摘 要 在APOS理論引介到我國(guó)之后的十幾年里，我國(guó)的數(shù)學(xué)教育研究者開(kāi)展了大量的實(shí)證研究、應(yīng)用研究與評(píng)價(jià)研究。當(dāng)前研究存在著一些對(duì)APOS理論的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，比如：將APOS理論理解為一個(gè)線性的心理結(jié)構(gòu);將APOS理論定位為一種代數(shù)學(xué)習(xí)理論;認(rèn)為APOS理論只能服務(wù)于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。走出認(rèn)識(shí)誤區(qū)，才能真正實(shí)現(xiàn)APOS理論的超越。一方面，APOS理論提供了學(xué)習(xí)新知的三種方式;另一方面，提供了劃分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題解決學(xué)習(xí)階段的依據(jù)。

關(guān)鍵詞 APOS理論 概念學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決

APOS理論是美國(guó)學(xué)者杜賓斯基（Ed Dubinsky，1993）等人提出的一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，討論了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理階段或結(jié)構(gòu)，即操作、過(guò)程、對(duì)象和圖式[1]。在APOS理論引介到我國(guó)之后的十幾年里，我國(guó)的數(shù)學(xué)教育研究者開(kāi)展了大量的實(shí)證研究、應(yīng)用研究與評(píng)價(jià)研究。一些研究定勢(shì)使得基于APOS理論的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究陷入了瓶頸期，我們不得不放慢腳步，以擺脫當(dāng)前“廣而不深”“一葉障目”的研究局面。

一、APOS理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)與功能定位

APOS理論本質(zhì)上討論的是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理結(jié)構(gòu)與心理機(jī)制的問(wèn)題。已有研究對(duì)這兩個(gè)概念的混淆不利于學(xué)習(xí)者區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)的階段與方法。斯滕格（Stenger et al.， 2008）等人對(duì)這兩個(gè)概念進(jìn)行了區(qū)分，指出“心理結(jié)構(gòu)是個(gè)體用于理解數(shù)學(xué)情境的相對(duì)穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，而心理機(jī)制是個(gè)體頭腦中形成這一結(jié)構(gòu)的方法”[2]。這也就是說(shuō)，心理結(jié)構(gòu)是一種靜態(tài)的結(jié)構(gòu)，心理機(jī)制是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，心理機(jī)制使得個(gè)體從一種心理結(jié)構(gòu)向另一種心理結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化成為可能。

更為具體地，杜賓斯基等人用操作、過(guò)程、對(duì)象和圖式來(lái)表示數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的心理結(jié)構(gòu)。對(duì)某一數(shù)學(xué)對(duì)象實(shí)施操作，這種操作經(jīng)過(guò)內(nèi)化成為過(guò)程，過(guò)程可以被壓縮為一個(gè)完整的對(duì)象，整個(gè)系統(tǒng)成為圖式的一部分，當(dāng)個(gè)體運(yùn)用圖式去解決問(wèn)題而不需要反思圖式中的元素和關(guān)系時(shí)，則說(shuō)明圖式經(jīng)過(guò)了主位化，主位化是個(gè)體有意識(shí)地將圖式用于問(wèn)題解決中的機(jī)制[3]。上述內(nèi)化、壓縮和主位化等方法就是貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終的心理機(jī)制。此外，協(xié)調(diào)、逆轉(zhuǎn)、解壓等也是促進(jìn)各種心理結(jié)構(gòu)形成的心理

機(jī)制。

相應(yīng)地，心理結(jié)構(gòu)與心理機(jī)制的本質(zhì)差異使得APOS理論可以從兩個(gè)方面進(jìn)行功能定位。首先，APOS理論具有診斷功能。它能夠調(diào)查個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解并描述個(gè)體的思維發(fā)展情況[1]。這一功能中，APOS理論作為一個(gè)分析工具，用于診斷學(xué)習(xí)者是否形成了某一心理結(jié)構(gòu)，診斷的結(jié)果為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)與行為糾正等提供了參考。其次，APOS理論具有解釋功能。心理機(jī)制能夠解釋個(gè)體的數(shù)學(xué)知識(shí)是如何建構(gòu)的[4]。這一功能中，APOS理論作為一個(gè)理論基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行指導(dǎo)，或?yàn)檫M(jìn)一步的應(yīng)用研究提供依據(jù)。

