趙海濤

[摘 ?要] 概念在具體情境中抽象，知識(shí)在學(xué)科間深度融合，性質(zhì)在學(xué)科內(nèi)類比，思想在形與數(shù)間轉(zhuǎn)化，向量知識(shí)使物理和數(shù)學(xué)、幾何與代數(shù)完美結(jié)合. 因此在向量教學(xué)中要交給學(xué)生研究問題的方法、拓展學(xué)生獲得知識(shí)的渠道.使學(xué)生在思考中發(fā)展自主能力、在交流中提升表達(dá)能力、在學(xué)習(xí)中形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 融合;抽象;類比;運(yùn)算

課程內(nèi)容分析

1. 教材分析

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具. 向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用[1] . 向量既是幾何研究的對(duì)象，又是代數(shù)研究的對(duì)象，是課程標(biāo)準(zhǔn)五個(gè)必修主題之一“幾何與代數(shù)”的重點(diǎn)內(nèi)容，幾何與代數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的主線之一. 在必修課程與選擇性課程中，突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合. 感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，加強(qiáng)數(shù)學(xué)整體性的理解[2] . 向量是高中研究三角函數(shù)、曲線、平面和空間幾何關(guān)系的重要工具，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)以及力學(xué)、電學(xué)等學(xué)科的重要工具. 教材第2.1節(jié)通過物理實(shí)例引入了平面向量的概念，介紹了向量的模、相等向量、單位向量、零向量以及共線向量等基本概念.本節(jié)課是繼向量基本概念后研究向量運(yùn)算的第一節(jié)課.運(yùn)算（運(yùn)算律）是向量的靈魂，加法是向量的第一運(yùn)算，是最基本、最重要的運(yùn)算，是學(xué)習(xí)向量其他運(yùn)算（減法和數(shù)乘）的基礎(chǔ). 在本單元的教學(xué)中起著承前啟后的作用.

2. 教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)新課標(biāo)“以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人”的基本理念，以“展現(xiàn)素質(zhì)教育功能、提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”為目標(biāo). 本節(jié)課的設(shè)計(jì)將“幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算”“數(shù)學(xué)與物理”之間完美融合，通過形與數(shù)的轉(zhuǎn)換體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系、強(qiáng)化學(xué)科融合;落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣. 因此把本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：

（1）抽象向量加法的概念、理解向量加法的意義，掌握向量加法的運(yùn)算和運(yùn)算律;

（2）體驗(yàn)由物理模型抽象數(shù)學(xué)概念的過程;

（3）培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng);

（4）認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高數(shù)學(xué)興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣.

3. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：向量的加法運(yùn)算（法則和運(yùn)算律）.

教學(xué)難點(diǎn)：向量加法法則的理解和運(yùn)用.

學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)掌握物理中的位移和力等矢量知識(shí)，了解矢量的合成方法和意義. 矢量是向量的物理模型、具體表現(xiàn)，為學(xué)生研究向量加法運(yùn)算提供了實(shí)際背景.

教學(xué)過程

1. 共同回顧，導(dǎo)入新課

（1）回顧與分享：向量的基本概念.

（2）問題引入：物理中有哪些與向量相似的物理量？它們能運(yùn)算嗎？

師生一同回顧物理學(xué)中位移的合成方法和力的合成方法.

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課重點(diǎn)和難點(diǎn)的突破都需要依靠物理知識(shí)來完成，故重點(diǎn)復(fù)習(xí)物理中的位移和力的知識(shí)，為本節(jié)課的順利進(jìn)行做好鋪墊.

2. 類比抽象，形成概念

學(xué)生活動(dòng)1：在坐標(biāo)紙上完成兩個(gè)不共線矢量（向量）的合成.

師：矢量拋開它的物理意義，即數(shù)學(xué)中的向量.在數(shù)學(xué)中把求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱作向量的加法，物理中的位移合成和力的合成都可以看作是向量的加法，除去物理意義就是向量加法的“三角形法則”和“平行四邊形法則”.大家思考一下這兩個(gè)法則應(yīng)用的要點(diǎn)在哪里？

學(xué)生1：三角形法則是“首尾相連”，平行四邊形法則是“起點(diǎn)相同”.

師：總結(jié)得很好，但還能不能再細(xì)致一點(diǎn)呢？

學(xué)生1：三角形法則重在“首尾相連連首尾”，平行四邊形法則重在“起點(diǎn)相同連對(duì)角”.

師：非常精煉的總結(jié)，既說出了法則的使用要點(diǎn)，也說出了求和結(jié)果的形式.那這兩種法則對(duì)于兩個(gè)共線向量是否適用呢？

學(xué)生活動(dòng)2：在坐標(biāo)紙上完成共線向量求和法則的驗(yàn)證，同桌之間交流做法是否適當(dāng).

