陳云

【摘 ? 要】基于兒童喜歡涂鴉的天性，教師可引導(dǎo)學(xué)生用“圖解數(shù)學(xué)”詮釋數(shù)學(xué)結(jié)論或原理的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)奧秘的愿望?！皥D解數(shù)學(xué)”因其通俗易懂、更貼近小學(xué)生的理解和接受能力而成為生生交流的重要載體，能讓“小老師”在課堂參與過程中，講解更有底氣，分析更入理，反思更有深度。

【關(guān)鍵詞】圖解數(shù)學(xué);教學(xué);小老師

“小老師”是近年來出現(xiàn)的一種新型教學(xué)方式。它一方面可以更好地彰顯學(xué)生的主體價值，激發(fā)學(xué)生自身的學(xué)習(xí)主動性和學(xué)習(xí)潛能，另一方面也能更好地發(fā)揮同伴互助的教學(xué)功能。“圖解數(shù)學(xué)”是用圖或畫的方式來解釋數(shù)學(xué)的結(jié)論或原理，實現(xiàn)小學(xué)生數(shù)學(xué)思維可視化的一種有效方式。它是學(xué)生相互交流、自主建構(gòu)的重要載體，可以成為“小老師”分析講解、反思修正的常用手段，從而促進(jìn)自身數(shù)學(xué)能力的提升，也有助于啟發(fā)其他同學(xué)。

一、圖解數(shù)學(xué)讓“小老師”的見解清晰可見

讓學(xué)生做“小老師”是落實學(xué)生主體地位的一種做法。每個學(xué)生都希望有機會當(dāng)“小老師”，為了獲取這樣的展示機會，學(xué)生會主動、積極地對外部信息進(jìn)行深度認(rèn)知以及再加工。這一過程看似簡單，其實對數(shù)學(xué)信息從初步感知到完全理解，再到外化展示，對于小學(xué)生來說是一個極其復(fù)雜的過程，需要“小老師”進(jìn)行辨別、比較、判斷和加工。要較好地完成這一任務(wù)，學(xué)生除了要具有良好的語言基礎(chǔ)外，還必須掌握必要的技巧?！皥D解數(shù)學(xué)”就能恰到好處地幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)信息中的內(nèi)容進(jìn)行有效梳理，例如：借助圖示提取重要數(shù)學(xué)信息、借助圖示表征關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系等。

在蘇教版二年級上冊“認(rèn)識平均分”的教學(xué)中，教師追問：什么是平均分？對于這樣的問題，學(xué)生有“似曾相識”的熟悉，也有“霧里看花”的模糊，如果要求“小老師”來談?wù)勛约旱南敕ǎ唤柚欢ǖ耐怙@形式，確實很難表述，學(xué)生說來說去就是一句“分得同樣多”，再不知如何解釋。這樣的回答并不足以讓其他同學(xué)有更多收獲，也很難對除法的意義和除法可能存在的兩種情況（平均除、包含除）進(jìn)行有效區(qū)別。但如果我們把這樣一個寬泛的問題讓學(xué)生用圖解的方式使其具體化、形象化：“什么是平均分？把你認(rèn)為是平均分的故事寫出來或畫出來?！睂W(xué)生從自己的生活中去搜索平均分的實際問題，然后努力選擇合適的表征方式把問題記錄下來，在作業(yè)展示環(huán)節(jié)，“小老師”有了抓手，講解起來就會底氣十足：“媽媽買來12顆糖果，如果哥哥、我和妹妹每人分得的同樣多，我們每人可以分到4顆糖果。你看，我們3個人要分得同樣多，這就是平均分，可以說是平均分給哥哥、我和妹妹?！薄皬埨蠋熡?只氣球，每人給2只，張老師的氣球可以分給幾個人？每人2只就是你2只、他2只、我也2只，一直分，分給了4個人，這樣每個人都得到2只，就是同樣多，所以叫平均分（如圖1）。”……很顯然，有了圖解，“小老師”的表達(dá)就顯得“有血有肉”、活靈活現(xiàn)，對低段學(xué)生建立“平均分”的表象很有幫助，也能啟發(fā)其他同學(xué)想到各種平均分的實際問題。