二、APOS理論的反思

1.操作、過(guò)程、對(duì)象、圖式并不是一個(gè)線性的結(jié)構(gòu)

APOS理論的心理結(jié)構(gòu)常被解讀為從低層次到高層次的線性結(jié)構(gòu)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理結(jié)構(gòu)在心理機(jī)制的作用下形成了一個(gè)環(huán)形的結(jié)構(gòu)（如圖1所示），并且環(huán)形結(jié)構(gòu)中的每一個(gè)要素間的聯(lián)系不都是單向的。操作是一種直接進(jìn)行的外部轉(zhuǎn)換，每一步轉(zhuǎn)換在外在的引導(dǎo)下精確地表示，既不能主觀臆斷，也不能隨意跳過(guò)。過(guò)程不同于操作，雖然也是在執(zhí)行轉(zhuǎn)換，但是并不需要經(jīng)過(guò)每一步。隨著操作步驟的重復(fù)和對(duì)操作過(guò)程的反思，個(gè)體從依靠外在的提示轉(zhuǎn)向依靠?jī)?nèi)部調(diào)控。內(nèi)化使得這一心理變化成為可能。只有當(dāng)個(gè)體嘗試對(duì)過(guò)程進(jìn)行壓縮時(shí)，才有可能將一個(gè)動(dòng)態(tài)的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為可以應(yīng)用的靜態(tài)結(jié)構(gòu);只有當(dāng)個(gè)體意識(shí)到過(guò)程可以作為一個(gè)整體時(shí)，才能形成對(duì)象。當(dāng)然也存在這樣一種情況：簡(jiǎn)單的操作或是達(dá)到高度自動(dòng)化的操作，可以直接形成對(duì)象。

值得注意的是，一旦過(guò)程被壓縮成心理對(duì)象，它還可以在需要引發(fā)的時(shí)候解壓為潛在的過(guò)程。也就是說(shuō)，經(jīng)過(guò)解壓機(jī)制，個(gè)體還能將對(duì)象還原為先前的過(guò)程。協(xié)調(diào)是基于多個(gè)過(guò)程建構(gòu)新的對(duì)象所必不可少的心理機(jī)制，兩個(gè)對(duì)象在分別解壓為先前的過(guò)程后，相互協(xié)調(diào)并重新被壓縮為一個(gè)新的對(duì)象，如復(fù)合函數(shù)概念的形成。逆轉(zhuǎn)是建構(gòu)新對(duì)象的另一心理機(jī)制。某一過(guò)程在逆轉(zhuǎn)機(jī)制的作用下所形成的新過(guò)程，將被重新壓縮為新的對(duì)象，如反函數(shù)概念的形成。操作、過(guò)程、對(duì)象三者之間的互動(dòng)可以促成圖式的形成，一旦圖式作為連續(xù)結(jié)構(gòu)的集合體被建構(gòu)起來(lái)，并且集合體中各個(gè)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系被建立起來(lái)時(shí)，這個(gè)圖式就能被轉(zhuǎn)化為一個(gè)穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)或者可以同化其它圖式的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，也就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組。

2.APOS理論不只是一種代數(shù)學(xué)習(xí)理論

杜賓斯基在系統(tǒng)論述APOS理論時(shí)，選擇了線性代數(shù)、統(tǒng)計(jì)和微積分作為具體的例證，但這并不意味著該理論不適用于幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)。與代數(shù)知識(shí)不同，幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)是由具體到抽象的過(guò)程，幾何圖形或幾何體是由生活中的具體實(shí)物抽象而來(lái)。具體來(lái)說(shuō)，操作這一心理結(jié)構(gòu)在幾何學(xué)習(xí)中表現(xiàn)為能夠借助外在的提示，找到或列舉出與某一實(shí)物類型相同的其它實(shí)物;在進(jìn)一步的學(xué)習(xí)中，逐漸表現(xiàn)出擺脫提示，并能夠從已有的例子出發(fā)，類比出同類的其它實(shí)物即為過(guò)程;而能夠總結(jié)出這一類事物所具有的本質(zhì)特征，才能夠形成對(duì)這一類實(shí)物的完整認(rèn)識(shí)，并嘗試概括出具體概念以及抽象出代表這一類實(shí)物的幾何圖形或幾何體。類似的過(guò)程在高等幾何中也是存在的，根據(jù)圖形與空間的關(guān)系，可以對(duì)幾何圖式的發(fā)展進(jìn)行描述，如從歐氏幾何關(guān)注的圖形的表征與圖形的性質(zhì)，到變換系統(tǒng)的引入，再到變換群的引入[3]。因此，APOS理論也是適用于幾何學(xué)習(xí)的理論。

