吳明澤，張曉偉，張慶明

(北京理工大學 爆炸科學與技術(shù)國家重點實驗室， 北京 100081)

薄壁圓管具有高比強度、高比剛度和輕質(zhì)量的特點，因此在抗沖擊結(jié)構(gòu)中得到廣泛應用[1]。其中，軸向壓縮條件下薄壁圓管的膨脹變形具有變形過程穩(wěn)定、載荷平滑、對載荷方向不敏感等優(yōu)點[2]，且膨脹壓縮載荷可通過壓模結(jié)構(gòu)參數(shù)改變實現(xiàn)在較大的范圍內(nèi)調(diào)控，以滿足不同載荷的載荷設(shè)計要求；但是，為了讓薄壁圓管充分膨脹，膨脹結(jié)構(gòu)中錐頭壓模的有效長度需得大于圓管的長度，導致膨脹機構(gòu)在工作中的整體行程效率較低(<50%)。而對于薄壁圓管的軸向劈裂變形模式則具有行程效率高的優(yōu)點，其行程效率能達到90%以上；但是，其平均載荷力較低，即使在75o的壓模錐角下，其平均載荷力也僅為薄壁圓管漸進壓潰模式平均載荷力的1/3[3-7]。學者們研究發(fā)現(xiàn)，通過一定的壓模結(jié)構(gòu)設(shè)計，能讓薄壁圓管在軸向下壓的過程中發(fā)生先膨脹后劈裂的組合變形模式，結(jié)合兩種變形模式的優(yōu)點，有效地提高薄壁圓管的吸能性能[8-10]。

對于薄壁圓管的膨脹-劈裂組合變形模式，其變形過程復雜，較難精確地給出結(jié)構(gòu)吸能性能參數(shù)與影響因素之間的理論解析式。因此，本研究提出通過試驗設(shè)計建立響應面模型(RSM)的方法[11-12]，去研究壓模結(jié)構(gòu)參數(shù)對組合變形模式下薄壁圓管吸能性能的影響。以比能量吸收率與最高峰值力為優(yōu)化目標，對結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化設(shè)計。

1 吸能性能指標和模型的建立

1.1 吸能性能指標

薄壁圓管吸能性能主要通過以下指標進行衡量[11-12]：

1) 最大峰值力Fmax：薄壁圓管變形過程中沿軸向產(chǎn)生的最大載荷。為了減小載荷對乘員的傷害，應盡可能降低沖擊過程中的最大峰值力。

2) 平均載荷力Fm:

(1)

式中：E為薄壁結(jié)構(gòu)所吸收的總能量；S為軸向下壓行程。

3) 比能量吸收率SEA:單位質(zhì)量的吸能結(jié)構(gòu)所吸收的能量。

(2)

式中：m為吸能結(jié)構(gòu)有效變形階段的質(zhì)量。為滿足結(jié)構(gòu)輕量化的設(shè)計要求，薄壁結(jié)構(gòu)的比能量吸收率應盡量大。

4) 吸能效率：即平均載荷力與最高峰值力的比值：

(3)

式(3)表征了結(jié)構(gòu)的能量吸收平穩(wěn)性，一定程度上也反映了材料的吸能利用率。

1.2 模型的建立

以內(nèi)徑Do=50 mm、厚度t=1.5 mm、長度L=200 mm的薄壁圓管作為研究對象。圖1為膨脹-劈裂組合變形模式的機構(gòu)示意圖，薄壁圓管在軸向受壓的過程中，壓模的下錐面使圓管發(fā)生膨脹，壓模的上錐面則使膨脹后的圓管管壁發(fā)生劈裂變形，兩錐角之間的間距h=23 mm，壓模中間部位的外徑為Dd。圓管的上端包裹住壓模，且圓管的頂端設(shè)置8個預制切口，讓劈裂變形更容易發(fā)生。圖2為機構(gòu)的有限元模型，壓模和下板設(shè)置為剛體，下板固支，壓模以2 m/s的速度軸向擠壓薄壁圓管。薄壁圓管采用單元尺寸為1 mm的S4R單元劃分，厚度方向上設(shè)置5個積分點，所有部件之間采用罰函數(shù)接觸算法，摩擦因數(shù)取0.07。

