張鳳玲

【摘要】德國教育家第斯多惠指出：“教育的藝術(shù)的本質(zhì)不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒、鼓舞.”合情推理是啟迪學生思維的利器，教師在教學中啟發(fā)學生用合情推理遷移建模，指引學生用合情推理歸納拓展.

【關鍵詞】合情推理;遷移;數(shù)學建模;歸納回顧;拓展

教師創(chuàng)設具體生動的教學情境，喚起學生積極愉快的情感，激活學生的思維，不僅有利于培養(yǎng)學生多種優(yōu)良思維品質(zhì)，也體現(xiàn)了“在于激勵、喚醒、鼓舞”這種教學藝術(shù).顯然，啟迪學生思維是教學藝術(shù)的主旋律，也是教學藝術(shù)的核心，更是數(shù)學教學責無旁貸的使命.而合情推理就是啟迪小學生思維發(fā)展的利器[1].

一、合情推理，遷移利器

古希臘的哲學家蘇格拉底這樣說過：“教育不是灌輸，而是點燃火焰.”教師在教學中若想避免強硬地灌輸知識，可以借助合情推理，引導學生把已經(jīng)學到的知識技能自主地遷移到要學習的新知上.合情推理在不經(jīng)意間就把教師傳授知識變成了學生自主習得新知.在教學“比的基本性質(zhì)”時，由于在前一節(jié)課學生剛剛明確了比、除法、分數(shù)三者的對應關系，所以，教師啟發(fā)學生大膽猜一猜：除法有商不變的性質(zhì)，即被除數(shù)與除數(shù)同時乘或除以同一個不為零的數(shù)，商不變，而分數(shù)也有分數(shù)的基本性質(zhì)，即分數(shù)的分子和分母同時乘或除以同一個不為零的數(shù)，分數(shù)的大小不變.那么，比有沒有類似的性質(zhì)呢？學生利用合情推理很自然地就從這兩個熟悉的性質(zhì)遷移到比的基本性質(zhì)了，同時，將零散的知識系統(tǒng)化了.在教學“小數(shù)的加法”時，教師問：“你們是怎么計算整數(shù)加法的？”“將數(shù)字的末尾對齊！” “你知道為什么要將數(shù)字的末尾對齊嗎？”“因為這樣數(shù)位就對齊了！” “那么小數(shù)的加法能不能也像整數(shù)的加法那樣把末尾對齊呢？為什么？”“不能，因為小數(shù)的末尾可能是十分位，也可能是百分位或千分位！”“那該怎樣對齊小數(shù)的數(shù)位呢？”學生馬上就想到了對齊小數(shù)點，小數(shù)點對齊了，個位就對齊了，所有的數(shù)位都跟著對齊了.由計算整數(shù)加減要末尾對齊合情推理出計算小數(shù)加減時要小數(shù)點對齊，完成了整數(shù)加減法到小數(shù)加減法的完美遷移.在教學“圓的面積”時，學生在經(jīng)歷了數(shù)出3個邊長等于圓的半徑的正方形的面積，用數(shù)格子的方法數(shù)出3個對應圓的面積，計算出每個圓的面積是與邊長等于它的半徑的正方形的面積的倍數(shù)后，啟發(fā)他們大膽推測圓的面積是邊長等于它的半徑的正方形的面積的幾倍.有了剛剛學過的圓的周長是直徑的π倍，而這里反復出現(xiàn)3倍多一點，很容易讓他們合情推理出也是π倍.而到論證階段，學生自然而然地想到以往多邊形的面積公式的推導過程，如平行四邊形的面積通過剪拼法轉(zhuǎn)化成長方形的方法，那么，是否也可以遷移到把圓的面積通過剪拼法轉(zhuǎn)化成長方形呢？這樣的遷移順利地完成了圓的面積公式的推導，水到渠成，順理成章.

