許德福

[摘 ?要] 例題教學的視角下進行思維能力的培養(yǎng)是高效的. 文章闡述了例題教學視角下，通過一題多解、正難則反、設置開放題、一題多變以及題后反思等方法，培養(yǎng)學生思維的逆向性、深刻性、求異性、發(fā)散性以及嚴謹性.

[關鍵詞] 例題教學;解題;逆向性;深刻性;發(fā)散性;嚴謹性

思維品質，也就是思維的智力品質，它是通過思維的活動所展現(xiàn)出來的一種個體差異性，從而不同的人具有不同的思維特征.楊清教授曾在《心理學概論》中闡明思維品質的培養(yǎng)是發(fā)展思維的重要手段. 因此，教師在教學中，尤其是數(shù)學例題教學中，需努力培養(yǎng)學生好的思維品質，它不僅僅是學生智力發(fā)展的突破口，也是提升教學質量的有效途徑，更是當下改進數(shù)學教學方法中需引起極度重視的問題.

那么，如何在優(yōu)化例題和設計例題教學過程的頂層設計之下，積極探索思維品質在課堂落地的方法和路徑，設計出一些思維品質統(tǒng)領下的數(shù)學例題教學案例，并通過合理的教學策略實施教學過程，是每一位數(shù)學教師需思考和實踐的課題. 本文試圖以例題教學為媒介，在培養(yǎng)學生的理性思維和創(chuàng)新精神方面進行闡述，通過數(shù)學實踐實現(xiàn)思維品質的培養(yǎng).

從“一題多解”中培養(yǎng)求異思維

在例題教學中，教師需從學生的實際和題目本身的特點出發(fā)，實施一題多解的訓練，鼓勵學生多角度、多方位去思考，運用自己擅長的方法去解答，并敢于求“異”，實現(xiàn)基礎知識之間的有效溝通，讓學生在訓練中積極思考，從而有效克服學生思維狹隘性的特征，達到培養(yǎng)思維的求異性和創(chuàng)造力的目的[1].

例1：已知橢圓 + =1上有一動點P，試求出該動點P到其中一焦點F距離的取值范圍.

學生經歷獨立思考和自主探究，呈現(xiàn)了以下多種解法的精彩場面：

解1：若設點F為右焦點，則有F（1，0）. 設P（2cosθ， sinθ），則有PF = ?=2-cosθ.

因為cosθ∈[-1，1]，所以PF=2-cosθ∈[1，3].

解2：若設P（x，y），據(jù)F（1，0），可得PF= = = .

因為x∈[-2，2]，所以PF∈[1，3].

解3：設F′為左焦點，則有FF′=2，那么△PFF′中，則有PF′-PF≤FF′. 因為PF′+PF=4，所以4-2PF≤2，1≤PF≤3.

解4：過點P作橢圓右準線的垂線，P′為垂足，因為 = = ，

所以PP′=2PF. 又因為 -a≤PP′≤ +a，所以2≤PP′≤6，

所以2≤2PF≤6，1≤PF≤3.

本例題中將多個知識點融匯于一道題目之中，引導學生從多個定義出發(fā)，深化知識之間的縱橫聯(lián)系，大大拓寬學生的思維空間，從而達到殊途同歸的效果，在提升應變能力的同時，發(fā)展思維的求異性.

從“正難則反”中培養(yǎng)逆向思維

實踐證明，思維的發(fā)展是整體推進的，逆向思維與正向思維、發(fā)散思維總是交織存在的. 這就要求在例題教學中，如果有些題型正面入手較為困難，則可從其反面進行思考，借助“正難則反”的思維策略，進一步探究出解決問題的路徑，促進逆向思維的發(fā)展.逆向思維作為數(shù)學學習中的一項綜合能力，可以有效克服定向思維的保守性，開拓新的知識領域，提升數(shù)學學習的興趣[2].

例2：已知x，y>0，且有x3+y3=2，求證：x+y≤2.

解：假設x+y>2，那么x>2-y.

不等式兩邊立方后，可得x3>8-12y+6y2-y3，即x3+y3>8-12y+6y2.

因為x3+y3=2，所以8-12y+6y2<2，即6（y-1）2<0，

以上不等式顯然不成立，因此假設不成立，由此可得x+y≤2.

數(shù)學解題中對某些問題有意識地運用反證法，不僅豐富了不等式求解的方法，優(yōu)化了求解過程，還可以訓練學生的逆向思維能力，引領學生突破定向思維的束縛，對提高高中生的創(chuàng)造性思維和逆向思維能力有著十分重要的意義.

從“開發(fā)題”中培養(yǎng)發(fā)散思維

所謂的“思維的發(fā)散性”，顧名思義就是從眾多知識領域和知識點著手去解決問題，是開闊性和全面性思維品質的體現(xiàn). 高中生由于受年齡特征影響，往往容易受思維定式的負面效應影響，在解題時易墨守成規(guī)，思維不易發(fā)散. 這就要求教師在例題教學時需順應高考新動向的需求，領悟新課程改革的理念，合理編制開放型例題，以數(shù)學例題這一載體而放飛、發(fā)展和升華學生的發(fā)散思維.