結(jié)論：三角形法則對(duì)任意兩個(gè)向量求和都適用，平行四邊形法則適用于兩個(gè)不共線向量求和.

師：我們知道實(shí)數(shù)中“a+0=a”，那么任意一個(gè)向量a與零向量的和是什么呢？

學(xué)生齊：任意向量a與零向量的和還是向量a.

設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)意在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.引導(dǎo)學(xué)生利用物理中位移和力的合成，來解決向量的加法運(yùn)算，并用圖形（三角形和平行四邊形）準(zhǔn)確地描述、用語言高度地概括，突出本節(jié)課的重點(diǎn). 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活，以及其他學(xué)科的聯(lián)系，使抽象的數(shù)學(xué)概念找到可以觸碰到的模型，加深學(xué)科知識(shí)深度融合，使學(xué)生養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中抽象數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣和能力.

3. 合作交流，深化概念

例1：根據(jù)圖1中所給的向量a，b，做出向量a+b的結(jié)果.

圖1

學(xué)生活動(dòng)3：在坐標(biāo)紙上用兩種法則完成向量求和，同組同學(xué)之間對(duì)比、交流作圖心得.

師：兩種做法結(jié)果一致嗎？說明什么？

學(xué)生2：結(jié)果是一樣的，說明兩種方法本質(zhì)是一樣的.

學(xué)生3：任意兩個(gè)向量的和都是存在的，并且結(jié)果是唯一的.

師：這個(gè)發(fā)現(xiàn)非常好，向量的加法和實(shí)數(shù)加法一樣，結(jié)果存在且唯一，這就說明向量的加法是有意義的，解法是多樣的.大家還有發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生4：通過平行四邊形法則我發(fā)現(xiàn)“a+b=b+a”，也就是說向量加法滿足交換律.

師：你們發(fā)現(xiàn)了嗎？同意他的說法嗎？

學(xué)生：同意.

師：實(shí)數(shù)加法除了交換律還有其他運(yùn)算律嗎？向量也會(huì)滿足嗎？

學(xué)生5：實(shí)數(shù)加法還有結(jié)合律，向量加法應(yīng)該也適用.

師：應(yīng)該？那就是不確定了，下面大家在坐標(biāo)紙中試著驗(yàn)證一下向量的加法是否滿足結(jié)合律“（a+b）+c=a+（b+c）”.

學(xué)生活動(dòng)4：探究“向量加法結(jié)合律（a+b）+c=a+（b+c）”.

利用加法法則驗(yàn)證向量結(jié)合律，小組內(nèi)進(jìn)行交流，學(xué)生講述驗(yàn)證的方法和過程，展現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程.

學(xué)生6：（如圖2）

（a+b）+c=（ + ）+ = + = ;

a+（b+c）= +（ + ）= + = .

所以（a+b）+c=a+（b+c）成立.

師：推理嚴(yán)謹(jǐn)，證明完美.

設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)從向量的求和法則（幾何圖形）中發(fā)現(xiàn)問題、提出命題、驗(yàn)證命題的過程;學(xué)生類比實(shí)數(shù)運(yùn)算法則，猜想向量加法運(yùn)算的結(jié)合律，并利用掌握的加法法則進(jìn)行探索和論證，有邏輯地表述結(jié)論.在探索論證中感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、在圖形的建構(gòu)中欣賞數(shù)學(xué)的和諧統(tǒng)一，意在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的推理素養(yǎng)，形成理性思維.

4. 典例訓(xùn)練，強(qiáng)化運(yùn)算

例2：化簡：

（1） + ;

（2） + + ;

（3） + + + .

練習(xí)1：如圖3所示，O為正六邊形ABCDEF的中心，化簡下列向量：

（1） + =________;

（2） + =________;

（3） + =________.

練習(xí)2：（ + ）+（ + ）+ =________.

設(shè)計(jì)意圖：（1）意在增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力，利用發(fā)現(xiàn)和總結(jié)出來的正確結(jié)論解決數(shù)學(xué)問題，熟練向量的加法運(yùn)算過程和運(yùn)算思路，提升運(yùn)算能力.

（2）學(xué)生通過例2（3）、練習(xí)2可加深對(duì)三角形法則“首尾相連”的理解. 另外，可創(chuàng)新三角形法則總結(jié)出向量加法的多邊形法則，便于求n（n≥3）個(gè)向量的和.

多邊形法則（如圖4）： + + +… = .