圖1 膨脹-劈裂組合模式機構(gòu)示意圖

圖2 有限元模型圖

薄壁圓管材料選擇為45#鋼，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7.8 g/cm3，其本構(gòu)關(guān)系采用Johson-Cook模型，且暫不考慮應變率和溫度效應：

σ=A+Bεn,εf=D1+D2exp(-D3σ*)

(4)

式中：σ等效應力；ε表示等效塑性應變；εf為失效應變；σ*為應力三軸度，是靜水壓力與Mises等效應力的比值；A、B、n、D1-D3為材料參數(shù)，如表1所示[13]。

表1 45#鋼的力學參數(shù)

壓模的上錐角α、下錐角β和壓模外徑Dd為3個設(shè)計變量，上錐角的參數(shù)變化范圍為[45°,75°]，下錐角的參數(shù)變化范圍為[5°,35°]，壓模外徑的參數(shù)變化范圍為[56 mm,64 mm]。

2 試驗設(shè)計

在建立響應面模型時，試驗點的選取應遵從一定的準則，以便只取少量的點就能使近似函數(shù)達到較高的精度。本文采用的是中心復合設(shè)計方法，同時考慮試驗點在設(shè)計參數(shù)空間中的正交性和旋轉(zhuǎn)性。它的試驗點數(shù)目N由3部分組成：

N=2p+2P+m0

(5)

其中：p為自變量的個數(shù)；2p代表的是因子設(shè)計點個數(shù)；2p代表的軸點個數(shù)；mo為中心點個數(shù)。N個試驗點分布在設(shè)計參數(shù)空間3個半徑不相等的球面上，其中因子設(shè)計點在半徑ρ=1的球面上，軸點在半徑ρ=γ的球面上，中心點在ρ=0的球面上。mo和γ的取值與設(shè)計變量個數(shù)p相關(guān)，以使得回歸系數(shù)求解矩陣不退化。

2.1 編碼轉(zhuǎn)換

壓模結(jié)構(gòu)包含3個設(shè)計變量α、β、Dd，三變量對應下的γ=(2p)1/4=1.682，mo=6，即有N=20個試驗點，圖3展示了每一個試驗點對應的編碼坐標，及其在設(shè)計空間中的相對位置。將設(shè)計變量參數(shù)空間分為5個水平面，并將相關(guān)參數(shù)進行編碼轉(zhuǎn)換，如表2所示。

圖3 試驗點編碼坐標及其在參數(shù)空間中的位置分布

表2 相關(guān)變量編碼轉(zhuǎn)換

2.2 試驗設(shè)計結(jié)果

組合模式下圓管變形過程如圖4所示，管壁在壓模的擠壓下，先發(fā)生膨脹變形，緊接著膨脹和劈裂兩種變形同時發(fā)生。對應的載荷-行程曲線如圖5所示，隨著壓模行程的增大，載荷迅速上升到第一個穩(wěn)定階段，這個階段是由于圓管只發(fā)生膨脹變形造成的；當行程繼續(xù)增大，管壁頂端與壓模上錐角接觸，管壁頂端也開始發(fā)生膨脹變形，此導致載荷又迅速上升；當圓管頂端膨脹到一定程度，頂端預制切口處的應變達到失效應變，管壁劈裂成八瓣，并在上錐角的約束下發(fā)生卷曲變形；此時，載荷迅速下降至第二個相對穩(wěn)定的階段，并圍繞著一個穩(wěn)定載荷呈周期性波動。試驗設(shè)計的結(jié)果如表3所示，同時列出了相應的參數(shù)響應值。

圖4 薄壁圓管組合模式下的變形過程

圖5 薄壁圓管載荷-行程曲線

表3 試驗點的吸能性能響應參數(shù)