3.APOS理論不只服務(wù)于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)

一般認(rèn)為，APOS理論是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)理論，但并不等同于APOS理論只服務(wù)于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。靜態(tài)的概念學(xué)習(xí)最終會(huì)向高階思維水平發(fā)展，其達(dá)成的學(xué)習(xí)結(jié)果也不再是陳述性的知識(shí)。杜賓斯基從建構(gòu)主義的視角分析了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，他認(rèn)為個(gè)體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在經(jīng)過(guò)思維的操作、過(guò)程、對(duì)象之后，將它們組合成圖式[3]。操作即感知到外部刺激，并對(duì)刺激進(jìn)行轉(zhuǎn)換。這種對(duì)不同刺激作出不同反應(yīng)的能力也就是加涅智慧技能層級(jí)論中的“辨別”。接下來(lái)，在“辨別”基礎(chǔ)之上形成的“概念”，也是學(xué)習(xí)者通過(guò)操作達(dá)成的學(xué)習(xí)結(jié)果。因此，一般運(yùn)用APOS理論進(jìn)行的所謂的概念教學(xué)，其達(dá)成的學(xué)習(xí)結(jié)果已不僅僅是“概念”，其教學(xué)內(nèi)容已涉及對(duì)“概念”的進(jìn)一步理解和運(yùn)用，它可以達(dá)成更高層次的智慧技能。過(guò)程和對(duì)象這兩個(gè)心理結(jié)構(gòu)的相同之處在于形成了以“概念”為前提的“規(guī)則”，不同之處在于過(guò)程強(qiáng)調(diào)一種過(guò)程模式的建構(gòu)，相當(dāng)于“規(guī)則”的自動(dòng)化;對(duì)象強(qiáng)調(diào)將過(guò)程作為一個(gè)整體進(jìn)行轉(zhuǎn)換或運(yùn)算，是指“規(guī)則”的遷移與運(yùn)用。由過(guò)程向?qū)ο蟮霓D(zhuǎn)化構(gòu)成數(shù)學(xué)思維的一個(gè)基本形式[5]。包括操作、過(guò)程、對(duì)象在內(nèi)的整個(gè)認(rèn)知系統(tǒng)即為圖式，不同圖式的整合和精致將伴隨簡(jiǎn)單“規(guī)則”的復(fù)雜組合。這一階段所形成知識(shí)的綜合圖式將被納入自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，與已有的知識(shí)建立新的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系[6]。因此，圖式是有助于達(dá)成加涅智慧層級(jí)論中的“高級(jí)規(guī)則”的心理結(jié)構(gòu)，是學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決學(xué)習(xí)的前提條件。

三、APOS理論的超越

不得不承認(rèn)的是，一直以來(lái)對(duì)APOS理論的一些誤解使得研究者和一線工作者對(duì)這一理論的認(rèn)識(shí)是片面的、甚至是錯(cuò)誤的。走出APOS理論的認(rèn)識(shí)誤區(qū)是實(shí)現(xiàn)理論超越的必由之路。

1.APOS理論提供了學(xué)習(xí)新知的三種方式

APOS理論有助于理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)并提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的科學(xué)性。該理論提供了學(xué)習(xí)新知的三種方式，這三種方式遵循了不同心理結(jié)構(gòu)的發(fā)生發(fā)展的順序。