小學(xué)生的思維是由具體形象思維逐漸發(fā)展為抽象思維的一個質(zhì)變的過程，需要一定的教學(xué)手段和工具媒介助力。一些直觀的圖示、表格在學(xué)生思維轉(zhuǎn)變中能起到重要的作用。如上，憑借直觀的圖解，學(xué)生對抽象的“平均分”問題有了真實的、可觸摸的理解。

二、圖解數(shù)學(xué)讓“小老師”的分析絲絲入扣

直覺是指在經(jīng)驗和已有知識的基礎(chǔ)上，不經(jīng)過邏輯推理而直接迅速地認(rèn)知事物的思維活動。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生很容易用“直覺”判斷一個結(jié)論是否正確，習(xí)慣于遵從“直覺思維”模式，不太愿意對數(shù)學(xué)問題做理性分析。之所以出現(xiàn)這種情況，是因為“直覺”也會在很多時候讓學(xué)生做出正確的判斷，這固化了學(xué)生的“直覺規(guī)律”，相應(yīng)的也導(dǎo)致學(xué)生發(fā)生一些常見的錯誤。教師要尋求一種方式讓學(xué)生養(yǎng)成一種良好的習(xí)慣，即在自己沒有完整思考的情況下，不輕信、不盲從“直覺”的答案。“圖解數(shù)學(xué)”就是一種可用的方式。“圖示”作為一種特有的數(shù)學(xué)語言，既可以解釋概念，也可以對解題策略進(jìn)行分析，一定程度上能幫助學(xué)生克服錯誤的直覺反應(yīng)，讓問題的分析過程和推理過程更有深度。

例如蘇教版五年級上冊“小數(shù)的再認(rèn)識”的教學(xué)，教師要幫助學(xué)生真正理解小數(shù)，感知小數(shù)的記數(shù)是“位值記數(shù)法”的拓展，小數(shù)是遵循整數(shù)記數(shù)規(guī)律的一種新的數(shù)。但是，如果只是簡單地進(jìn)行十進(jìn)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化，“小老師”恐怕自己都未必明白[72100]為何等于0.72，只是憑直覺說出7分米2厘米=[72100]米=0.72米，這不是思考的結(jié)果，而是依照教師之前給出的情景，“套路”出的答案。那[721000]寫成三位小數(shù)，是 0.072還是0.720呢？為了幫助“小老師”進(jìn)行理性分析，教師可為學(xué)生創(chuàng)造“圖解數(shù)學(xué)”的經(jīng)歷：用米尺測量出張老師的身高，并用小數(shù)表示出來，也可用其他圖示解釋你的思路（如圖2）。有了“圖解”的經(jīng)歷，“小老師”的分析便能入“理”三分：“我是這樣想的，10米平均分成10份，每份就是1米，1米平均分成10份，每份就是0.1米，7個0.1米就是0.7米;接著往后分，這里有點小，看不出來了，但我們可以想象，0.1米再分就是0.01米，因為它們都是10份、10份地分下去的，這里大約是2個0.01米，全部合起來就是1.72米?！保ㄈ鐖D3）“我覺得1米平均分成10份，1份就是[110]米，也是0.1米，0.1就是1的[110]，7個0.1米就是0.7米;再往后把0.1平均分成10份，其實就是把1米平均分成100份，每份是[1100]米，也就是0.01米，[1100]就是0.01，2個0.01米就是0.02米。我覺得好像還多了一半，這里分不下了，我把它畫在右邊。我們可以想象一下，0.01接著平均分，每份應(yīng)該是0.001米，我感覺在中間，就算5份吧，那就是0.005米，合起來就是1.725米。這里的0.1，0.01，0.001之間都是10倍、10倍的關(guān)系，和[110]，[1100]，[11000]，還有整數(shù)的1000，100，10，1之間的關(guān)系都是一樣的?！保ㄈ鐖D4）