例3：已知⊙M過A（1，0），B（3，2）兩點，________（請補充一個條件），試求出⊙M的方程.

依據(jù)“兩點無法確定一圓”，所以這里條件的增添是必不可少的. 學生親歷思考、探究和討論，補充的條件主要有：①還經過點……;②⊙M的半徑長度為……;③圓心M在直線…….

這一例題的設置真可謂獨具匠心，條件的開放可以啟發(fā)學生學會提問和善于思考，培養(yǎng)發(fā)散思維;而要求解這一問題，還可以讓學生發(fā)現(xiàn)問題，達到培養(yǎng)思維嚴密性的效果. 例如，在添加點的時候，直線AB：x-y-1=0必須除外;在設置半徑長度時，半徑需不小于 ;在設置圓心M所在的直線時，斜率不可以是-1，且圓心M在直線x+y-3=0上除外.

從“一題多變”中培養(yǎng)深刻思維

思維的深刻性表現(xiàn)為可以透過表象以及外因，揭示事物本質從而進一步深入思考問題，它是所有思維品質的基石，其發(fā)展程度對思維品質的其他方面有著極其重要的影響.若說數(shù)學是“思維的體操”，那顯然變式教學就是培養(yǎng)“體操選手”的搖籃. 因此，我們需靈活運用好一題多變的教學方法，讓學生的思維高度興奮，從而提升思維的深刻性.

例4：已知數(shù)列{an}，有a1=1，an+1=an+1，試求出它的通項公式.

本例題的求解過程較為簡單，而根本價值是可以通過對題目的引申擴展和變換條件，使之更具有探究性.在保證條件a1=1不變的基礎上，去變更遞推關系式，從而形成探求an的變式問題.

變式1：將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1=an+n;

變式2：將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1=an+2n-1;

變式3：將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1=2an+1;

變式4：將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1=2an-3n;

變式5：將條件中an+1=an+1變?yōu)?= +1;

變式6：將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1= ;

變式7：將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1= an;

變式8：將條件中an+1=an+1變?yōu)閍n+1=ca （c>0）.

通過對例4的變式，讓題目更富有內涵，深化了已學知識，讓學生在親歷思考、解題、歸納、提煉和反思后，達到學一題通一類的效果，有效防范了學生思維的表面性和絕對性，對思維深刻性的提升大有裨益.

從“題后反思”中培養(yǎng)嚴謹思維

在教學中，學生解題能力和思維嚴謹性的提升與良好的審題習慣是分不開的，也少不了條理性的解題方法和解題步驟的參與，更離不開解題后的反思.由于受高中學生的認知結構水平制約，主要表現(xiàn)于對知識的不求甚解和不善反思，故教師需引導學生在題后思考：解題的思路是否嚴密，可否存在漏洞？命題者有何意圖？此題中考查的知識點是什么？本題的解法僅此一種嗎？解決這類題型的通法是什么？……通過這一系列問題的反思，進行有的放矢地精解和拓寬，可以使思維具有嚴謹性和概括性.

例5：已知△ABC中，sinA= ，cosB= ，試求出cosC的值.

此為一道課本習題，學生的一般解題思路如下：

因為0

①當cosA= 時，cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB= × - × =- ;

②當cosA=- 時，cosC=-cos（A+B） =sinAsinB-cosAcosB= × -- × = ，綜上所述，cosC=- 或 .

上述求解過程中映射出學生思維嚴密性的缺失. 在分析此題時，學生需進行如下題后反思：①對cosA是正值或是負值產生影響的主要因素是什么？②從題設出發(fā)，是否可以確定∠A是銳角還是鈍角？學生通過反思易知sinB>sinA，而∠A和∠B均為三角形的內角，可得∠B>∠A，即∠A也為銳角，由此可得cosA= . 題后反思可以幫助學生驗證解題的合理性、嚴密性和正確性，還可以發(fā)展學生的橫向和縱向思維，使數(shù)學學習更富有創(chuàng)造性，使自身的解題能力更勝一籌.

總之，學生思維品質的提升不是一蹴而就的. 我們廣大數(shù)學教師所期望的數(shù)學學科育人和思維提升，其實已經融合在以上解題教學的探究過程中. 我們若能合理運用多種教學策略，關注數(shù)學思想方法、注重數(shù)學探究活動，那么學生對數(shù)學的興趣，學生思維的逆向性、深刻性、求異性、發(fā)散性以及嚴謹性，或許就可以逐漸形成[3].

參考文獻：

[1] ?羅增儒. 中學數(shù)學解題的理論與實踐[M]. 南寧：廣西教育出版社，2008.

[2] ?杜四趁，武瑞雪. 在解題教學中培養(yǎng)學生的思維品質[J]. 數(shù)學通訊，2017（18）.

[3] ?劉東生. 在例題教學中培養(yǎng)學生的良好思維品質[J]. 數(shù)學教學研究，1991（06）.