（1）操作—過(guò)程—對(duì)象

“操作—過(guò)程—對(duì)象”是三種學(xué)習(xí)新知的方式中最為基礎(chǔ)的一種，圍繞這一種方式開(kāi)展的應(yīng)用研究也是最為普遍的。內(nèi)化和壓縮兩種心理機(jī)制分別實(shí)現(xiàn)了這一學(xué)習(xí)方式中的兩次轉(zhuǎn)化，即“操作—過(guò)程”的轉(zhuǎn)化和“過(guò)程—對(duì)象”的轉(zhuǎn)化。以函數(shù)為例，當(dāng)學(xué)習(xí)者從不同給定點(diǎn)函數(shù)值的重復(fù)計(jì)算，發(fā)展為在大腦中形成一種“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的過(guò)程模式時(shí)，也就是將一種外部刺激內(nèi)化為一種過(guò)程模式，完成了從“操作”到“過(guò)程”的轉(zhuǎn)化;當(dāng)學(xué)習(xí)者進(jìn)一步將這一種“對(duì)應(yīng)關(guān)系”以整體的形式用于運(yùn)算，并能夠?qū)瘮?shù)的性質(zhì)作出判斷時(shí)，則是將這一“過(guò)程”壓縮為一個(gè)“對(duì)象”[7]?！安僮鳌薄斑^(guò)程”和“對(duì)象”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的三個(gè)基本要素，當(dāng)這三個(gè)要素以其它的順序或形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，還需要其它的心理機(jī)制作支撐。解壓、協(xié)調(diào)、逆轉(zhuǎn)的心理機(jī)制提供了學(xué)習(xí)新知的另外兩種方式，這也是容易被研究者忽視的兩種方式：“兩對(duì)象—兩過(guò)程—相互協(xié)調(diào)的過(guò)程—新對(duì)象”和“對(duì)象—過(guò)程—逆轉(zhuǎn)后的過(guò)程—新對(duì)象”。

（2）兩對(duì)象—兩過(guò)程—相互協(xié)調(diào)的過(guò)程—新對(duì)象

某些新的對(duì)象的形成需要以兩個(gè)甚至多個(gè)靜態(tài)的對(duì)象為學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，這一新的對(duì)象的形成不能簡(jiǎn)單理解為先前多個(gè)對(duì)象的疊加，而是需要將先前的對(duì)象還原為可操作的過(guò)程，并且使這些過(guò)程相互協(xié)調(diào)地整合在一起，再次壓縮為一個(gè)整體，形成一個(gè)新的對(duì)象。同時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，組合的順序也會(huì)影響新的對(duì)象的形成，如復(fù)合函數(shù)f （ g （x））與g （ f （x））雖然都是以函數(shù)f （x）、g （x）為基礎(chǔ)，卻形成了兩個(gè)不同的函數(shù)對(duì)象。在形成這兩個(gè)復(fù)合函數(shù)之前，我們對(duì)函數(shù)f （x）、g （x）的認(rèn)識(shí)需要重新回歸到“在定義域內(nèi)給定任意一個(gè)x值都有一個(gè)相應(yīng)的f （x）值與之對(duì)應(yīng)”的動(dòng)態(tài)過(guò)程中，這一動(dòng)態(tài)過(guò)程影響著形成新對(duì)象定義域的過(guò)程。在認(rèn)清f （x）的定義域?yàn)?/p>

{x丨x∈A}，g （x）的定義域?yàn)閧x丨x∈B}的基礎(chǔ)上，生成復(fù)合函數(shù)f （ g （x））的定義域{x丨g （x）∈A∩x∈B}，

以及g （ f （x））的定義域{x丨x∈A∩f （x）∈B}的過(guò)程，用到的就是心理機(jī)制中的協(xié)調(diào)，這一過(guò)程還將被壓縮為新的整體，實(shí)現(xiàn)個(gè)體對(duì)這一對(duì)象的完整認(rèn)識(shí)。

（3）對(duì)象—過(guò)程—逆轉(zhuǎn)后的過(guò)程—新對(duì)象

還有一類對(duì)象不能獨(dú)立于另一對(duì)象單獨(dú)存在，而是與另一對(duì)象成對(duì)出現(xiàn)。這類對(duì)象的特點(diǎn)是不能脫離另一對(duì)象的形成過(guò)程實(shí)施教學(xué)。如“相反數(shù)”這一對(duì)象的形成首先要將個(gè)體對(duì)“數(shù)”的整體認(rèn)識(shí)還原為一個(gè)過(guò)程——正數(shù)就是數(shù)軸上從原點(diǎn)出發(fā)向右移動(dòng)若干單位的位置所表示的量，零是數(shù)軸上原點(diǎn)位置上表示的量，負(fù)數(shù)是數(shù)軸上從原點(diǎn)出發(fā)向左移動(dòng)若干單位的位置所表示的量;“相反數(shù)”這一對(duì)象則是在上述過(guò)程的逆轉(zhuǎn)機(jī)制中生成的，即個(gè)體需要在數(shù)軸上表示出表示相反意義的量，再將這一過(guò)程壓縮為具體的對(duì)象。又如，“對(duì)頂角”這一概念的形成也要將個(gè)體對(duì)“角”的整體認(rèn)識(shí)還原為一個(gè)過(guò)程——從一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)引出兩條射線，“對(duì)頂角”則是反向延長(zhǎng)這兩條射線所形成的，同樣也用到了逆轉(zhuǎn)的心理機(jī)制。類似地，“平方”與“平方根”，“函數(shù)”與“反函數(shù)”等數(shù)學(xué)對(duì)象的形成也是如此。

