黃 榮

(江蘇省無錫市第一中學,214031)

近日,觀摩了一節(jié)公開課，課題為“函數(shù)的零點”,取得了預期的教學效果.本文展示這節(jié)課的教學實錄,并談?wù)劰P者的幾點思考.

一、教學實錄

1.零點概念

學生自主閱讀學習蘇教版《數(shù)學》必修1教材91頁到92頁例1之前的內(nèi)容(4分鐘).

師:什么是零點?

生:對于函數(shù)y=f(x),使f(x)=0的實數(shù)x.

師:如何從數(shù)和形兩個角度理解函數(shù)的零點?

生:從數(shù)的角度看,函數(shù)y=f(x)的零點為方程f(x)=0的根;從形的角度看,函數(shù)y=f(x)的零點為函數(shù)y=f(x)圖象與x軸交點的橫坐標.

教師PPT展示函數(shù)零點、方程根、函數(shù)圖象與與x軸交點橫坐標三者的關(guān)系.

例1如圖1，說出函數(shù)y=f(x)的所有零點.

生:-5,-2,0,4.

師:零點本質(zhì)是實數(shù),而不是點,如-5不能說成(-5,0).

2.零點探求

思考1:請你設(shè)計一個判斷一次函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上存在零點的方法.

生:f(a)·f(b)<0.

思考2:你設(shè)計的方法能否推廣到任意函數(shù),說說你的看法.

生:不能,要求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是不間斷的.

思考3:請同學們改進方案,組織語言,并形成定理.

學生經(jīng)過思考、討論,歸納出零點存在性定理:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點.

3.定理探究

探究1怎么理解定理中的“有”?

生:“有”,即存在,表示至少有一個零點.

追問①:零點個數(shù)有規(guī)律嗎?

生:有奇數(shù)個零點.

師:一定是奇數(shù)個?有沒有反例?

兩位學生在黑板上畫出反例,如圖2所示.

追問②:若f(x)是二次函數(shù),有幾個零點?

生:在區(qū)間(a,b)上只有唯一零點.

追問③:對于一般函數(shù)能否增加一個條件,使零點唯一?

學生:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào).

探究2圖象不間斷.

① 若f(a)·f(b)>0,函數(shù)f(x)是否一定不存在零點?

生:不一定,可用二次函數(shù)說明.

② 若函數(shù)f(x)存在零點,是否一定有f(a)·f(b)<0?

生:不一定,如圖3,f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有兩個零點,但f(a)·f(b)>0.

4.數(shù)學應(yīng)用

例2已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-2,3]上的圖象不間斷,則由表1可知,函數(shù)f(x)在(-2,3)上有______個零點.

表1

生:函數(shù)f(x)在(-2,3)上至少有3個零點.因為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-2,3]上的圖象不間斷,且f(-2)·f(-1)<0,所以在區(qū)間(-2,-1)上至少有1個零點,同理,在區(qū)間(-1,0)和(1,2)上都至少各有1個零點.

例3口答下列函數(shù)是否存在零點:

(1)f(x)=x2-2x-1,x∈(2,3);

(2)f(x)=x3-4x-1,x∈(1,3);

(3)f(x)=x3-4x-1,x∈(-2,0).

生:第(1)問,f(2)<0,f(3)>0,存在零點；第(2)問,f(1)<0,f(3)>0,存在零點；第(3)問,f(-2)<0,f(0)<0,不存在零點.

師:第(3)問,是這樣嗎?再想想.

生:f(-1)>0,存在零點.

師:至少存在幾個零點?

生:2個,分別在區(qū)間(-2,-1),(-1,0)上.

例4設(shè)函數(shù)f(x)=2x+mx-4.

(1)當m=1時,試問f(x)有幾個零點?

(2)當m=-1時,試問f(x)有幾個零點?

生:第(1)問,容易知道f(x)=2x+mx-4是R上的增函數(shù),所以f(x)=0有解,f(x)有零點.

師:可以這樣說明嗎?

生:哦,又因為f(1)<0,f(2)>0,所以f(x)有唯一零點.

師:對于第(2)問,f(x)=2x-x-4在R上不單調(diào),怎么處理?

生:畫圖.

師:怎么畫圖?

生:在同一坐標系中,畫出函數(shù)y=2x和y=x+4的圖象.

師:你能說說零點的大致范圍嗎?

生:由函數(shù)圖象知有2個零點,記為x1,x2(x10,f(2)<0,所以x2∈(2,3).又f(-4)>0,f(-3)<0,所以x1∈(-4,-3).

師:如果要讓x2更精確一點怎么辦?

生:取中間數(shù)2.5.

師:再精確.

