狄宏規(guī)，郭慧吉，王炳龍，張小會

（1. 同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點實驗室，上海201804；2. 同濟(jì)大學(xué)上海市軌道交通結(jié)構(gòu)耐久與系統(tǒng)安全重點實驗室，上海201804）

近年來，大量軌道交通隧道的投入運營產(chǎn)生了許多因行車振動而導(dǎo)致的環(huán)境振動和結(jié)構(gòu)病害問題，尤其在軟土地層中，由于土層容易變形，因此病害問題更為突出［1-3］。隧道系統(tǒng)車致振動及其引起的結(jié)構(gòu)病害和環(huán)境振動問題的解決，關(guān)鍵在于建立可靠的隧道系統(tǒng)耦合動力學(xué)分析模型，通過動力學(xué)方法從理論上進(jìn)行解釋，以便采取有效的工程技術(shù)措施。

現(xiàn)階段隧道動力響應(yīng)計算模型主要包括兩大類，即解析（半解析）模型與數(shù)值法模型。常見的解析（半解析）模型有歐拉梁模型［4］、Pip in PiP（PiP）模型［5-9］、時域動力子結(jié)構(gòu)模型［10］以及面波轉(zhuǎn)化法模型等［11-12］。解析（半解析）模型計算速度快、參數(shù)分析方便，可以更深層次地了解振動傳播的一般規(guī)律。與解析法、半解析法相比，數(shù)值法的優(yōu)勢在于可以進(jìn)行更為精細(xì)化的建模。常見的數(shù)值法模型包括有限元模型［13-14］、2.5維有限元模型［15］、周期性有限元-邊界元模型［16］、2.5 維有限元-邊界元模型等［17-19］。上述模型均將土體視為單相線彈性介質(zhì)或固、液兩相介質(zhì)，而天然土體通常由固相、液相、氣相等介質(zhì)組成，因此采用單相或兩相介質(zhì)難以真實模擬地基土的多相特性。為了考慮氣相對土體動力響應(yīng)特性的影響，國內(nèi)外學(xué)者基于等效流體原理、混合物理論等，先后推導(dǎo)了非飽和多孔介質(zhì)波動控制方程［20-22］。隨后，徐明江等［23］、Fang等［24］、郭鵬飛等［25］建立了非飽和地基上路基、樁基動力響應(yīng)分析模型。然而，對于非飽和地基中隧道動力響應(yīng)分析模型的研究較為鮮見。

將隧道外的非飽和地基土視為固、液、氣三相介質(zhì)，隧道視為無限長的Flügge薄壁圓柱殼，分別采用矢量分解定理以及分離變量法求解非飽和地基土的波動方程和Flügge薄壁圓柱殼的振動控制方程。然后，利用隧道與土體交界面處的邊界條件，在頻域-波數(shù)域內(nèi)進(jìn)行耦合求解，得到系統(tǒng)的動力響應(yīng)基本解。最后，利用傅里葉逆變換得到時域-空間域內(nèi)的響應(yīng)。

1 非飽和地基土-隧道耦合模型以及求解

1.1 模型的簡化

地基土與隧道襯砌分別采用中空圓土柱以及無限長的Flügge薄壁圓柱殼模擬。地基土由固、液、氣三相介質(zhì)組成。殼體由均質(zhì)、各向同性的線彈性材料組成，如圖1所示。模型邊界假定為：非飽和土體與襯砌接觸面處位移、應(yīng)力連續(xù)，并且隧道襯砌不透水、不透氣；非飽和土柱外徑無窮大，無限遠(yuǎn)處土體的應(yīng)力、位移衰減為零。

圖1 非飽和地基土-隧道系統(tǒng)簡化模型Fig.1 Simplified model of unsaturated soil-tunnel system

圖1中，r、z、θ分別為圓柱坐標(biāo)系下徑向、軸向以及角度的物理量分量，us、v、w、uq分別為土骨架位移、孔隙水相對于土骨架的位移、氣體相對于土骨架的位移以及殼體位移，q為殼體應(yīng)力，R1為隧道半徑，h為襯砌厚度，P為激振荷載，v0為荷載移動速度。

1.2 非飽和地基土波動方程及求解

文獻(xiàn)［23］中運用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，結(jié)合空間平均化方法，基于Mualem 理論考慮孔隙流體相對于固體骨架的滲透系數(shù)，并采用非飽和地基土的水土特征曲線Van Genunchten（V-G）模型，推導(dǎo)了非飽和地基土的實用波動方程，如下所示：

式中：u 為位移矢量；p 為壓力；ρ 為密度；λ、μ 為土骨架Lame 常數(shù)；γ 為有效應(yīng)力系數(shù)；下標(biāo)s、l、g 分別表示土顆粒、孔隙水以及氣體。式（1）中的其他變量表達(dá)式如下所示：