不難看出，本文所論述的學(xué)習(xí)新知的三種方式共同組成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的環(huán)形結(jié)構(gòu)。

2.APOS理論提供了劃分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題解決學(xué)習(xí)階段的依據(jù)

盡管國(guó)內(nèi)外學(xué)者和研究機(jī)構(gòu)對(duì)問(wèn)題解決的界定是多樣的[8]，數(shù)學(xué)問(wèn)題的形式是豐富的，而且每一個(gè)問(wèn)題的具體解決過(guò)程不同，但從整體上考察這些問(wèn)題解決的過(guò)程，它們卻是有規(guī)律的[9]。APOS理論中的圖式形成的三個(gè)階段為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決學(xué)習(xí)的階段劃分提供了理論依據(jù)，明確每一階段的學(xué)習(xí)任務(wù)對(duì)落實(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)計(jì)劃具有重要意義。

（1）數(shù)學(xué)問(wèn)題解決學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備階段

尚處于準(zhǔn)備階段的學(xué)習(xí)者，已經(jīng)習(xí)得解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所需要的概念和規(guī)則，卻沒(méi)有形成或者只形成了部分可操作的對(duì)象。其解題過(guò)程常表現(xiàn)得相對(duì)具體，需要借助具體的實(shí)物來(lái)表征問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系，有時(shí)還會(huì)把一些無(wú)關(guān)的條件考慮到問(wèn)題中。進(jìn)入準(zhǔn)備階段的學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)任務(wù)是有選擇地將這些概念和規(guī)則用于組合。加涅將這種簡(jiǎn)單規(guī)則的復(fù)雜組合稱為高級(jí)規(guī)則，并指出創(chuàng)造這種復(fù)雜規(guī)則或者高級(jí)規(guī)則的目的是為了解決一個(gè)或一類實(shí)際問(wèn)題[10]。學(xué)習(xí)者對(duì)所需要的概念和規(guī)則進(jìn)行的不同選擇決定了所形成的高級(jí)規(guī)則的多樣性。這一階段的特點(diǎn)表現(xiàn)為每一個(gè)形成的高級(jí)規(guī)則都是一次認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組。與此同時(shí)，形成了多個(gè)處于離散狀態(tài)的心理結(jié)構(gòu)。

（2）數(shù)學(xué)問(wèn)題解決學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)化階段

學(xué)習(xí)者已經(jīng)習(xí)得多個(gè)高級(jí)規(guī)則，卻未能形成一個(gè)結(jié)構(gòu)化的操作對(duì)象，其解題過(guò)程表現(xiàn)得相對(duì)抽象，如借助幾何直觀來(lái)表征問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，解題圖式的各個(gè)構(gòu)成要素也在經(jīng)歷了準(zhǔn)備階段之后變得豐富起來(lái)，具備了進(jìn)入結(jié)構(gòu)化階段的學(xué)習(xí)條件。在明確這些高級(jí)規(guī)則的區(qū)別與聯(lián)系的基礎(chǔ)之上，根據(jù)這些高級(jí)規(guī)則的特點(diǎn)和功能將其進(jìn)行組合，是結(jié)構(gòu)化階段的學(xué)習(xí)任務(wù)。也就是說(shuō)，高級(jí)規(guī)則可以組合成更為復(fù)雜的規(guī)則來(lái)解決問(wèn)題，組合的目的是為了在運(yùn)用圖式解決問(wèn)題時(shí)能夠更加靈活、有效地進(jìn)行遷移。這一階段包括兩個(gè)甚至多個(gè)高級(jí)規(guī)則的整合，以及將某一高級(jí)規(guī)則整合到另一個(gè)高級(jí)規(guī)則的情況。這一階段的整合是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的再一次重組。與此同時(shí)，上一階段處于離散狀態(tài)的圖式變得連續(xù)起來(lái)。圖式的連續(xù)性標(biāo)志著學(xué)習(xí)者具備了將圖式作為一個(gè)整體應(yīng)用于各種問(wèn)題情境的條件。

