鐘麗麗 王利慶

【摘 要】 根據(jù)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵和特征，在發(fā)生式定義概念教學(xué)中，通過活動與體驗、思維方法、交流思辨、應(yīng)用與遷移四環(huán)節(jié)開展深度學(xué)習(xí).并以《平方差公式》教學(xué)為例，如何進(jìn)行深度學(xué)習(xí)設(shè)計，開展深度學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】 發(fā)生式定義概念;深度學(xué)習(xí);課堂教學(xué)

數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，既是數(shù)學(xué)推理、判斷、論證的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生能力和發(fā)展核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)[1].基于數(shù)學(xué)概念形成過程和表述方式的不同，數(shù)學(xué)概念可以歸類為描述性定義（如方程概念、不等式概念等）、形式化定義（如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)概念等）、發(fā)生式定義[2]（平方差公式、完全平方公式、各種因式分解的方法等）和關(guān)系性定義（三角形的內(nèi)心、外心、重心、角平分線、中線、高線等），本文以浙教版七下3.4《平方差公式》為例，開展對發(fā)生式定義概念進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的思考和實踐.

1 發(fā)生式定義概念教學(xué)要重視概念的發(fā)生、發(fā)展過程

發(fā)生式定義概念是指以概念的發(fā)生或形成的本質(zhì)屬性作為種差的定義.一般具有較強操作性，若是幾何概念，則可通過圖形的運動變換;若是代數(shù)概念，則是數(shù)式的運算.這一類概念教學(xué)，最忌教學(xué)中忽略概念來源，通過大量練習(xí)來替代概念理解和鞏固.這樣的教學(xué)，往往使學(xué)生只知其然而不知其所以然.因此教師在發(fā)生式定義概念教學(xué)中，要重視概念發(fā)生、發(fā)展過程，讓學(xué)生充分參與、體驗概念的形成過程建構(gòu)新知，并能在復(fù)雜情境中有效遷移和運用，促使學(xué)生高階思維的發(fā)展.2 數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)內(nèi)涵及其發(fā)生特征

2.1 數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)內(nèi)涵

根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點及課程標(biāo)準(zhǔn)要求，首都師范大學(xué)劉曉玫博士認(rèn)為：數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是以數(shù)學(xué)學(xué)科核心內(nèi)容為載體，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)主題和任務(wù)，全身心參與學(xué)習(xí)活動，開展運算與推理、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析和問題解決等為重點的思維活動，從而獲得數(shù)學(xué)核心知識，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)和思想方法，提高思維能力，形成核心素養(yǎng)的過程.數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解、對知識內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識和整體把握;是在經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程中體會數(shù)學(xué)思想方法，形成數(shù)學(xué)思維方式，并將數(shù)學(xué)知識方法與現(xiàn)實問題建立聯(lián)系，解決現(xiàn)實問題;是學(xué)生主動參與、積極探索、經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識“再發(fā)現(xiàn)”的過程;是不斷反思、質(zhì)疑和應(yīng)用，并對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象深加工的過程[3].

2.2 數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)課堂發(fā)生的基本特征

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)具有以下四個基本特征：一活動與體驗，學(xué)生在課堂上通過主體活動，在活動中發(fā)生內(nèi)心體驗，它是深度學(xué)習(xí)的核心特征.二聯(lián)想與結(jié)構(gòu)，通過已有知識經(jīng)驗去探究新知識，并將新知納入到原有知識結(jié)構(gòu)中，不斷優(yōu)化和完整.三本質(zhì)與變式，學(xué)生能抓住教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)屬性，全面把握知識內(nèi)在聯(lián)系，并能夠有本質(zhì)推出若干變式，對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深加工.在把握本質(zhì)屬性過程中，或質(zhì)疑、探究，或歸納、演繹，或情境體驗.四遷移與應(yīng)用，學(xué)生將所學(xué)知識轉(zhuǎn)化為解決問題能力.通過遷移應(yīng)用，完善學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性、完整性，培養(yǎng)和加強學(xué)習(xí)的主動性、積極性主動性[4].

