云南省玉溪第一中學(xué) 李富春 653100

在導(dǎo)函數(shù)中，有一類(lèi)函數(shù)零點(diǎn)（方程實(shí)根）問(wèn)題，直接整體求導(dǎo)、分離參數(shù)、分離函數(shù)、局部分離函數(shù)，計(jì)算量都很大，甚至幾乎不能求解.若用因式分解，將大大減少計(jì)算量，能快速求解，且是通法.下面舉例說(shuō)明.

例1 函數(shù)f(x)＝(x2-ax)ex-ax+a2（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R，a為常數(shù)）有三個(gè)不同零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）.

解析：令f(x)＝0，則(x2-ax)ex- ax+a2＝(x-a)(xex-a)＝0，故f(x)＝(x2-ax)ex-ax+a2有三個(gè)不同零點(diǎn)?x-a＝0或xex-a=0共有三個(gè)不等根?直線(xiàn)y＝a與y＝x和y＝xex的圖象共有三個(gè)交點(diǎn).

圖1

在同一坐標(biāo)系中，作出y＝x與y＝xex的圖象，由直線(xiàn)y＝a與y＝x有一個(gè)交點(diǎn)，故直線(xiàn)y＝a與y＝xex有兩個(gè)交點(diǎn).

令g(x)＝xex，則g′(x)＝(x+1)ex，故g(x)在(-∞，-1]遞減，在(-1，+∞)遞增，且g(x)min=如圖1，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)y=a與y=xex有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a＞0時(shí)，直線(xiàn)y＝a與y＝xex只有一個(gè)交點(diǎn).因此a的取值范圍為故選A.

評(píng)注：該題是通過(guò)因式分解、分離變量，轉(zhuǎn)化為熟悉的基本函數(shù)y＝a與y＝x和y＝xex，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想去求解問(wèn)題，思路樸素、自然.

A.2 B.3 C.4 D.5

解析1：原方程變形為(x2-3)2-2ex-1?(x2-3)-3e2x-2＝0，分 解 因 式 得(x2-3-3ex-1)(x2-3+ex-1)＝0，則有x2-3-3ex-1＝0或x2-3+ex-1＝0，即x2-3＝3ex-1或x2-3＝-ex-，則原方程根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線(xiàn)y＝-1和y＝3交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

圖2

或x2-3+ex-1＝0，即x2-3＝3ex-1或x2-3＝-ex-1，即原方程根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)F(x)＝x2-3的圖象與函數(shù)g(x)=3ex-1和函數(shù)h(x)＝-ex-1的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這三個(gè)函數(shù)的圖象，如圖3所示，顯然F(x)＝x2-3與h(x)＝-ex-1的圖象有2個(gè)交點(diǎn).

圖3

當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)F(x)＝x2-3與g(x)＝3ex-1的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x＞0時(shí)，令函數(shù)，則，當(dāng)0＜x＜3時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)x＞3時(shí)，f′(x)＜0，所以當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取最大值，且最大值為?，即，則即3ex-1＞x2-3，即當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g(x)=3ex-1的圖象都在函數(shù)F(x)＝x2-3圖象的上方，即函數(shù)g(x)＝3ex-1的圖象與F(x)＝x2-3的圖象沒(méi)有交點(diǎn).所以原方程根的個(gè)數(shù)為3.選B.

評(píng)注：解析1思維導(dǎo)圖：將原方程變形分解因式→(x2-3-3ex-1)(x2-3+ex-1)＝0→x2-3-3ex-1＝0或x2-3+ex-1＝0→轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線(xiàn)y＝-1和y＝3交點(diǎn)的個(gè)數(shù)→研究函數(shù)的單調(diào)性和極值→畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象→觀察圖象確定與直線(xiàn)y＝-1和直線(xiàn)y＝3交點(diǎn)的個(gè)數(shù)→原方程根的個(gè)數(shù).

解析2思維導(dǎo)圖：將原方程變形分解 因 式→(x2-3-3ex-1)(x2-3+ex-1)＝0→x2-3＝3ex-1或x2-3＝-ex-1→轉(zhuǎn)化為函數(shù)F(x)＝x2-3的圖象與函數(shù)g(x)＝3ex-1和函數(shù)h(x)＝-ex-1的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)→在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出三個(gè)函數(shù)圖象→觀察函數(shù)圖象及函數(shù)特征確定交點(diǎn)的個(gè)數(shù)→原方程根的個(gè)數(shù).

例3（2013年高考安徽卷理科數(shù)學(xué)第10題）若函數(shù)f(x)＝x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1，x2，且f(x1)＝x1，則關(guān)于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b＝0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6

解析:把f(x)看成一個(gè)未知數(shù)，利用求根公式因式分解，由3(f(x))2+2af(x)+b＝0,得

于是，關(guān)于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)?關(guān)于x的方程f(x)=的不同實(shí)根個(gè)數(shù)?常數(shù)函數(shù)與函數(shù)f(x)＝x3+ax2+bx+c的圖象的不同交點(diǎn)個(gè)數(shù).