“圖解”過程中，“小老師”的思考路徑清晰可見，能借助平均分的操作，把尚未正式學(xué)習(xí)的小數(shù)單位解釋得不那么抽象了。因為學(xué)生很巧妙地把小數(shù)這種計數(shù)方式和整數(shù)進(jìn)行了有效的溝通，10份、10份地逐次分下去，也就從左往右逐次排列下去，成為0.1，0.01，0.001。再結(jié)合十進(jìn)分?jǐn)?shù)的結(jié)構(gòu)來解釋小數(shù)，把整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)進(jìn)行了聯(lián)系，實現(xiàn)了零散知識體系化。當(dāng)圖示中0.01平均分成10份時，學(xué)生沒辦法畫了，但能根據(jù)相應(yīng)的原理進(jìn)行想象，推理出接下來分的過程和結(jié)果，可見學(xué)生的分析已經(jīng)突破“直覺”，較好地彌補了文字描述無法在大腦中呈現(xiàn)清晰圖像的缺陷，很大程度上提升了“小老師”講解的效果。

三、“圖解數(shù)學(xué)”讓小老師的反思有據(jù)可依

維果茨基說過，人所特有的心理過程都是由語言、標(biāo)志和符號這樣的心理工具充當(dāng)中介的，這種以符號系統(tǒng)為中介的高級心理機能需要由外部集體活動內(nèi)化而成。也就是說，學(xué)生最初是有自己的想法的，這些想法可能對、可能錯，也有可能是“半對半錯”，不足以實現(xiàn)從知識的理解到策略的形成。策略的形成需要經(jīng)歷一個過程，在這個過程中需要自我的反思和與同伴的交流。學(xué)生參加小組或全班的學(xué)習(xí)活動，須借助各種符號展開交流，以幫助學(xué)生實現(xiàn)自我完善。

例如在“平均數(shù)”問題的教學(xué)中，小學(xué)階段較為常見的算術(shù)平均數(shù)的計算，就是兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)[a+b2]，n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)[a1+a2+a3+ann]。受到算術(shù)平均數(shù)算法的影響，在“用單價10元的牛奶8千克和單價5元的果汁2千克，混合成牛奶果汁，每千克應(yīng)該以什么價格出售？”這類加權(quán)平均數(shù)的問題中，一位“小老師”振振有詞地表達(dá)了自己的觀點：這里是求價格的平均數(shù)，所以只要找到價格10元和5元就可以了，（10+5）÷2=7.5元，應(yīng)該以7.5元的價格出售。對于這樣的講解，學(xué)生中漸有唏噓聲，很顯然，原來僅8千克牛奶就要80元，現(xiàn)在加上果汁才75元，一定有問題?？墒牵瑔栴}出在哪里？算術(shù)平均數(shù)的算法根深蒂固地纏繞著學(xué)生的思維，學(xué)生必須借助圖解，把整個思路重新梳理，才能“破繭成蝶”。于是，教師引導(dǎo)學(xué)生反思：結(jié)合平均數(shù)學(xué)習(xí)的過程，畫出10千克果汁牛奶的價格如何平均。有“小老師”從平均數(shù)最初學(xué)習(xí)時用到的“移多補少”中受到啟發(fā)，給出了如圖5的解釋，這給其他同學(xué)一個啟發(fā)：原來這里不是1個10元和1個5元平均，而是8個10元和2個5元在平均。其他的同學(xué)也逐漸打開思路，給出了如圖6的解釋，這為平均數(shù)的計算過程（10×8+5×2）÷10做了很好的直觀詮釋。借助思考路徑的圖解過程，“小老師”終于意識到最初的“振振有詞”是欠缺考慮的，并真正接受和理解了加權(quán)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的“異”與“同”。

“小老師”登上舞臺，借助“圖解數(shù)學(xué)”，用直觀的圖形顯化思維，在合作交流中用精準(zhǔn)的語言闡述思考過程，能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]唐正玲，徐國慶.直覺力：職業(yè)能力養(yǎng)成中不容忽視的要件[J].職教通訊，2014（4）.

[2]陳琦，劉儒德.當(dāng)代教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2019.

（南京師范大學(xué)蘇州實驗學(xué)校 ? 215131）