二、合情推理，建模利器

數(shù)學學習的過程在很多時候就是數(shù)學建模的過程.在數(shù)學建模的過程中，總少不了合情推理的身影[2].在教學“圓柱的體積”時，學生面對這種全新的柱體的體積，很自然地回憶起曾經(jīng)學習過的兩種立體圖形的體積——長方體和正方體的體積.它們的體積都可以統(tǒng)一用一個體積公式去求，即體積=底面積×高.學生很自然地推理出圓柱的體積是不是也可以用它的底面積×高去求？再次聯(lián)想圓的面積公式的推導過程是把圓形轉(zhuǎn)化成長方形，那么，這里的圓柱體是不是也可以用類似的方法轉(zhuǎn)化為長方體？在學生完成證明后，教師讓學生思考：是不是所有的柱體的體積都可以統(tǒng)一成這一個體積公式？為什么？學生展開自己的想象和推理，很快得出肯定的結(jié)論.如果柱體的底面是平行四邊形，可以通過割補法將它變成長方形，原來的柱體變成了長方體;如果柱體的底面是三角形，可以沿著它一邊的中位線裁開，再旋轉(zhuǎn)180°得到平行四邊形，再重復剛才的割補法將它變成長方形，原來的柱體變成了長方體;如果柱體的底面是其他的多邊形，都可以通過若干次割補法將它變成長方形，原來的柱體變成了長方體……所以，學生通過合情推理建立起了他們學習生涯中一個非常重要的數(shù)學模型：即柱體的體積=底面積×高.綜上所述，合情推理在數(shù)學模型建立過程中起到了重要作用：第一次合情推理指引了正確的猜想方向，第二次合情推理找出了正確的證明方法，第三次合情推理構(gòu)建了數(shù)學模型.一次次合情推理閃爍著智慧的光芒，讓我們越來越接近事實和真理.在教學“圓錐的體積”時，教師設計了兩個實驗，引導學生合情推理建立數(shù)學模型：一個是教師演示實驗，一個是學生實驗.實驗準備：透明的塑料教具（等底等高的圓錐和圓柱）、一臉盆水、紅墨水、一個小圓錐、一個大圓錐.實驗過程：出示等底等高的圓錐和圓柱.“同學們，仔細觀察老師手中的圓錐和圓柱，想一想，它們的底面積和高有什么關系？”“相等！”“怎么看出來的？”指名讓學生演示比較過程，學生把它們的底面重疊在一起“它們的底面積正好重合，所以底面積相等.你看，把它們放在桌面上它們一樣高，所以高也相等！”“你真會比，我們稱它們是等底等高的圓錐和圓柱，猜一猜，這個圓柱的體積是圓錐的幾倍？”“2倍！”“3倍！”“請看！”教師往臉盆里滴了幾滴紅墨水，再用透明的塑料圓錐裝滿水，倒入透明的塑料圓柱體中，“看看這里滿滿一圓錐的水可以到圓柱的幾分之幾的位置？”“三分之一”“讓我們來倒倒看！”“兩杯，三杯.三杯倒?jié)M，你猜對了嗎？”等底等高的圓柱和圓錐體積之間的倍數(shù)關系就這樣給學生留下了深刻的印象.學生實驗就是一個簡單的手工，用手中兩團顏色不同、大小相同的橡皮泥分別捏成圓柱和圓錐.第一次要求圓柱和圓錐的底面積相同，比較圓柱和圓錐的高.第二次要求圓柱和圓錐的高相同，比較圓柱和圓錐的底面積.學生很快投入到火熱的捏橡皮泥的實驗中，捏著捏著就會發(fā)現(xiàn)：圓柱和圓錐的體積和底面積都相等，就是用同樣大的橡皮泥捏出底面積一樣的圓柱和圓錐，而圓柱上下一樣粗，圓錐是越來越尖，用同樣多的橡皮泥捏出圓錐要高許多.輕松得出了第一個結(jié)論：體積相等、底面積相等的圓柱和圓錐，圓錐的高是圓柱高的3倍;再用這兩團橡皮泥捏出高相等的圓柱和圓錐，不難發(fā)現(xiàn)，圓錐的底面積是圓柱高的3倍.于是得出第二個結(jié)論：體積相等、高相等的圓柱和圓錐，圓錐的底面積是圓柱的3倍.

三、合情推理，歸納利器

歸納回顧是數(shù)學教學中不可忽視的重要環(huán)節(jié)，俗話說得好：“千金難買回頭看.”著名的教育家波利亞也曾指出：“你也許能找到一個更好的新解答，找出新的有趣的事實，無論如何，你如果養(yǎng)成以這種方式回顧和仔細檢查你所解答的習慣，你將獲得一些條理分明、隨時可以使用的知識，并且將會提高你的解題能力.”這些都明確地告訴我們一個道理：解出一道題，不是思考的結(jié)束，而是新的思考的開始.

教學例題：旅游團23人到旅館住宿，住三人間和兩人間（每個房間不能有空位），有多少種不同的安排？學生根據(jù)上節(jié)課所學的一一列舉的解決問題的策略，自主解答，展示出以下兩種不同的解法：