續(xù)表(表3)

3 響應面模型的建立

3.1 響應面模型回歸系數(shù)的確定

由文獻[2-4]可知，當摩擦因數(shù)大于零時，下錐角β對膨脹變形的載荷響應是非線性的，因此在這里采用二次多項式作為實際函數(shù)f(x)的近似函數(shù)，三變量下的二階響應模型為：

(6)

式中，x1、x2、x3分別代表試驗點在參數(shù)空間中的編碼坐標值。

利用最小二乘法原理，使得近似函數(shù)與實際函數(shù)的誤差最小，以來確定響應面函數(shù)的回歸系數(shù)b，其計算公式為：

(7)

(8)

(9)

(10)

常數(shù)e、K、E、F、G與λ和p相關(guān)：

(11)

根據(jù)式(7)～式(11)，分別計算得到組合變形模式下平均載荷力Fm、最高峰值力Fmax和比能量吸收率SEA的二階響應模型方程為:

0.09x1x2-0.46x1x3-1.34x2x3+

(12)

0.09x1x2-0.08x1x3-0.28x2x3+

(13)

0.06x1x2-0.21x1x3-0.34x2x3+

(14)

通過式(15)將x1、x2、x3轉(zhuǎn)化成α、β、Dd，從而得到各吸能性能響應量與設(shè)計變量α、β、Dd之間的關(guān)系：

(15)

3.2 響應面模型的顯著性和精度分析

上述所求響應面模型能否真正反映設(shè)計目標y與設(shè)計參數(shù)的統(tǒng)計規(guī)律性，或是否可以作為有意義的二階近似模型，還需要對模型的顯著性進行F檢驗，并通過復相關(guān)系數(shù)R2和相對平均絕對誤差RAAE對響應面模性的精度進行評估：

(16)

(17)

(18)

由式(16)～式(18)對響應面模型的相關(guān)參數(shù)進行計算，如表4所示。查F臨界值表，有F0.05(9，10)=4.92，三響應面模型的吸能F值都大于4.92，說明三響應面方程都是高度顯著的。響應面模型的R2都較高，分別是0.99、0.98；且RAAE都較小，分別是0.009、 0.012和0.015，說明三響應面模型對實際函數(shù)的逼近程度很好，模型精度較高。

表4 響應面模型的顯著性和精度參數(shù)

4 討論

4.1 壓模結(jié)構(gòu)參數(shù)對吸能性能參數(shù)的影響

圖6和圖7分別為平均載荷力和最高峰值力的響應曲面，可看出兩載荷響應量與各設(shè)計變量的關(guān)系大致相似；兩載荷響應量與上錐角和壓模外徑呈單調(diào)遞增的關(guān)系，但會隨著下錐角的增大先增大后減小。當下錐角的角度在10°～15°時，載荷會存在最小值。文獻[2-4]指出當摩擦因數(shù)大于0時，膨脹管壓縮載荷與壓模錐角之間也有類似的關(guān)系，因此組合變形模式下該現(xiàn)象的發(fā)生應為摩擦力的存在對膨脹階段產(chǎn)生影響而造成的。

圖8為比能量吸收量的響應曲面，圓管在組合變形模式下，其比能量吸收量隨著上下錐角和壓模外徑的增大而增大。結(jié)合圖1和6，可看出下錐角在小角度下，平均載荷較大，在相同的行程下吸能量較多；但其角度越小，圓管上端需要包裹壓模的部位就越多，相同的壓模行程下，薄壁圓管有效變形區(qū)域的質(zhì)量就會越大，從而導致比能量吸收率與載荷在下錐角小角度下呈現(xiàn)較大差異的原因。結(jié)合式(3)、式(11)、式(12)可做出結(jié)構(gòu)吸能效率的響應曲面(圖9所示)，可看出組合變形模式下薄壁圓管的吸能效率在0.76～0.92之間，上錐角越小，吸能效率越高。

