申江紅，高 麗，張明麗

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

如果一個(gè)數(shù)恰好等于它的因子之和，則稱該數(shù)為完全數(shù)，第一個(gè)完全數(shù)是6，第二個(gè)完全數(shù)是28。對(duì)于歐拉函數(shù)φ(n)方程解的研究一直以來(lái)都是數(shù)論方向的重要領(lǐng)域之一，對(duì)于形如

φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))

(1)

的歐拉函數(shù)φ(n)的線性方程有著一定的研究。文獻(xiàn)[1]討論了k為素?cái)?shù)時(shí)的情況，給出了k=3時(shí)的部分解；文獻(xiàn)[2]給出了k=3時(shí)方程(1)的全部解；文獻(xiàn)[3]給出了k=4時(shí)方程(1)的全部解；文獻(xiàn)[4]給出了k=4,6時(shí)方程(1)的全部解；文獻(xiàn)[5]給出了k=5時(shí)方程(1)的全部解；文獻(xiàn)[6]給出了k=7時(shí)方程(1)的全部解；文獻(xiàn)[7]給出了k=8時(shí)方程(1)的全部解；文獻(xiàn)[8]給出了k=9時(shí)方程(1)的全部解。

本文將討論一個(gè)包含完全數(shù)的非線性歐拉函數(shù)方程：

φ(mn)=4φ(m)+7φ(n)+28

(2)

的解，并給出其全部25組解。

1 定理及其證明

定理方程(2)有解：(m，n)=(15，61)，(15，77)，(15，122)，(15，124)，(15，154)，(16，61)，(16，77)，(16，93)，(16，99)，(20，61)，(20，77)，(20，93)，(20，99)，(24，61)，(24，77)，(30，61)，(30，77)，(8，138)，(10，92)，(10，138)，(15，21)，(15，36)，(15，42)，(24，21)，(30，21)。

證明設(shè)gcd(m,n)=d，則φ(d)=m1φ(d)，

φ(n)=n1φ(d)，其中m1,n1∈Z+。

由方程φ(d)(dm1n1-4m1-7n1)=28，

從而有φ(d)=1,2,4,14,28。

情況1φ(d)=1。

此時(shí)有dm1n1-4m1-7n1=28，由φ(d)=1，可得d=1,2。

當(dāng)d=1時(shí)，有m1n1-4m1-7n1=28，從而有

(m1-7)(n1-4)=56，因而有：

φ(m)=m1φ(d)=8，φ(n)=n1φ(d)=60，

則m=15，16，20，24，30；

n=61，77，93，99，122，124，154，186，198。

從而方程有解(m，n)=(15，61)，(15，77)，(15，122)，(15，124)，(15，154)，(16，61)，(16，77)(16，93)，(16，99)，(20，61)，(20，77)，(20，93)，(20，99)，(24，61)，(24，77)(30，61)，(30，77)。

當(dāng)d=2時(shí)，有2m1n1-4m1-7n1=28，從而有

(2m1-7)(n1-2)=42，因而有

φ(m)=m1φ(d)=4，φ(n)=n1φ(d)=44，

則m=5，8，10，12；n=69，92，138。

從而方程(2)有解(m，n)=(8，138)，(10，92)，(10，138)。

情況2φ(d)=2。

此時(shí)有dm1n1-4m1-7n1=14，由φ(d)=2，可得d=3，4，6。

當(dāng)d=3時(shí)，有3m1n1-4m1-7n1=14，從而有

(3m1-7)(3n1-4)=70。因而有：

φ(m)=m1φ(d)=6,φ(n)=n1φ(d)=26，

不存在n1∈Z+使得其情況成立，此時(shí)方程(2)無(wú)解。

φ(m)=m1φ(d)=8，φ(n)=n1φ(d)=12，

則m=15，16，20，24，30；

n=13，21，26，28，36，42。

從而方程(2)有解(m，n)=(15，21)，(15，36)，(15，42)，(24，21)，(30，21)。

gcd(m,n)≠3，從而方程(2)無(wú)解。

φ(m)=m1φ(d)=14，φ(n)=n1φ(d)=6，

由當(dāng)φ(m)=14時(shí)無(wú)解，故此時(shí)方程(2)無(wú)解。

當(dāng)d=4，4m1n1-4m1-7n1=14，從而有

φ(m)=m1φ(d)=4，φ(n)=n1φ(d)=30，

則m=5，8，10，12；n=31，62。

此時(shí)gcd(m,n)≠4，從而方程(2)無(wú)解。

當(dāng)d=6，6m1n1-4m1-14n1=14，從而有(6m1-7)(3n1-2)=56，不存在m1,n1∈Z+使得其情況成立，此時(shí)方程(2)無(wú)解。

情況3φ(d)=4。

此時(shí)有dm1n1-4m1-7n1=7，由φ(d)=4，可得d=5，8，10，12。

當(dāng)d=5時(shí)，有5m1n1-4m1-7n1=7，從而有(5m1-7)(5n1-5)=63。不存在m1,n1∈Z+使得其情況成立，此時(shí)方程(2)無(wú)解。

當(dāng)d=8，8m1n1-4m1-7n1=7，從而有

φ(m)=m1φ(d)=4，φ(n)=n1φ(d)=44，則

m=5，8，10，12；n=69，92，138。

此時(shí)gcd(m,n)≠8，從而方程(2)無(wú)解。

當(dāng)d=10，10m1n1-4m1-7n1=7，從而有(10m1-7)(5n1-2)=49，不存在m1,n1∈Z+使得其情況成立，此時(shí)方程(2)無(wú)解。

當(dāng)d=12，12m1n1-4m1-7n1=7，從而有(12m1-7)(3n1-1)=28，不存在m1,n1∈Z+使得其情況成立，此時(shí)方程(2)無(wú)解。

情況4φ(d)=14。

此時(shí)有dm1n1-4m1-7n1=2，由φ(d)=14，可得d無(wú)解，從而方程(2)無(wú)解。

情況5φ(d)=28。

此時(shí)有dm1n1-4m1-7n1=1，由φ(d)=28，可得d=29,58。

當(dāng)d=29時(shí)，有29m1n1-4m1-7n1=1，從而有(29m1-7)(29n1-4)=57。不存在m1,n1∈Z+使得其情況成立，此時(shí)方程(2)無(wú)解。

當(dāng)d=58，58m1n1-2m1-14n1=1，從而有(58m1-7)(29n1-2)=43，不存在m1,n1∈Z+使得其情況成立，此時(shí)方程(2)無(wú)解。

綜上可得本文結(jié)論。

2 結(jié)論

歐拉函數(shù)φ(n)是數(shù)論中的一類極其重要的函數(shù)，有關(guān)此類方程的解的研究也是數(shù)論方向的活躍課題之一。本文給出了一個(gè)包含完全數(shù)的非線性歐拉函數(shù)φ(n)的方程φ(mn)=4φ(m)+7φ(n)+28的全部25組解。