福建省南安國光中學(xué) 黃清波 362321

立體幾何中的動點軌跡問題是較為新穎的一種創(chuàng)新命題形式，它重點體現(xiàn)了在解析幾何與立體幾何的知識交匯處設(shè)計圖形.不但考查了立體幾何點、線、面之間的位置關(guān)系，而且又能巧妙地考查求軌跡的基本方法，是表現(xiàn)最為活躍的一種創(chuàng)新題型.這類題型因涉及動點的軌跡問題從而使得要解決的問題處于動態(tài)變化之中，需要學(xué)生有敏捷的數(shù)學(xué)觀察力和熟練的轉(zhuǎn)化能力，技巧性強且難以操控，對學(xué)生知識以及思維能力要求較高.本文以福建省泉州市2020屆普通中學(xué)高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查理科卷第12題為例,對這類問題的解法進行剖析，希望對大家有所幫助.

題目：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為4的正方形，AA1=23．點M是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動點（不含邊界），AM⊥MC，則A1M與平面BCC1B1所成角的正切值的取值范圍為．

命題意圖：本題涉及到動點的軌跡問題，表面上是求線面角，實際是轉(zhuǎn)化為考查空間圖形的截面軌跡問題，考查了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性與創(chuàng)新性，有一定難度,本次質(zhì)檢得分率極低.

策略一：降維法

思路分析：根據(jù)題意，畫出圖形，對于平面BCC1B1來說，AM是斜線，點M是斜足，AB是垂線，點B是垂足，所以BM是射影，因為AM⊥MC,得到MC⊥BM，所以點M在平面BCC1B1內(nèi)的軌跡是以BC為直徑的半圓（不包含B,C點）.因為A1B1⊥平面BCC1B1,所以∠A1MB1為A1M與平面BCC1B1所成角.結(jié)合B1M的取值范圍，即可得正切值的取值范圍.

解法1:如圖1，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，所以AB⊥平面BCC1B1.又MC?平面BCC1B1,所以AB⊥MC.因為AM⊥MC，AB?AM=M,所以MC⊥平面ABM.又BM?平面ABM，所以MC⊥BM.因為點M是動點，點B,C是定點，所以在平面BCC1B1內(nèi)點M的軌跡是以BC為直徑的半圓（不包含B,C點）.因為A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1MB1為A1M與平面BCC1B1所成角.在RT△A1MB1中，.取BC的中點N，由已知得又A1B1=4，所以tan∠A1MB1的取值范圍為

圖1

歸納：降維法，即空間問題平面化法，利用立體幾何的相關(guān)知識把空間的幾何量關(guān)系、位置關(guān)系等轉(zhuǎn)化到同一平面內(nèi)，空間問題平面化，然后結(jié)合解析幾何中有關(guān)軌跡定義（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線、線段垂直平分線、角平分線等），求出對應(yīng)的軌跡.常用的方法有：平移法、射影法、展開法、輔助面法等.

變式：如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P為BCC1B1面內(nèi)一動點，若點P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是（ ）.

A．直線 B．圓

圖2

C．雙曲線 D．拋物線

解：因為點P到C1D1的距離即為點P到C1的距離，所以在平面BCC1B1內(nèi)，點P到定點C1的距離與點P到定直線BC的距離相等.由圓錐曲線的定義可知，動點P的軌跡為拋物線，故選D.

策略二：交軌法

思路分析：根據(jù)題意，畫出圖形，在空間中，AM⊥MC，取AC的中點O,則點M的軌跡是以AC為直徑的球面O.點M是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動點，所以點M是球面O與平面BCC1B1的公共點.則點M在平面BCC1B1內(nèi)的軌跡是以BC為直徑的半圓（不包含B,C點）.以下同解法1.

解法2：如圖3，在空間中，AM⊥MC，點M是動點，點A,C是定點，取AC的中點O,所以點M的軌跡是以AC為直徑的球面O.

圖 3

又點M是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動點，所以點M是球面O與平面BCC1B1的公共點.取BC的中點N，則ON⊥平面BCC1B1,OB=OC.所以在平面BCC1B1內(nèi)點M的軌跡是以BC為直徑的半圓（不包含B,C點）.

后續(xù)同解法1.

歸納：在平面幾何、解析幾何中已有“交軌法”的運用，若對此有一定的知識遷移能力，則在空間圖形軌跡問題中也可涉及這種重要的思考方法——交軌法，即從集合的“交”來確定兼?zhèn)溆嘘P(guān)集合特性的元素.解題基本思路是：先找出符合各條件對應(yīng)的點的軌跡，然后求出符合各條件對應(yīng)點的公共部分.即化“動”為“靜”，化“整”為“零”，各個擊破.

變式：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，總有AP⊥BD1，則動點P的軌跡為.

解：如圖4，連接AC,AB1,B1C，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，易證得BD1⊥平面ACB1，所以點P在平面ACB1上.又點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，所以點P的軌跡為平面ACB1與平面BCC1B1的交線段CB1.

圖4

策略三：空間向量法

思路分析：依題意，四棱柱ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，以D為坐標(biāo)原點，以DA方向為x軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知，設(shè)M(a,4,b)(0＜a＜4,0＜b＜23)，因為AM⊥MC，可得點M的軌跡方程：(a-2)2+b2=4，即點M的軌跡是以BC為直徑的半圓（不包含B,C點）.以下同解法一，也可結(jié)合圓的參數(shù)方程繼續(xù)求解.

解法3：依題意，四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，以D為坐標(biāo)原點，以DA方向為x軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(4,0,0),C(0,4,0),設(shè)M(a,4,b)(0＜a＜4,0＜b由AM⊥MC，有，得(a-2)2+b2=4.即點M的軌跡方程：(a-2)2+b2=4.因為A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1MB1為A1M與平面BCC1B1所成角.在RT△A1MB1中，由B1(4,4,23)，M(a,4,b),得B1，設(shè)a=2cosθ+2，b=2sinθ,其中0＜θ＜π.得且，所以2≤B1M＜27.又A1B1=4，所以tan∠A1MB1的取值范圍為

圖5

歸納：立體幾何中的動點問題，有些時候如果按立體幾何的傳統(tǒng)方法幾乎無法入手，空間向量巧妙地解決了這一難題，將數(shù)與形完美地結(jié)合起來，降低了立幾的思維難度，解題有一定的規(guī)律性，便于學(xué)生掌握.其步驟：①建系；②找點的坐標(biāo)；③寫出向量坐標(biāo)；④結(jié)合公式進行論證、計算；⑤下結(jié)論.不規(guī)則的坐標(biāo)系的建立較為靈活，但還是有“法”可依，平時教學(xué)過程中，應(yīng)加強建不規(guī)則坐標(biāo)系的練習(xí)，幫助學(xué)生消除心理障礙.

變式：如圖6所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M是底面正方形ABCD內(nèi)的一個動點，若直線C1D,C1M所成的角等于30o，則以下說法正確的是（ ）.

圖6

圖7

以上是幾種方法各有所長，適合求解立體幾何中的動點軌跡問題.一般來說，坐標(biāo)法比較容易操作，但有時計算繁雜，對于那些不規(guī)則坐標(biāo)系的習(xí)題尤其如此；降維法、交軌法技巧性強，但也是有規(guī)律可循，平時學(xué)習(xí)備考中堅持多法并舉，擇優(yōu)而取，以增強解題的技術(shù)水平和效益.