付元敏， 朱立軍， 賀 龍

（北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏 銀川750021）

總是假設(shè)SFP（1）是有解的和Ω 代表SFP（1）的解集，即

這個(gè)問題出現(xiàn)在相位恢復(fù)、信號工程、圖像重建等領(lǐng)域，參見文獻(xiàn)［2 -4］.為了解決分裂可行性問題，2004 年，Byrne［3］給出了一個(gè)CQ算法如下：

接下來的問題叫做多集分裂可行性問題（MSSFP），它被發(fā)現(xiàn)應(yīng)用在強(qiáng)度可調(diào)放射療法中，已經(jīng)被許多學(xué)者研究［5-9］：分別給出H1和H2的閉凸子集

和有界線性算子A：H1→H2，找到點(diǎn)使得總是假設(shè)多集分裂可行性問題是有解的，為了解決這個(gè)問題，Censor 等［6］提出了如下算法：

PC和PQ分別代表C 和Q上的正交投影，也就是說PC（x）使｛‖c -z‖，c∈C｝取得最小值，其中‖·‖代表2 -范數(shù).

為了解決分裂等式問題，Moudafi［10］提出了如下的交替CQ算法：

2013 年，Byrne 等［11］提出了如下投影Landweber算法研究分裂等式問題：

2016 年，Chuang 等［12］提出了如下混合交替CQ算法解決分裂等式問題：

受到以上研究的啟發(fā)，本文給出2 個(gè)改進(jìn)的混合交替CQ算法來研究線性最小二乘問題.

1 預(yù)備知識

本節(jié)給出一些基本的定義和引理.令H是實(shí)的希爾伯特空間賦有內(nèi)積〈·，·〉和范數(shù)‖·‖的性質(zhì).接下來介紹一些記號.

（ii）‖x+y‖2=‖x‖2+‖y‖2+2〈x，y〉和‖x-y‖2=‖x‖2+‖y‖2-2〈x，y〉；

（iii）〈x+y，x-y〉=‖x‖2-‖y‖2；

（iv）‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈x+y，y〉；

（v）‖αx +（1 -α）y‖2=α‖x‖2+（1 -α）‖y‖2-α（1 -α）‖x-y‖2，?x，y∈H，?α∈［0，1］.

定義1.1三角不等式性成立：

定義1.2T：H→H是Lipschitz連續(xù)的，如果

對于正的常數(shù)κ 成立，κ 是Lipschitz 常數(shù).也說T是κ-Lipschitz連續(xù)的.

定義1.3令C 是H 的非空閉凸子集，T：C→C是非擴(kuò)張映射，如果‖Tx - Ty‖≤‖x - y‖， x，y ∈C.

引理1.4［12］令｛ρn｝n∈N是在（0，1/max｛‖A‖2，‖B‖2｝）中的序列，使得文獻(xiàn)［12］中的（2.34）式成立并且假設(shè)

或

那么文獻(xiàn)［12］中的算法2.2 產(chǎn)生的序列｛（xn，yn）｝n∈N存在使得和ˉ，n→∞.

引理1.5［13］假設(shè)f：Rn→R是一個(gè)有限凸函數(shù)，那么它是處處次可導(dǎo)的并且在Rn的任意有界子集上是一致有界的.

引理1.6［14］令K是希爾伯特空間H的非空閉凸子集，｛xn｝是在H里的序列滿足如下性質(zhì)：

（ii）ωω（xn）?K，

那么，｛xn｝弱收斂到K中的一點(diǎn).

引理1.7［15］令C是實(shí)的希爾伯特空間H的非空閉凸子集，PC是H到C的度量投影，那么

（i）〈x-PCx，PCx-y〉≥0 對于所有的x∈H，y∈C成立；

（ii）‖x-PCx‖2+‖PCx-y‖2≤‖x-y‖2對于所有的x∈H，y∈C成立；

（iii）‖PCx -PCy‖2≤〈x -y，PCx -PCy〉對于所有的x，y∈H成立.

引理1.8［5］假設(shè)0 ＜γ ＜2/L，其中L 是文獻(xiàn)［5］的（3.2）中定義的，當(dāng)MSSFP 有解時(shí)由文獻(xiàn)［5］的算法（3.1）產(chǎn)生的序列｛xn｝弱收斂到MSSFP的解z，同時(shí)z也是函數(shù)p在Ω上的最小值.

為了解決SFP定義如下逼近函數(shù)

f（x）的梯度函數(shù)是

請參見文獻(xiàn)［21］.