式中：K為壓縮模量；n0為土體孔隙率；Sr、Sw0分別為飽和度與約束飽和度；η為黏滯系數(shù)；krl、krg分別為孔隙水和氣體的滲透系數(shù)；κ為滲透率；m為V-G模型的擬合參數(shù)。

滲流連續(xù)性方程為

a11、a12、a13、a21、a22、a23表達(dá)式參考文獻(xiàn)［23］。

引入非飽和多孔介質(zhì)的平均密度ρ、孔隙水與固體骨架間的相對位移v以及氣體與固體骨架間的相對位移w，計算式如下所示：

將式（1）寫成us-v-w的表達(dá)形式，如下所示：

其中，

滲流連續(xù)性方程可改寫為

總應(yīng)力表達(dá)式為

式中：σij為土單元總應(yīng)力分量；e為體積應(yīng)變；εij為應(yīng)變分量；δij為克羅內(nèi)克符號；p為等效孔隙流體壓力。

根據(jù)Helmholtz 矢量分解定理，式（4）中各位移us、v、w分別表示為

式中：φ、ψ 分別為土骨架部分的標(biāo)量波函數(shù)和矢量波函數(shù)；φ、τ分別為孔隙水部分的標(biāo)量波函數(shù)和矢量波函數(shù)；χ、? 分別為氣體部分的標(biāo)量波函數(shù)和矢量波函數(shù)；ez為z方向的單位向量。

考慮穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，將式（7）代入式（4），對時間t 進(jìn)行傅里葉變換至頻域后，得到以下方程組：

式中：ω為角頻率；～表示時間t所對應(yīng)的頻域。

為保證微分方程組（8）有非零解，則需滿足系數(shù)矩陣行列式為零的條件。根據(jù)該條件可以得到以下Helmholtz方程：

式中：k1、k2、k3分別為非飽和地基土中的快縱波、慢縱波、第二類慢縱波波數(shù)；kt為非飽和地基土中的橫波波數(shù)。

利用式（8）、（9），經(jīng)推導(dǎo)整理，可以得到各相勢函數(shù)之間的關(guān)系系數(shù)?1l、?2l、?3l、?1g、?2g、?3g、?tl、?tg，各相勢函數(shù)之間的關(guān)系可表達(dá)為

為滿足式（9）的解，假定勢函數(shù)具有以下形式［8］：式中：n為環(huán)向模態(tài)分量；ξ 為z方向波數(shù)；

將式（11）代入式（5）～（7）中，并對z方向進(jìn)行傅里葉變化，得到單個環(huán)向模態(tài)分量n下位移、應(yīng)力以及孔壓在頻率-波數(shù)域內(nèi)的分量，如下所示：

其中，

1.3 隧道襯砌振動控制方程及求解

隧道襯砌采用Flügge 薄壁圓柱殼模擬，殼體振動控制方程及求解可參考文獻(xiàn)［5］，殼體的平衡方程可寫成以下矩陣形式：

式中：υ 為殼體泊松比；E 為殼體楊氏模量。H 中元素的表達(dá)可參考文獻(xiàn)［5］。

1.4 耦合求解

假設(shè)襯砌內(nèi)表面z=0 m、θ=0°處作用一個沿z向正方向以v0速度移動的單位簡諧點荷載（見圖1），則單個環(huán)向模態(tài)分量n 下頻率-波數(shù)域內(nèi)荷載在r、θ、z方向產(chǎn)生的應(yīng)力分量分別為

式中：δ為狄拉克函數(shù)；ω0為激振荷載的角頻率。

結(jié)合土體與襯砌接觸面處位移、應(yīng)力連續(xù)，同時隧道與土體界面的孔隙水、氣體壓力變化均為零，即，得到以下計算式：

式中：G0由G對r求導(dǎo)所得。

由式（15）求解出未知量B1、B2、B3、B4、B5，將之代入式（12），并進(jìn)行傅里葉逆變換，可得非飽和地基中任意一點（r，θ，z）在時間-空間域內(nèi)的土骨架位移和應(yīng)力。