由此可見深度學(xué)習(xí)是有意義學(xué)習(xí)，要求學(xué)生的學(xué)習(xí)在發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上同化;深度學(xué)習(xí)是理解性學(xué)習(xí)，重在引導(dǎo)學(xué)生通過深切體驗和深入思考，達(dá)成對數(shù)學(xué)知識理解和滲透;深度學(xué)習(xí)也是階梯式學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)是促進(jìn)式、階梯式并具有層次性.3 發(fā)生式定義概念課中開展深度學(xué)習(xí)的四個環(huán)節(jié)

平方差公式屬于發(fā)生式定義概念，平時也常稱之為公式課，它是用符號（字母、運算符號）表示量與量之間的關(guān)系（定理或定律）的式子.發(fā)生式定義概念是數(shù)學(xué)原理教學(xué)的一部分，在發(fā)生式定義概念的教學(xué)中，該如何開展深度學(xué)習(xí)，發(fā)展核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？筆者認(rèn)為：基于教師深度備課前提下，引領(lǐng)學(xué)生參與公式的探究、猜想、證明過程，深刻理解公式各部分符號的意義及內(nèi)在聯(lián)系，并能對公式變形和問題解決.深度學(xué)習(xí)下發(fā)生式定義概念教學(xué)一般環(huán)節(jié)如下圖1.

圖1 深度學(xué)習(xí)下初中數(shù)學(xué)發(fā)生式定義概念教學(xué)控制

3.1 創(chuàng)設(shè)問題情境，組織學(xué)生參與、體驗活動

以活動為載體，使學(xué)生在活動中，發(fā)揮主體作用，激發(fā)真實的、主動的內(nèi)心體驗，是開展深度學(xué)習(xí)的核心特征.教師通過深度備課，創(chuàng)設(shè)問題情境，使情境符合學(xué)生認(rèn)知特點的最近發(fā)展區(qū)，具有趣味性、操作性等特點，以激發(fā)學(xué)生主動參與的熱情與意愿.在發(fā)生式概念教學(xué)中，教師可以通過復(fù)習(xí)已有知識解決問題的方式（如乘法公式、冪的運算法則）;數(shù)學(xué)實驗（如乘法公式用面積思想）、生活實例等等手段，喚醒學(xué)生的認(rèn)知思維，激發(fā)學(xué)生內(nèi)心驅(qū)動，投入到學(xué)習(xí).

3.2 運用數(shù)學(xué)思維，體會概念獲得過程中的基本方法

學(xué)生在探究數(shù)學(xué)公式過程中，除獲得公式正確結(jié)果外，能結(jié)合命題呈現(xiàn)條件和背景，思考將會產(chǎn)生結(jié)論（大膽猜想）并用文字語言表達(dá)出來;敢于動腦、動手對猜想結(jié)果，探究驗證或演繹證明;能根據(jù)問題創(chuàng)設(shè)的情境，了解猜想常見途徑;根據(jù)獲取結(jié)論的不同思維程序，體悟數(shù)學(xué)公式獲得一般流程：引入—觀察—歸納—猜想—證明.獲得公式的思維程序，是探索、發(fā)現(xiàn)新事物路徑之一.而數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)重要內(nèi)容之一.因此在課堂教學(xué)中要加強“思維型教學(xué)”，用“數(shù)學(xué)思維”思考問題，完善知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展能力.

3.3 開展交流思辨，培養(yǎng)學(xué)生深度思考習(xí)慣

交流思辨，在公式建構(gòu)過程中非常重要，它可以避免學(xué)生在公式課學(xué)習(xí)中“只重視結(jié)論及結(jié)論的套用，不重視推導(dǎo)過程”的學(xué)習(xí)心理;也可以使教師在教學(xué)過程“強調(diào)記住結(jié)論，應(yīng)用結(jié)論，不重視知識形成過程”的“功利”教學(xué)心理.通過交流思辨，了解公式的來龍去脈，揭示其推導(dǎo)、論證中所用到有代表性的數(shù)學(xué)思想、思維方法，清晰公式適用的范圍及成立的特定條件.交流思辨是深度學(xué)習(xí)提升和培養(yǎng)學(xué)生個體“深度”的環(huán)節(jié)，它可以貫穿整個公式課的教學(xué)過程.