圖6 平均載荷力響應曲面

圖7 最高峰值力響應曲面

圖8 比能量吸收率響應曲面

圖9 吸能效率響應曲面

4.2 結(jié)構(gòu)優(yōu)化

對于吸能結(jié)構(gòu)，所希望結(jié)構(gòu)的比能量吸收率要盡量大，且其最高峰值力要盡量小。對兩者同時考慮，即進行多目標優(yōu)化，其數(shù)學表達式為：

(19)

為得到同時考慮兩個性能指標的優(yōu)化結(jié)果，采用非域分類遺傳算法(NSGA-II)，做出兩指標之間的Pareto前沿面，如圖10所示?？煽闯?，兩者呈現(xiàn)正相關(guān)的聯(lián)系，即存在很強的競爭關(guān)系。因此，如果設(shè)計者更注重結(jié)構(gòu)的比能量吸收率，就要考慮右上角的解，這同時意味著較高的峰值力，反之亦然。單方面?zhèn)戎氐膬?yōu)化結(jié)果，如表5和表6所示。傳統(tǒng)上，最令人滿意的決策通常是由權(quán)重法來決定的，它將所有的目標集合成于加權(quán)平均相關(guān)的單個成本函數(shù)，以強調(diào)它們的相對重要性。然而，在實際工程應用中，很難為每個目標分配適當?shù)臋?quán)重。為了從Pareto前沿面中確定最滿意的解，可通過理想點法確定最優(yōu)點，其數(shù)學表達式為：

(20)

圖10 Pareto前沿面

表5 側(cè)重比能量吸收率的優(yōu)化結(jié)果

表6 側(cè)重最小峰值力的優(yōu)化結(jié)果

表7 理想點法優(yōu)化結(jié)果

已有文獻[8-10]指出，該組合變形模式能提高其對應單一變形模式下薄壁圓管圓管的吸能性能。但是針對薄壁圓管在該組合變形模式和漸進壓潰變形模式下的吸能性能比較，還未有文獻指出。對相同幾何尺寸的薄壁圓管進行漸進壓潰的數(shù)值計算，其有限元模型及仿真結(jié)果如圖11所示，表8列出漸進壓潰變形模式下薄壁圓管的吸能性能參數(shù)。結(jié)合表5和表7看出，相對漸進壓潰變形模式，當壓模的幾何參數(shù)為α=75°、β=35°、Dd=64 mm時，組合變形模式下的比能量吸收率提高了1.4倍，其最高峰值力減弱了21%；當壓模的幾何參數(shù)為α=74°、β=32.1°、Dd=56.1 mm時，組合變形模式下的比能量吸收率提高1.1倍，其最高峰值力減弱了45%；且在不同幾何結(jié)構(gòu)的壓模下，薄壁圓管在組合變形模式下的吸能效率大于70%，而漸進壓潰變形模式下的吸能效率為46%，組合變形模式下圓管的吸能過程更加平穩(wěn)。因此，可以看出該組合變形模式在一定的壓模結(jié)構(gòu)設(shè)計下，其吸能性能優(yōu)于漸進壓潰變形模式，且其載荷響應能通過壓模結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)以適應不同的工作環(huán)境。

表8 薄壁圓管漸進壓潰變形模式下的吸能性能參數(shù)

圖11 有限元模型及變形結(jié)果

5 結(jié)論

1) 在組合變形模式下，薄壁圓管的載荷響應量隨著上錐角和壓模外徑的增大而增大，隨著下錐角的增大先增大后減小。吸能效率在76%～92%，隨著上錐角的增大而減小。

2) 在組合變形模式下，薄壁圓管的比能量吸收率隨著上錐角、下錐角和壓模外徑的增大而增大。

3) 相比較于漸進壓潰變形模式，當以比能量吸收率最大為優(yōu)化目標時，組合變形模式下薄壁圓管的比能量吸收率提高1.4倍，最高峰值力減弱21%；當以多目標優(yōu)化為目標時，組合變形模式下的比能量吸收提高1.1倍，最高峰值力減弱45%。