張偉

摘要：小學(xué)階段以探究活動(dòng)為主要特點(diǎn)的“探索規(guī)律”課，是學(xué)生可以在數(shù)學(xué)活動(dòng)中探尋數(shù)學(xué)問題，在實(shí)際操作中發(fā)展數(shù)學(xué)能力的學(xué)習(xí)活動(dòng)。其教學(xué)路徑有：喚醒與激活，讓學(xué)生自主參與到數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中去;引導(dǎo)與啟發(fā)，讓學(xué)生始終處于探究與思考的學(xué)習(xí)狀態(tài);啟智與做中學(xué)，讓學(xué)生達(dá)成寓學(xué)于樂、融數(shù)于趣的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：探究學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)活動(dòng);做中學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2020）12B-0052-04

作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，“探索規(guī)律”課設(shè)置的目的在于使學(xué)生在探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和表達(dá)規(guī)律的過程中，感受數(shù)學(xué)抽象的意義，培養(yǎng)比較、分析、推理的能力，發(fā)展問題意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是一類以探究問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)?！搬斪影迳系亩噙呅巍笔切W(xué)數(shù)學(xué)蘇教版五年級(jí)上冊(cè)一節(jié)典型的“探索規(guī)律”課，其教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生探索并發(fā)現(xiàn)釘子板上圍成的多邊形面積，與圍成的多邊形邊上的釘子數(shù)及多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)之間的規(guī)律，并嘗試用含有字母的式子表示出幾者間的關(guān)系。在此過程中，學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、實(shí)驗(yàn)等探究活動(dòng)，發(fā)展歸納、概括、抽象、建模的能力，促進(jìn)問題意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)的養(yǎng)成。

教學(xué)實(shí)際中，不少同學(xué)對(duì)用釘子數(shù)來求解多邊形面積的方法掌握得不好，對(duì)研究過程及方法由來不甚了解。究其原因，我們發(fā)現(xiàn)教材編寫者意圖讓學(xué)生通過開展數(shù)學(xué)活動(dòng)探究出釘子數(shù)與多邊形面積之間的關(guān)系，但是編排時(shí)比較刻板，先圍繞圖形內(nèi)只有1枚釘子的情況來開展探索，然后又組織學(xué)生探究圖形內(nèi)只有2枚釘子的情況，最后讓學(xué)生思考“如果多邊形內(nèi)有3枚、4枚……釘子，它的面積與它邊上的釘子數(shù)的關(guān)系怎么變化？”，每次都是先讓學(xué)生在組內(nèi)說想法，再動(dòng)手探究。整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)過多，用時(shí)過長，且存在重復(fù)探究現(xiàn)象。幾個(gè)探究活動(dòng)看似開放，但執(zhí)行起來還是按照線性流程執(zhí)行，學(xué)生難免會(huì)感到興味索然，疲于配合。如何改變以上現(xiàn)狀，讓學(xué)生真正參與到探索規(guī)律的活動(dòng)中去呢？

一、注重喚醒與激活，讓學(xué)生自主參與到數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中去

小學(xué)階段的學(xué)生葆有兒童特有的童真童趣，平時(shí)就十分喜愛參與游戲活動(dòng)。課始，教師可以組織師生間開展輕松談話，喚醒學(xué)生已有經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)，從而更好地對(duì)接新知。比如本課可以先與孩子交流有無玩過釘子板，再組織學(xué)生實(shí)際動(dòng)手操作，利用釘子板開展圍圖數(shù)學(xué)游戲活動(dòng)，在釘子板上圍出不同的多邊形來（如圖1）。緊接著，告知學(xué)生在數(shù)學(xué)上可以用格點(diǎn)圖（如圖2）的形式來代替釘子板，在格點(diǎn)圖上可以繼續(xù)玩圍多邊形的游戲，指導(dǎo)學(xué)生嘗試在格點(diǎn)圖上用鉛筆和直尺畫出幾個(gè)多邊形。接著，選取一些玩游戲時(shí)格點(diǎn)圖上出現(xiàn)過的多邊形，組織學(xué)生計(jì)算各圖形的面積（如圖3）。師生交流發(fā)現(xiàn)各圖形的面積，既可以借助底、高、邊長等條件，通過“計(jì)算”求出來，也可以結(jié)合格點(diǎn)圖，通過“數(shù)方格”得出結(jié)果。