5.？搖直觀感知，深化性質(zhì)

師：已知力F1=3 N，F(xiàn)2=4 N，那么“兩個(gè)力的合力”的大小取值范圍是什么？

學(xué)生7：“兩個(gè)力的合力”的大小取值范圍是大于或等于1 N，小于或等于7 N.

師：看來物理知識(shí)掌握得很好喲，那么我們?nèi)コ锢硪饬x，能否得出a+b的取值范圍呢？

學(xué)生活動(dòng)5：探究“a+b的取值范圍”.

學(xué)生8：類比力的合成效果，我們小組得出a-b≤a+b≤a+b.

師：大家同意他們小組的結(jié)論嗎？

學(xué)生9：我認(rèn)為不夠準(zhǔn)確，我們小組的結(jié)論是a-b≤a+b≤a+b.

師：大家看到他們兩小組結(jié)論的差異了嗎？你覺得哪個(gè)小組更準(zhǔn)確、更合理？

學(xué)生：同意第二小組的結(jié)論，他們更準(zhǔn)確地說明了模的取值范圍.

師：你們討論過左右兩邊的等號(hào)何時(shí)成立嗎？

學(xué)生10：我們小組討論了，結(jié)論是當(dāng)向量a，b方向相同時(shí)右邊取等號(hào)，當(dāng)向量a，b方向相反時(shí)左邊取等號(hào)，當(dāng)向量a，b中有一個(gè)為零向量時(shí)兩邊同時(shí)取等號(hào).

師：你們的結(jié)論非常準(zhǔn)確和全面，看來你們的合作是非常有效的，還有不同的探究方法嗎？

學(xué)生11：我們小組利用三角形法則和三角形性質(zhì)“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，也得到了相同的結(jié)論.

師：很好，大家的思路很開闊，思維很嚴(yán)謹(jǐn)，限于時(shí)間關(guān)系我們課下可以繼續(xù)交流不同的探究方向和方法.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置探索性問題意在增強(qiáng)學(xué)生的合作交流、直觀想象能力，從合力大小或三角形的三邊關(guān)系中判別、抽象、總結(jié)出a+b的取值范圍，并對(duì)兩邊等號(hào)的取得條件進(jìn)行探索，充分利用物理模型和幾何模型，將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，在幾何圖形中抽象數(shù)學(xué)結(jié)論、在具體情境中感悟數(shù)量關(guān)系，提升建模能力.

6. 總結(jié)與提升

學(xué)生自主回顧和歸納本節(jié)課的內(nèi)容.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生靜下心來總結(jié)本節(jié)課收獲了哪些知識(shí)、方法和思想，有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，同時(shí)保證學(xué)生的語言表達(dá)能力和概括能力等思維品質(zhì)得以發(fā)展.

回顧與反思

教學(xué)的重點(diǎn)是學(xué)生的學(xué). 學(xué)是中心，會(huì)學(xué)是目的. 因此，在教學(xué)過程中，從教材和學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，按照學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、智能發(fā)展、知識(shí)水平，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體作用，運(yùn)用多種教學(xué)手段，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性.

本節(jié)課重視概念形成及概念深化過程，重視知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展過程，重視直觀想象和嚴(yán)格的推理過程，有層次地提出問題促進(jìn)知識(shí)的自然延伸，提供給學(xué)生獨(dú)立思考、合作探索、共同研討的機(jī)會(huì).學(xué)生通過對(duì)這些“有層次”的問題進(jìn)行探究，對(duì)向量加法由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)知，最后建構(gòu)自己的知識(shí)體系.

本節(jié)課設(shè)計(jì)采用“抽象——概括”“探究——交流”的模式，從物理知識(shí)入手抽象向量加法的概念和加法法則，并利用幾何圖形直觀表述;類比實(shí)數(shù)與向量猜想向量的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律;利用合力的范圍或是三角形的三邊關(guān)系得出向量a+b的取值范圍等，教給學(xué)生“動(dòng)手做，動(dòng)腦想;多聯(lián)想，嚴(yán)求證”的遞進(jìn)式學(xué)習(xí)方法. 這樣做，既增加了學(xué)生主動(dòng)參與的機(jī)會(huì)，又增強(qiáng)了參與意識(shí)，教給學(xué)生獲取知識(shí)的途徑和思考問題的方法.使學(xué)生真正成為教學(xué)的主體.在具體情境中建構(gòu)新知;在學(xué)科融合中感悟數(shù)學(xué)的簡潔、和諧之美;在探究中提升數(shù)學(xué)興趣;在研討、交流中發(fā)展自主能力和表達(dá)能力;在學(xué)習(xí)中逐漸形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1] ?章建躍. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（必修4） [M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2] ?李龍才. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.