2 主要成果

令H1、H2、H3是實(shí)的希爾伯特空間賦有內(nèi)積〈·，·〉H1和范數(shù)‖·‖Hi的性質(zhì)，內(nèi)積和范數(shù)簡記為〈·，·〉和‖·‖.C、Q 分別是H1和H2的非空閉凸子集.A：H1→H2是有界線性算子和A*是其共軛算子.令δ∈（0，1）.Ω =｛x∈C：Ax∈Q｝=C∩A-1Q是分裂可行性問題和多集分裂可行性問題的解.假設(shè)借助引理1.4 得到定理2.1 和定理2.3.｛ρn｝n∈N是在（0，∞）中的序列.現(xiàn)在給出如下算法研究（SFP）.

算法2.1給定x0∈H1，借助下面迭代步驟找到近似解.

步驟1 計(jì)算（un，vn）：

步驟3 計(jì)算（xn+1，PQAxn+1）：

接下來，更新n：n+1 和回到步驟1.

注2.1如果

那么（8）式成立.

證明不失一般性，假設(shè)xnun，PQAxnvn，有

定理2.1令｛ρn｝n∈N是在（0，1/max｛‖A‖2，1｝）中的序列使得（8）式成立，假設(shè)

或

那么算法2.1 中的序列｛（xn，PQAxn）｝n∈N存在使得和

證明取n∈N 并令n 固定，取任意的∈Ω并令）固定，那么有首先設(shè)

那么

由（9）式可得

然后借助引理1.7 可得

因此，由（11）和（12）式得

由（13）和（14）式有

接下來有

由引理1.7 有

和

所以，由（16）～（19）式可得

其顯示

借助（9）、（15）和（21）式得

并且有

其顯示

因此，由（25）式得到

借助（23）和（26）式可得

由引理1.7 有

同理，

同理，

借助（28）～（31）式可得

得到

由（27）和（35）式得到

｛xn｝n∈N和｛PQAxn｝n∈N是有界序列，存在｛xn｝n∈N和｛PQAxn｝n∈N的子序列｛xnk｝k∈N和｛PQAxnk｝k∈N使得和

此外

和平方范數(shù)的下半連續(xù)性有

和

顯然

存在.因此，由（38）式可得

同理由（39）式可得

注記2.2假設(shè)｛ρn｝n∈N滿足如下不等式：

那么｛ρn｝n∈N滿足定理2.1 的條件.

為了解決多集分裂可行性問題（MSSFP）定義逼近函數(shù)

g（x）的梯度函數(shù)是

令Ω=｛x∈C：Ax∈Q｝=C∩A-1Q是多集分裂可行性問題的解集并且假設(shè)給出如下算法研究多集分裂可行性問題.

算法2.3給定x0∈H1，找出如下迭代步驟的近似解.

步驟1 計(jì)算（un，vn）如下：

步驟3 計(jì)算（xn+1，PQAxn+1）如下：

接下來，更新n：n+1 和回到步驟1.

定理2.3令序列｛ρn｝n∈N滿足

且假設(shè)

或

那么算法2.3 中序列｛（xn，PQAxn）｝n∈N存在是（MSSFP）的解，即ˉ 和→∞.

證明取n∈N且令n固定.取且令）固定，那么和首先，設(shè)

由（45）式有

由引理1.7 得到

所以，由（47）式得

由（48）式可得

接下來有

由引理1.7 得

和

所以，由（50）～（52）式可得

由（45）、（49）和（55）式

由

可得

因此，由（59）式得到

由（57）和（60）式可得

由引理1.7 有

同理，

可得到

由（62）～（65）式得

可得到

由（61）和（69）式得到

由｛xn｝n∈N和｛PQAxn｝n∈N是 有 界 序 列，存 在｛xn｝n∈N和｛PQAxn｝n∈N的子序列｛xnk｝k∈N和｛PQAxnk｝k∈N使得

和

顯然

存在.所以，由（72）式可得

同理，由（73）式可得

3 應(yīng)用

3.1 線性最小二乘問題給出線性方程Ax =b，其中A是m×n矩陣，x∈Rn，b∈Rm.問題

叫做線性最小二乘問題（LLSP）.這個(gè)問題等價(jià)于ATAx=ATb.為了解決LLSP定義如下逼近函數(shù)

h（x）的梯度函數(shù)是

ai是A 的行，即，b =（β1，…，βm），ai∈Rn，βi∈R，i∈I =1，2，…，m.給出如下算法解決（LLSP）：

算法3.1給定x0∈H1，找到下列迭代步驟的近似解：

步驟1 計(jì)算un如下：

步驟3 計(jì)算xn+1如下：

接下來，更新n：=n+1 和回到步驟1.

借助定理2.3 得到如下定理解決線性最小二乘問題.

定理3.1給定b∈H2，δ∈（0，1）.令Ω2是（V）的解，假設(shè)令｛ρn｝n∈N滿足以上條件并假設(shè)

或

那么，算法3.1 中的序列｛xn｝n∈N存在使得

4 結(jié)束語

本文給出2 個(gè)混合交替CQ算法解決分裂可行性問題和多集分裂可行性問題.給出弱收斂證明并把它們應(yīng)用求解線性最小二乘問題.