（3）數(shù)學(xué)問(wèn)題解決學(xué)習(xí)的遷移階段

對(duì)于將多個(gè)可操作的對(duì)象聯(lián)系起來(lái)，卻不能將其作為一個(gè)整體在不同的問(wèn)題情境中自由遷移的學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，遷移階段是必須經(jīng)歷的學(xué)習(xí)階段。圖式拓展的程度不是衡量圖式是否完善的全部標(biāo)準(zhǔn)，圖式的完善還取決于情境化和條件化的發(fā)展。遷移的概括性理論認(rèn)為，兩個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)之間存在共同要素只是產(chǎn)生遷移的前提，產(chǎn)生遷移的關(guān)鍵則是學(xué)習(xí)者從兩種學(xué)習(xí)活動(dòng)中概括出它們的共同原理[11]。這也就是說(shuō)，圖式的遷移取決于新的問(wèn)題情境能否概括出與已有圖式相同的原理。因此，遷移階段的具體任務(wù)包括判斷新問(wèn)題是否屬于某一圖式的應(yīng)用范圍，明確這一圖式在不同問(wèn)題情境中的限制條件，能夠在不同情境中將這一圖式合理地遷移和運(yùn)用。這一階段形成的圖式是高級(jí)規(guī)則與具體情境整合的結(jié)果，學(xué)習(xí)者在具體情境中形成對(duì)圖式內(nèi)部各組成要素間相互關(guān)系的深入理解。與此同時(shí)，也呈現(xiàn)出豐富性、特殊性和發(fā)展性的特點(diǎn)[7]。唯有經(jīng)歷了遷移階段的學(xué)習(xí)，才能達(dá)到更為抽象的思維水平，更加靈活地選擇和運(yùn)用已經(jīng)形成的圖式，才能在面對(duì)更為復(fù)雜的情境時(shí)擺脫無(wú)關(guān)信息的干擾。

一番思考后發(fā)現(xiàn)，APOS理論的貢獻(xiàn)并不局限于給出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，還在于為圖式水平劃分提供了依據(jù)，為測(cè)驗(yàn)材料的編制提供了參考。至此，APOS理論在其“分析學(xué)生思維”“關(guān)注思維發(fā)展走向”的功能定位上將發(fā)揮更大的作用。教育研究的繁榮使得每一個(gè)時(shí)代都在孕育著新的理論。有的理論經(jīng)得起時(shí)間的沉淀，成為教育研究史上的經(jīng)典之作;有的理論雖然留下了濃墨重彩的一筆，卻終究被取代。阻礙理論生命延續(xù)的不只是自身的缺陷，還在于教育研究者能否走出認(rèn)識(shí)的誤區(qū)，深入挖掘理論的本質(zhì)，并賦予理論新的生命。

參考文獻(xiàn)

[1] Lerman S. Encyclopedia of Mathematics Education[M]. Dordrecht ：

Springer Netherlands， 2014.

[2] Stenger C， Weller K， Arnon I， et al. A search for a constructivist approach for understanding the uncountable set P （N）[J]. Revista latinoamericana de investigación en matemática educativa， 2008（01）.

[3] Arnon I， Cottrill J， Dubinsky E， et al. APOS theory： A framework for research and curriculum development in mathematics education[M]. New York ： Springer Science & Business Media， 2014.

[4] Inglis M. Review of APOS Theory： A Framework for Research and Curriculum Development in Mathematics Education [J]. International Journal of Research in Undergraduate Mathematics Education， 2015（03）.

[5]濮安山，史寧中.從APOS 理論看高中生對(duì)函數(shù)概念的理解[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007（02）.

[6]吳華，周鳴.GeoGebra環(huán)境下基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究——以導(dǎo)數(shù)概念為例[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013（02）.

[7]喬連全. APOS：一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論[J]. 全球教育展望，2001（03）.

[8]鄧鵬.對(duì)“問(wèn)題解決”的反思[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002（02）.

[9]何小亞.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的心理過(guò)程分析[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004（03）.

[10]加涅.教學(xué)設(shè)計(jì)原理[M]. 皮連生，等，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，1999.

[11]李淑文.在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中哪些知識(shí)能促進(jìn)遷移的產(chǎn)生[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2000（04）.

[作者：馬曉丹（1989-），女，天津人，北京教育學(xué)院初等教育學(xué)院，講師，博士。]

【責(zé)任編輯 楊 子】