A點正對應的點作為B點。

由式（1）計算得到隨機振動載荷下A、B兩點之間位移的3倍均方根值為4.086 mm，小于蓋板與光學器件之間的間隙（5 mm），因此不會發(fā)生碰撞。

4.3?諧波載荷下的相對位移數(shù)值模擬

假設頻率分辨率df=0.5 Hz，根據(jù)式（6）將表1中的隨機振動載荷換算為諧波載荷，見圖3。計算得到A、B兩點相對位移的幅值譜和相位差譜，見圖4。

幅值譜的3倍均方根值為4.085 mm，與隨機振動載荷下的結果吻合，說明這2種計算相對位移的方法有效，相互驗證準確性。需要說明的是，驗證結果與頻率分辨率取值無關，因為隨機振動載荷向諧波載荷轉換的位移，與諧波載荷轉換為隨機振動響應的幅值相互抵消。

5?結束語

動載荷下的結構間隙變化評估，可通過對相對位移的分析計算進行研究，且必須要考慮響應點之間的相關性。在隨機振動載荷下，相關性通過協(xié)方差表征;在諧波載荷下，相關性通過相位差表征，給出隨機振動和諧波載荷下的相對位移計算公式。同時，在頻率分辨率已知的情況下，諧波載荷與隨機載荷可以等效轉換，2種載荷形式下的相對位移數(shù)值計算結果高度吻合，相互驗證分析方法的準確性和有效性。

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