依題意，得x1，x2是關(guān)于x的方程3x2+2ax+b＝0的兩個(gè)不同實(shí)根，所以x1，x2＝此時(shí)函數(shù)f(x)＝x3+ax2+bx+c的模擬圖象如圖4.這時(shí)常數(shù)函數(shù)和與函數(shù)f(x)＝x3+ax2+bx+c的圖象的不同交點(diǎn)個(gè)數(shù)是3?關(guān)于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b＝0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是3.當(dāng)x1＞x2時(shí)，此 時(shí) 函 數(shù)f(x)＝x3+ax2+bx+c的模擬圖象如圖5.這時(shí)常數(shù)函數(shù)與函數(shù)f(x)＝x3+ax2+bx+c的圖象的不同交點(diǎn)個(gè)數(shù)是3?關(guān)于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b＝0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是3.

圖4

圖5

綜上，選A.

評(píng)注:（1）此題的姊妹題是2013年高考安徽卷文科數(shù)學(xué)第10題：若函數(shù)f(x)＝x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1，x2，且f(x1)＝x1＜x2，則關(guān)于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b＝0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是().

A.3

B.4

C.5

D.6

（2）此類(lèi)題型的解法，筆者在各種數(shù)學(xué)資料中見(jiàn)到的與上述解法都不一樣，筆者認(rèn)為上述解法容易被學(xué)生接受.

例4（2009年高考福建卷理科數(shù)學(xué)第10題）函數(shù)f(x)＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).據(jù)此可推測(cè)，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)a，b，m，n，p，關(guān)于x的方程m(f(x))2+nf(x)+p＝0的解集不可能是（ ）

A.{1，2} B.{1，4}

C.{1，2，3，4} D.{1，4，16，64}

解析：把f(x)看成一個(gè)未知數(shù)，利用求根公式因式分解，由m(f(x))2+nf(x)+p＝0，得＝0，所以.從而，關(guān)于x的方程m(f(x))2+nf(x)+p=0的不同實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)?關(guān)于x的方程f(x)=的不同實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)?常數(shù)函數(shù)與函數(shù)f(x)＝ax2+bx+c的圖象的不同交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖6.

圖6

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以一元二次方程ax2+bx+c＝0的解關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).據(jù)此可推測(cè)，關(guān)于x的方程m(f(x))2+nf(x)+p＝0的解僅關(guān)于一條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，即對(duì)稱(chēng)軸有且只有一條.假若方程的解集是{1，4，16，64}，則如1與64關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，4與16關(guān)于直線(xiàn)x＝10對(duì)稱(chēng)，于是選項(xiàng)D不可能是方程的解集，故選D.

評(píng)注:若把關(guān)于x的方程m(f(x))2+nf(x)+p＝0中的f(x)用ax2+bx+c來(lái)替換，然后去判斷其方程的根的可能情況，這樣一來(lái)，不僅運(yùn)算量繁、大，甚至解答不了.解題時(shí)，有路可走，走了以后發(fā)現(xiàn)不好走，要立即停下來(lái)考慮是否繼續(xù)往下走？

上述題型源于2005年高考上海卷理科數(shù)學(xué)第16題：設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝則關(guān)于x的方程(f(x))2+bf(x)+c＝0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)的充要條件是（ ）

A.b＜0且c＞0 B.b＞0且c＜0

C.b＜0且c＝0 D.b≥0且c＝0

此類(lèi)題是2005年高考上海卷涌現(xiàn)出的新題型，是當(dāng)年的難題，時(shí)隔15年，回過(guò)頭去看看，也仍然不簡(jiǎn)單.筆者查閱了大量的資料，發(fā)現(xiàn)給出的解答非常繁瑣，十分抽象，學(xué)生很難接受.為了能讓同學(xué)們有點(diǎn)滴啟示和收獲，下面筆者給讓此題的簡(jiǎn)解通法.

圖7

評(píng)注（:1）在此題中b2-4c≠0為什么？留給讀者考慮（.2）根據(jù)此題的題設(shè)，可求出關(guān)于x的方程(f(x))2+bf(x)+c＝0的7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，也可求出這7個(gè)不同實(shí)數(shù)解之和是多少，怎么求？留給讀者去思考.

由上述幾例的解答，我們可以總結(jié)出：已知函數(shù)f(x)的解析式，關(guān)于x的方程a(f(x))2+bf(x)+c＝0(a,b,c∈R,且a≠0)有幾個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a,b,c的取值范圍或求方程的實(shí)根.解決此類(lèi)問(wèn)題的簡(jiǎn)捷通法是，先利用導(dǎo)函數(shù)畫(huà)出或直接畫(huà)出函數(shù)f(x)的模擬或大致圖象，然后把f(x)看成一個(gè)未知數(shù)，利用求根公式因式分解，由a(f(x))2+bf(x)+c＝0,得＝0，所以，最后把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，即考慮常數(shù)函數(shù)和與已知函數(shù)f(x)的圖象的交點(diǎn)情況.

新課程理念下，注重解題的通性通法，反對(duì)過(guò)分技巧化的訓(xùn)練.用上述方法解決此類(lèi)問(wèn)題，直觀、形象、明了、容易理解、便于操作、易被學(xué)生掌握，是一種很好的通法.