這樣的設(shè)計(jì)，在調(diào)動(dòng)學(xué)生參與熱情的同時(shí)，不知不覺中抽象出格點(diǎn)圖，很自然地過渡到如何用數(shù)學(xué)的方法去解決游戲中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生易于理解、樂于嘗試，也為進(jìn)一步的探究活動(dòng)積累了豐富的操作經(jīng)驗(yàn)。

二、注重引導(dǎo)與啟發(fā)，讓學(xué)生始終處于探究與思考的學(xué)習(xí)狀態(tài)

數(shù)學(xué)規(guī)律具有抽象性，往往都比較隱蔽，藏在眾多現(xiàn)象與復(fù)雜情境中。只有經(jīng)過主觀上的有意注意才會(huì)關(guān)注到規(guī)律（即共性）的存在，經(jīng)過思考還會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律也有局限性。如本課中多邊形內(nèi)部釘子數(shù)不同時(shí)，蘊(yùn)含的規(guī)律也存在著不同。學(xué)生在進(jìn)行探究時(shí)，教師應(yīng)注重啟迪引導(dǎo)，讓學(xué)生合理分類、適時(shí)聚焦，將研究的關(guān)注點(diǎn)放到簡單易探究的問題上來。通過充分的探究、師生的交流，培養(yǎng)學(xué)生掌握探究問題的一般方法，并鼓勵(lì)學(xué)生以自主、合作、開放的姿態(tài)，投入到其他類具有挑戰(zhàn)性的問題研究中去，讓學(xué)生始終處于探究與思考的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

當(dāng)學(xué)生掌握用“計(jì)算”“數(shù)方格”的方法求多邊形面積后，教師在格點(diǎn)圖上出示更多的多邊形（如圖4），啟發(fā)學(xué)生換個(gè)角度思考：“多邊形面積大小還可能和什么有關(guān)？”學(xué)生通過積極討論后得出了“多邊形的面積可能與多邊形邊上以及里面的釘子數(shù)有關(guān)”的結(jié)論，從而進(jìn)一步明晰了探索、研究的方向。

接著，教師組織學(xué)生運(yùn)用合理的方法得出格點(diǎn)圖上7個(gè)多邊形的面積，填寫1號(hào)研究單，得到表1中的數(shù)據(jù)。

教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)釘子數(shù)與面積之間的規(guī)律：①、②、③、④號(hào)多邊形的面積都等于邊上釘子數(shù)除以2，兩者在數(shù)值上存在兩倍的關(guān)系。但是這樣的規(guī)律在⑤、⑥、⑦號(hào)多邊形上卻不存在。通過觀察與比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)①、②、③、④號(hào)多邊形之間存在著共性，即內(nèi)部只有1枚釘子。在此情況下，教師啟發(fā)學(xué)生猜想：多邊形內(nèi)部只有1枚釘子時(shí)，多邊形面積等于邊上釘子數(shù)除以2，并繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生小心求證，通過舉例驗(yàn)證來判斷這個(gè)猜想正確與否，且鼓勵(lì)學(xué)生積極尋找反例。最終，學(xué)生得出了這樣的結(jié)論：當(dāng)多邊形的內(nèi)部只有1枚釘子，多邊形面積等于邊上釘子數(shù)除以2。教師進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生嘗試運(yùn)用符號(hào)來進(jìn)行表征，初建模型。用 S 表示多邊形的面積，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，這個(gè)規(guī)律可以表示為S=n÷2。