在教學時，我問學生：“這兩種解法，你更喜歡哪一種？”“第二種！”“為什么？”“它的表格短一些！簡單些！”“你知道為什么第二種的表短一些嗎？”“因為第二種解法，第一行表示的是3人間在逐漸增加，每增加1間就解決了3人的住宿.而第二種解法，第一行表示的是2人間在逐漸增加，每增加1間只能解決2人的住宿.所以第一行是3人間的表格短一些！” “再仔細觀察每個表格的第二行，你有什么發(fā)現(xiàn)？”“數(shù)字的變化好像有規(guī)律，第一個表的第二行后面的數(shù)總是比前面一個數(shù)小2，第二個表的第二行后面的數(shù)總是比前面一個數(shù)小3！”“這里的小2小3與題目中出現(xiàn)的2人間3人間，數(shù)字上的重復是不是偶然？”“不是偶然！因為3個2人間住的人正好住滿2個3人間.所以，我們看第一個表的第一行從1變成4表示2人間增加了3個，相應的第一個表第二行的3人間就從7變成5，表示3人間減少了2個：2×3=3×2.所以，這里有四種不同的安排，分別是：1個2人間和7個3人間、4個2人間和5個3人間、7個2人間和3個3人間、10個2人間和1個3人間.”學生還意猶未盡：“弄明白規(guī)律之后，其實我們只要找到了第一種，后面三種可以根據(jù)2人間每增加3個，3人間就相應地減少2個的規(guī)律推出來.”“我還知道這種住房間的題，以后列表時，把住人多的放在第一列，表就相應短一些！”利用合情推理進行歸納，學生收獲滿滿.

四、合情推理，拓展利器

孔子說：“舉一隅不以三隅反，則不復也.”意思是：學一件東西，不會靈活地思考，再把學到的方法運用到其他相類似的東西上，這樣的學生就沒法教了.偉大的教育先圣充分肯定了在學習過程中拓展應用的重要性.而合情推理又是必不可少的拓展利器.學生能熟練地利用合情推理輕松地做到舉一反三[3].在學習了六年級下“解決問題的策略”的例題時，學生根據(jù)畫圖的策略找到了解決雞兔同籠問題的一般性方法——假設法.

例題如下：全班42人去公園劃船，租10只船正好坐滿.每只大船坐5人，每只小船坐3人.租的大船、小船各有多少只？假設租的全是大船，那么10只大船可坐10×5=50（人），有50個座位，而全班只有42人去劃船，坐不滿，50-42=8（個），還有8個空座位.所以，要將其中的一部分大船換成小船.每只大船坐5人，每只小船坐3人.5-3=2（個），每將一只大船換成一只小船可以減少2個空座位：8÷2=4（只），要把其中的4只大船換成小船，所以，租的大船：10-4=6（只），租的小船：4只.已知總?cè)藬?shù)和總共要租的船的只數(shù)，還有大小船的滿載量，求租的大船、小船的只數(shù).在求解時，可以先假設全是大船或全是小船，再根據(jù)假設算出假設的座位，算出與實際人數(shù)的差，然后調(diào)整最初的假設.在學生做了幾道類似的練習之后，出示這樣一道思考題：在12張球桌上同時進行乒乓球比賽，雙打的比單打的多6人.進行雙打和單打比賽的乒乓球各有幾張？引導學生思考：“這道題和例題有什么不一樣？”“例題告訴了我們總?cè)藬?shù)，而這道題給出的是雙打的比單打的多的人數(shù)！”“想一想，這道題能不能也用和例題類似的方法來解決？”師生共同摸索：假設全是雙打，雙打就是12張桌，單打就是0張桌，雙打的比單打的多12×4=48（人）， 而實際雙打的比單打的多6人，假設與實際的差別是48-6=42（人）.問：“這里把雙打換成單打是不是抵消了2個人的差別，為什么？”學生經(jīng)過思索后明確：這里和例題不一樣，把一桌雙打換成單打，參加雙打的就少了4人，同時單打的就多了2人，換一次單打就比雙打多出6人，所以多出的42人要換7次，所以進行單打比賽的乒乓球桌有7張，雙打的有5張.

利用合情推理，學生成功地把經(jīng)典的雞兔同籠問題舉一反三拓展到復雜的變式題.“教”的最終目的是“不教”，而合情推理讓我們輕松地做到從“教”到“不教”，例題有限，拓展無窮.合情推理，居功至偉.

總 結(jié)

合情推理在教學時能夠啟發(fā)學生在他們迷茫躑躅時，指引遷移建模的方向，能夠帶領學生進行恰當歸納拓展，開闊視野，舉一反三，觸類旁通，不把數(shù)學學習拘泥于具體的解題.總之，合情推理是啟迪學生思維的利器.運用之妙，存乎一心！

【參考文獻】

[1]程雪.小學數(shù)學低年級學生審題能力的培養(yǎng)策略[J].數(shù)理化學習，2018（07）：17-18.

[2]單紅利.運用遷移原理促進學生認知[J].中小學數(shù)學，2018（04）：17-18.

[3]宋亞東.現(xiàn)代教育技術(shù)在小學數(shù)學教學中的優(yōu)缺點分析[J].數(shù)學學習與研究，2018（04）：52.