3.4 組織遷移應(yīng)用，提升學(xué)生解決問題能力

“遷移應(yīng)用”是指向應(yīng)用的“深度學(xué)習(xí)”體現(xiàn)，是學(xué)生個體經(jīng)驗的擴(kuò)展與提升，是學(xué)生“內(nèi)化知識”轉(zhuǎn)化為“外顯知識”環(huán)節(jié)，同時可以把新知識納入到舊知結(jié)構(gòu)中，實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)完善.在公式教學(xué)中，“遷移應(yīng)用”是對公式直接應(yīng)用的加深，對公式逆向應(yīng)用的拓展，總之要對公式能靈活變形，熟練掌握公式.4 初中數(shù)學(xué)公式課教學(xué)深度學(xué)習(xí)的案例分析

下文是筆者2019年4參加“浙江省千人百場專家名師送教下鄉(xiāng)”于江山的一次公開課，是浙教版七下第三章3.4《乘法公式》第1課時（平方差公式）.本文基于深度學(xué)習(xí)特征要素設(shè)計活動，呈現(xiàn)發(fā)生式定義概念如何開展深度學(xué)習(xí)路徑.課前預(yù)學(xué)單

1.計算下列各式：

①（m+n）（p+q）;②（a+b）（x-y）;③（2x+3y）（a-b）.

對于①（m+n）（p+q）并嘗試用幾何圖形來表示.

2.計算下列各式：

④（a+2）（a-2）;⑤（3-x）（3+x）;⑥（2m+n）（2m-n）.

思考并回答：

1）上述式子有什么結(jié)構(gòu)特征？

2）你能用式子表示這種特殊多項式相乘嗎？并嘗試對所寫式子進(jìn)行驗證.

設(shè)計意圖 首先，基于學(xué)生學(xué)情，剛學(xué)完多項式乘以多項式乘法法則，用題組形式呈現(xiàn)并課前解決，符合學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，符合學(xué)生認(rèn)知特點.其次就教材知識呈現(xiàn)次序而言，平方差公式是多項式乘以多項式的特殊形式，所以多項式與多項式的乘法法則是新知的“固著點”，利用已有知識作為情境引入的素材，可以充分發(fā)揮舊知的“先行組織者”功能，在一般情況下發(fā)現(xiàn)特例，并由此得到猜想、歸納、證明.第三，就學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)價值而言，感受有“一般到特殊”得出數(shù)學(xué)結(jié)論的研究思考路徑.最后，以預(yù)學(xué)單形式課前完成，可以讓各個層度的孩子有充分思考時間，尤其是學(xué)困生可以再一次鞏固多項式乘法法則.同時教師通過批改學(xué)生預(yù)學(xué)情況，了解每位孩子思考角度.

活動1 下列式子中哪些可以用平方差公式運算？如果滿足，請指出公式中的a，b分別是什么？

設(shè)計意圖 學(xué)生對平方差公式有初步的感受之后，設(shè)置這一組題目，讓學(xué)生加強辨識公式左邊的結(jié)構(gòu)特征，只有準(zhǔn)確掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，才能使學(xué)生在計算過程中，快速分辨采用一般多項式乘法法則還是采用平方差公式.在公式類型的課例教學(xué)中，可以采取拉長探索公式歷程的策略，通過題組辨析，熟悉公式特征，增強對數(shù)學(xué)公式本質(zhì)的理解，發(fā)展學(xué)生的深度思考力，發(fā)揮“公式課”的教學(xué)價值：培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、抽象概括能力和化歸能力.

活動2 下列運算正確嗎？若不正確請改正.

問題1：你能嘗試用文字語言表述平方差公式嗎？

設(shè)計意圖 通過活動1、2的辨析，學(xué)生對平方差公式左邊和右邊的結(jié)構(gòu)特征在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中更為清晰，這個時候提出用文字語言表述，就可以更精準(zhǔn).至此，已探究出平方差公式的兩種表征方式，深化學(xué)生對平方差公式的多角度認(rèn)識.數(shù)學(xué)公式的教學(xué)過程中，應(yīng)讓學(xué)生充分經(jīng)歷公式的生成過程，防止學(xué)生機(jī)械性的記憶公式，突破符號的形式化，真正深度學(xué)習(xí).

活動3 填空

設(shè)計意圖 歸納用平方差公式計算的一般步驟：1判斷2調(diào)整3計算，體會平方差公式具有“結(jié)構(gòu)不變性和字母可變性”特征.通過例題及活動2，熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運用平方差公式的條件.活動3的設(shè)計，主要是對平方差公式的逆用，旨在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，同時也為后續(xù)因式分解的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ).發(fā)揮例題和練習(xí)的教學(xué)功能，深化知識，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.在公式教學(xué)中，使學(xué)生充分感受公式的生成過程，熟悉和清晰公式的表征形式，把握公式形式化的本質(zhì)，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的教學(xué).