當(dāng)學(xué)生完成以上探究后，他們自然對(duì)多邊形內(nèi)部有 0 枚、2 枚、3 枚、4 枚……釘子數(shù)的情況產(chǎn)生了濃濃的探究欲望。此時(shí)，回顧探究過程，交流探究方法，能更好地幫助學(xué)生建立認(rèn)知，掌握自主操作探究的方法。具體的探究方法為：①確定好一類研究對(duì)象（即內(nèi)部釘子數(shù)相同的多邊形）;②“算出”或“數(shù)出”多邊形的面積、邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù);③通過觀察歸納，形成“猜想”，再任意舉例“驗(yàn)證”猜想，嘗試尋找有無反例;④用字母式來表示探索出的規(guī)律。接著，教師出示 2 號(hào)研究單及活動(dòng)要求，再次組織學(xué)生進(jìn)行自主探究活動(dòng)。全班交流時(shí)，學(xué)生匯報(bào)展示各組數(shù)據(jù)，并揭示各組發(fā)現(xiàn)的規(guī)律（用字母式表達(dá)），整理出表2。最終，學(xué)生通過對(duì)表格中數(shù)據(jù)的觀察與比較，發(fā)現(xiàn)多邊形面積與邊上釘子數(shù)與內(nèi)部釘子數(shù)均存在著一定的規(guī)律。當(dāng)用字母a表示邊內(nèi)的釘子數(shù)時(shí)，可以歸納概括出更具普適性的規(guī)律：S= n÷2+a-1。

三、注重啟智與做中學(xué)，讓學(xué)生達(dá)成寓學(xué)于樂、融數(shù)于趣的學(xué)習(xí)體驗(yàn)

陳省身曾經(jīng)提過“數(shù)學(xué)好玩”這樣的觀點(diǎn)，但在平時(shí)的教學(xué)過程中，學(xué)生哪能輕易體會(huì)到數(shù)學(xué)好玩呢？不僅不好玩，而且學(xué)得累得很。從學(xué)科特點(diǎn)來說，數(shù)學(xué)知識(shí)是比較抽象的，具有高度的概括性，不像其他學(xué)科知識(shí)那樣形象、生動(dòng)、直觀，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)常常會(huì)感覺到枯燥、無味、無趣。所以，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要努力讓學(xué)生親近數(shù)學(xué)，走進(jìn)數(shù)學(xué)。作為探索規(guī)律課，教學(xué)時(shí)應(yīng)該特別注重在實(shí)際操作中幫助學(xué)生體會(huì)方法，體悟思辨，通過猜想、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等探究活動(dòng)，讓學(xué)生結(jié)合學(xué)具材料，手、腦、口并用，豐富寓學(xué)于樂、融數(shù)于趣的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

1.寓學(xué)于樂，以玩啟智

著名心理學(xué)家皮亞杰提出，兒童需要游戲，游戲可以幫助他們解決與外部世界的沖突。以數(shù)學(xué)活動(dòng)為主要特點(diǎn)的探索規(guī)律課就應(yīng)該讓兒童在游戲玩耍中探尋數(shù)學(xué)問題，可以自己算一算、數(shù)一數(shù)，也可以相互猜一猜、說一說，共同畫一畫、填一填等。要讓兒童運(yùn)用多種學(xué)習(xí)方式參與活動(dòng)、參與探究，讓學(xué)生在習(xí)得知識(shí)技能的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。本課中的釘子板學(xué)生平時(shí)就接觸過，并不陌生，有時(shí)學(xué)生還把釘子板作為玩具來玩，拼出自己喜歡的各種圖案來。教師從釘子板引入格點(diǎn)圖，再在格點(diǎn)圖上研究多邊形面積，學(xué)生自然進(jìn)入了類似游戲活動(dòng)的情境。在此情境下研究平面圖形的面積，既有趣，又有挑戰(zhàn)性。學(xué)生們可以利用格點(diǎn)圖，先得出多邊形的邊長，再借助面積計(jì)算公式“算”出面積;也可以利用格點(diǎn)圍成的面積單位“數(shù)”出面積。相對(duì)而言，“數(shù)”的方法會(huì)更快捷一些，并且更有趣味一點(diǎn)，尤其是不滿格部分的面積有時(shí)還存在著多樣化的數(shù)法。接著，教師啟發(fā)學(xué)生思考多邊形的面積還可能與什么有關(guān)，讓學(xué)生大膽猜測(cè)，將思考點(diǎn)放在多邊形邊上及里面的釘子數(shù)上，而數(shù)釘子的枚數(shù)、算圖形的面積，這些都是學(xué)生喜歡做、能夠做的事情，他們會(huì)樂意參與這樣類似游戲的活動(dòng)。在此過程中，教師要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在游戲活動(dòng)中開展數(shù)學(xué)思考：“我們有什么發(fā)現(xiàn)？”“這個(gè)發(fā)現(xiàn)一直存在嗎？”“分分類，發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律存在于哪幾個(gè)多邊形中？”“你有什么猜想？”“如何驗(yàn)證？”這些問題的思考會(huì)促使學(xué)生逐步將注意力從游戲的趣味性轉(zhuǎn)向?qū)σ?guī)律的探究上來，進(jìn)而感受到玩中有智，學(xué)中有樂，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)規(guī)律的探究是大有乾坤、精彩紛呈的。