2 數(shù)值模擬與分析

2.1 模型退化與驗證

為驗證模型的正確性，首先將非飽和地基土模型退化為飽和地基土模型，并與文獻(xiàn)［8］中的方法進(jìn)行對比，退化時將本模型中的Sr取0.999，文獻(xiàn)［23］中的中間變量As取值為0，其他隧道襯砌以及非飽和地基土參數(shù)的選取參考文獻(xiàn)［8，26］，如表1所示。表1 中，μs表示飽和狀態(tài)時的動剪切模量，Ψ 表示土飽和時的內(nèi)摩擦角。計算單位移動簡諧荷載（f0=60 Hz，v0=20 m·s-1）作用下（荷載作用點位置：r=2.75 m，θ=0°，z0=z－v0t=0 m），隧道正下方（r=3.00 m，θ=0°）的動力響應(yīng)，并與既有模型進(jìn)行對比，如圖2所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，本模型計算結(jié)果與文獻(xiàn)［8］模型的計算結(jié)果高度吻合，驗證了本模型的可靠性。

表1 隧道襯砌和非飽和地基土計算參數(shù)Tab.1 Calculation parameters of tunnel lining and unsaturated soil

圖2 模型驗證Fig.2 Model validation

2.2 算例分析

選取如表1所示土體參數(shù)進(jìn)行算例的計算。移動簡諧荷載v0=20 m·s-1時，不同飽和度狀態(tài)下隧道底部（r=3.00 m，θ=0°，z0=0 m）土體動位移峰值、動應(yīng)力峰值和超孔壓峰值隨頻率的變化曲線如圖3所示。從圖3可以看到，當(dāng)激振頻率f0為0 Hz時，動位移峰值隨著飽和度的減小而減小，而動應(yīng)力峰值隨著飽和度的減小而增大。原因在于：土體動剪切模量隨著飽和度的減小而增大，該現(xiàn)象與文獻(xiàn)［26］中的描述一致。隨著激振頻率的增大，不同飽和度下非飽和地基土的動位移峰值與動應(yīng)力峰值趨于一致。此外，從圖3 還可以看到，飽和與非飽和地基土中超孔壓峰值差異明顯。

圖3 動力響應(yīng)隨激振頻率的變化Fig.3 Change of dynamic response with excitation frequency

圖4給出了移動簡諧荷載v0=20 m·s-1時，不同飽和度狀態(tài)下隧道底部（r=3.00 m，θ=0°，z0=0 m）土體超孔壓峰值隨飽和度的變化曲線?？梢钥吹剑陲柡投冉咏?.00時，各頻率下超孔壓峰值隨著飽和度的減小而迅速下降。當(dāng)飽和度下降到0.99時，超孔壓峰值下降到飽和土狀態(tài)下的30%，即在土體飽和度接近于1.00時，飽和度的輕微變化會引起超孔壓的劇烈變化。原因在于：隨著飽和度的下降，土體中氣體由無到以封閉氣泡形式存在，最終變?yōu)槌ㄩ_狀態(tài)［27］，氣體存在形式的變化導(dǎo)致了超孔壓的急劇變化；氣體的體積模量遠(yuǎn)小于液體與固體的體積模量（液體的體積模量約為氣體的13倍），因此輕微的氣體增量引起超孔壓的劇烈減小。

圖4 超孔壓隨土體飽和度的變化Fig.4 Change of excess pore water pressure withsoil saturation

圖5繪制了移動恒定荷載作用下不同位置土體動位移峰值隨荷載移動速度的變化曲線。土體的動位移峰值隨荷載移動速度的增大而逐步增大，但當(dāng)移動速度達(dá)到100 m·s-1以上時，不同飽和度下的土體動位移峰值相繼出現(xiàn)最大值，即荷載移動速度達(dá)到土體臨界速度。土體臨界速度隨著土體飽和度的降低而逐漸增大。根據(jù)非飽和地基土中剪切波波速表達(dá)式ct=ω/Re（kt）［28］，非飽和地基土中剪切波波速隨著土體飽和度的降低而增大，故土體臨界速度隨著土體飽和度的降低而逐漸增大。因此，在高速軌道交通隧道設(shè)計時，應(yīng)考慮土體飽和度對臨界速度的影響。

圖5 土體飽和度對臨界速度的影響Fig.5 Effect of soil saturation on critical velocity

3 結(jié)論

（1）建立了移動簡諧荷載作用下非飽和地基土中埋置隧道動力響應(yīng)的半解析模型。該模型退化至飽和地基土的計算結(jié)果與文獻(xiàn)［8］模型的計算結(jié)果高度吻合，驗證了所提半解析模型的可靠性。

（2）不同飽和度下土體的動位移峰值、動應(yīng)力峰值以及超孔壓峰值有所差異。飽和度對超孔壓峰值的影響較大，超孔壓峰值隨著土體飽和度的減小迅速下降。當(dāng)飽和度下降到99%時，超孔壓峰值下降到飽和狀態(tài)下的30%。

（3）土體的臨界速度隨著飽和度的降低而增大，這主要是由于土體剪切波波速隨著飽和度的降低而增大。對于非飽和土，應(yīng)該考慮飽和度對系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響。