活動4 根據(jù)所給的單項式：x，y，2，任意選用運算符號，構(gòu)造出符合平方差公式特征的多項式乘法，并計算結(jié)果（可以添加正負(fù)號，每人至少寫5組.先獨立完成、再小組討論、核對，最后選擇5題寫在小黑板上展示）.

設(shè)計意圖 用平方差公式化簡計算過程的關(guān)鍵點在于找準(zhǔn)相同項和相反項，這恰是學(xué)生的易錯點和模糊點.這個開放性環(huán)節(jié)的設(shè)計，可以讓孩子進(jìn)一步理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，從而培養(yǎng)學(xué)生問題解決、思維發(fā)散等能力.放手讓孩子“自編自導(dǎo)自算”，讓孩子當(dāng)家做主，可以提高孩子的學(xué)習(xí)積極性.在小組核對討論環(huán)節(jié)，又可以相互學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步.同時也可以很好地落實“不同學(xué)習(xí)能力的學(xué)生有不同的發(fā)展”.

活動5 完成下列計算.

1.用平方差公式計算：

（1）103×97; （2）59.8×60.2.

2.計算：（x+1）（x-1）（2x2+2）.

設(shè)計意圖 這是平方差公式的應(yīng)用遷移，兩題關(guān)于數(shù)的簡便計算，實際上是對平方差公式中a，b及公式結(jié)構(gòu)的深度理解，對用字母表示數(shù)的靈活處理.2題的計算，是在一般問題的背景下，讓學(xué)生自動識別公式特征，一個問題情境下，多次使用公式，對學(xué)生的思維要求比較高.

活動6 談?wù)勥@節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？本節(jié)課我們是如何研究平方差公式的？

設(shè)計意圖 這個活動的設(shè)計一方面讓學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，養(yǎng)成及時總結(jié)、反思的好習(xí)慣;另一方面引導(dǎo)學(xué)生思考如何研究平方差公式，為后續(xù)相關(guān)概念如：完全平方公式的學(xué)習(xí)、因式分解方法等內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供了研究思路：特殊形式的多項式乘法—歸納結(jié)構(gòu)特征—提煉公式—辨識公式特征—應(yīng)用公式計算—拓展應(yīng)用.為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)與發(fā)展都有很大幫助，可以站在更高視角來審視概念認(rèn)識過程.

《平方差公式》這一節(jié)課，從蘊含的數(shù)學(xué)思想方法看：平方差公式的引入蘊含了分類與整合的思想;平方差公式在探究與證明過程中凸顯一般與特殊思想;平方差公式幾何意義的探究中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;平方差公式外延的辨析中培養(yǎng)了逆向思維;平方差公式應(yīng)用過程中體現(xiàn)了整體、化歸的數(shù)學(xué)思想.平方差公式自身的功能詮釋了建模與應(yīng)用的思想.這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)讓學(xué)生充分體驗和感悟了豐富的數(shù)學(xué)思想方法.從數(shù)學(xué)方法上來看，主要揭示了這一類概念學(xué)習(xí)的研究思路，可以站在更高的視角來審視概念的認(rèn)識過程，滲透了學(xué)生學(xué)法的指導(dǎo).

深度學(xué)習(xí)如何有效地在課堂教學(xué)中落地生根，重在充分發(fā)揮教師的組織者功能，筆者以為，可以基于以下三個方面作積極的探索和實踐：對教學(xué)內(nèi)容的深度理解上，要深刻理解教學(xué)內(nèi)容承載的教學(xué)功能;對教學(xué)內(nèi)容的深度設(shè)計上，采取什么樣適合的形式輸出，使設(shè)計更為有效;對教學(xué)形式的深度組織上，如何發(fā)揮學(xué)生的主體地位，主動參與教學(xué)過程，主動思考和自主探究.只有這樣，才能將學(xué)生這種內(nèi)源性的學(xué)習(xí)形態(tài)，轉(zhuǎn)變成深度學(xué)習(xí)的習(xí)慣.

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作者簡介 鐘麗麗（1983—），女，浙江杭州人，中學(xué)一級教師，余杭區(qū)骨干教師、教壇新秀，主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究.

王利慶（1973—），女，浙江紹興人，中學(xué)高級教師，教育碩士，杭州市教壇新秀，優(yōu)秀班主任，多篇教學(xué)論文獲獎及發(fā)表，主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究.