2.融數(shù)于趣，在做中學(xué)

2011年版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)通過動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流來開展學(xué)習(xí)，這與著名教育家杜威先生提出的“做中學(xué)”的理念不謀而合。“釘子板上的多邊形”教學(xué)之前，學(xué)生已經(jīng)較好地形成了面積概念，掌握了常用面積單位，能計(jì)算簡單的平面圖形面積。但是，在釘子板上圍出來的圖形比較有趣，大多數(shù)不是規(guī)則圖形，也不是簡單圖形，求它們的面積沒有現(xiàn)成的方法可以使用，得出圖形的面積比較難。學(xué)生不會(huì)輕易想到圍成的多邊形面積與邊上的釘子數(shù)、里面的釘子數(shù)之間的關(guān)系，并且用高度抽象的含有字母的式子表達(dá)這種關(guān)系，也是有難度的。也正是因?yàn)檫@些“趣”與“難”，有助于體現(xiàn)動(dòng)手操作活動(dòng)的教育價(jià)值，通過“做中學(xué)”，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神與實(shí)踐能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力。

在探究多邊形面積規(guī)律的過程中，動(dòng)手操作始終發(fā)揮著重要的作用，引領(lǐng)著學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、計(jì)算、猜測(cè)、歸納、驗(yàn)證等思維活動(dòng)，形成了開放、多元、合作的課堂研究氛圍。借助實(shí)際操作要求，在初步掌握探究圖形內(nèi)部只有1枚釘子的規(guī)律后，每一組都自主選擇了一類喜歡探究的情況，組內(nèi)每一位學(xué)生都經(jīng)歷了完整的研究過程，較好地掌握了規(guī)律探究中特有的“先猜想，再驗(yàn)證”的研究方法，為后期持續(xù)學(xué)習(xí)與研究打下了基礎(chǔ)。不管是分組探究，還是大組交流，都會(huì)產(chǎn)生一組組實(shí)驗(yàn)操作的數(shù)據(jù)，在繁雜的數(shù)據(jù)里觀察、思考、發(fā)現(xiàn)，成了尋找規(guī)律的有效途徑，也成了數(shù)學(xué)探究的樂趣源泉。同時(shí)，小組的分類探究與大組的分享匯報(bào)也幫助學(xué)生積累了更多數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本經(jīng)驗(yàn)。這里的經(jīng)驗(yàn)既有外顯的操作經(jīng)驗(yàn)，如畫一畫、算一算、數(shù)一數(shù)，也有內(nèi)隱的思維經(jīng)驗(yàn)，如猜想驗(yàn)證、聯(lián)想類比、建立模型等。從中不難看出，開放民主的教學(xué)理念、精心巧妙的教學(xué)設(shè)計(jì)、廣泛參與的學(xué)生狀態(tài)、適時(shí)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)引領(lǐng)是組織好學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、從做中學(xué)的關(guān)鍵。

責(zé)任編輯：丁偉紅

Abstract： The “exploratory law” class with inquiry activities as the main feature at the elementary school level is a learning activity where students can explore mathematical problems in mathematical activities and develop their mathematical abilities in practical operations. The teaching path includes： awakening and activation， allowing students to participate in mathematics inquiry activities independently; guiding and enlightening， so that students are always in a learning state of inquiry and thinking; enlightenment and learning by doing， so that students can achieve an interesting learning experience with learning integrated with enjoyment.

Key words： inquiry learning; mathematical activities; learning by doing