生:再取中間數(shù).

師:這其實就是后面要學習的二分法.先由圖判斷大致范圍,再結(jié)合計算.形有直觀功能,而數(shù)可以入微,具體估算出范圍.

5.疑難化解

例5試將下列函數(shù)零點限定在相鄰的兩個整數(shù)之間.(板演)

(1)f(x)=2x-x-1;

(2)f(x)=x-lgx-3.

學生發(fā)現(xiàn)不宜利用函數(shù)單調(diào)性解決,受例4啟發(fā)，將第(1)問中f(x)=2x-x-1的零點問題轉(zhuǎn)化化歸為函數(shù)y=2x與y=x+1圖象公共點的問題,并正確畫圖解決.第(2)問類似.

議一議下列函數(shù)的零點個數(shù)：

(1)f(x)=x3-4x-1;

(2)f(x)=2x-x2.

學生獨立思考與分組討論相結(jié)合,由小組代表畫圖并發(fā)言.學生經(jīng)過努力，正確完成第(1)問.第(2)問由于圖象偏差,仍然遺漏零點,教師指出后用幾何畫板作演示.

師:請同學們進行自我小結(jié).

思考:函數(shù)f(x)=xln(x+1)-2的零點個數(shù).(留作課后思考題)

二、幾點思考

1.以生為本,重視學生的課堂參與

學生是數(shù)學學習的主人,課堂教學應(yīng)凸顯學生的主體地位,重視學生的課堂參與.這種參與不是形式上表面化的參與,而是富有數(shù)學意義的思維參與.

縱觀整節(jié)課可以發(fā)現(xiàn),雖有教師的問題預設(shè),以及必要的誘導點撥,但更多的是學生的思考探索和交流表達.從零點探求和定理探究環(huán)節(jié)來看,學生經(jīng)歷了定理的生成、發(fā)展和完善的過程,這不僅有助于領(lǐng)悟零點存在性定理的本質(zhì),而且還有助于培養(yǎng)學生勇于探索、敢于質(zhì)疑、善于反思的科學態(tài)度和理性精神.對于一些較難的例題,教師仍能從容不迫,給予學生思考的時間,鼓勵學生開口表達,動手操作實踐,在思考、交流、表達的過程中積累數(shù)學活動經(jīng)驗,提升數(shù)學學科素養(yǎng).

2.問題驅(qū)動,聚焦問題的深度思考

眾所周知,問題是數(shù)學的心臟,數(shù)學教學應(yīng)該圍繞數(shù)學問題展開,促使學生聚焦數(shù)學問題深度思考.因此,精心設(shè)計好的數(shù)學“問題鏈”顯得尤為重要.

縱覽各個教學環(huán)節(jié),課堂教學始終圍繞數(shù)學問題展開.教師以凝練的語言,提出問題,并適時追問和反問.以例題教學來看,問題設(shè)計簡潔有力、層層遞進,形成系列“問題鏈”.例2與例3前2問可以深化對零點存在性定理的基本理解,從例3第(3)問開始拓展延伸,要求逐步提高,對學生的思維提出了較高的挑戰(zhàn).從課堂表現(xiàn)來看,問題設(shè)計恰到好處,教師關(guān)鍵處適時點撥,能夠有效促進學生的深度思考.

3.探究引領(lǐng),彰顯深度思考的思維價值

根據(jù)任務(wù)設(shè)計的思維價值,可以把數(shù)學教學劃分為三種水平,即記憶、解釋性理解和探究性理解.數(shù)學教學應(yīng)設(shè)計與實施探究性任務(wù),彰顯數(shù)學探究的思維訓練價值.

以零點存在性定理的探究為例.如果直接告知學生,再利用習題鞏固,那么教學就停留于記憶層次;如果學生思考不足,就提出定理,給予解釋,那么教學就止步于解釋性理解層次.本節(jié)課,教師以定理探究為引領(lǐng),從一次函數(shù)零點存在性的判定切入,搭建“腳手架”,再自然地推廣到任意函數(shù),最后要求學生組織語言形成定理.整個教學環(huán)節(jié),由特殊到一般,學生在主動探究中獲得了定理,提升了素養(yǎng).這樣的探究活動,是真探究,彰顯了數(shù)學探究的思維訓練價值.

當然,從一定意義上來說，教學也是遺憾的藝術(shù).這節(jié)課由于時間原因,在收尾環(huán)節(jié)略顯倉促,否則教學效果應(yīng)該更好.此外,由于教學對象是學校的一個實驗班,具有較強的學習能力.因此,對于數(shù)學能力層次較低的教學對象,是否能采用這樣的教學方式,尚需進一步探討.