朱翠濤，張正鵬

(中南民族大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，武漢 430074)

大規(guī)模MIMO技術(shù)是第五代移動(dòng)通信技術(shù)(5G)的核心部分之一，通過(guò)在基站部署大規(guī)模天線陣列即可生成增益高、寬度窄、可調(diào)節(jié)的賦型波束，可以大大減少對(duì)周邊的干擾以及提高對(duì)目標(biāo)用戶定向傳輸?shù)男阅躘1].在頻分雙工(FDD)模式下，進(jìn)行波束賦型的前提條件就是精確估計(jì)用戶的方位，而無(wú)線通信環(huán)境中存在著大量的多徑干擾、復(fù)雜的衰落還伴隨著用戶設(shè)備的功率限制、較高的時(shí)延要求，這給DOA估計(jì)帶來(lái)了難度，所以近年來(lái)的研究熱點(diǎn)集中在低復(fù)雜度的DOA估計(jì)算法[2-4]以及少快拍甚至單快拍下的陣列信號(hào)處理方法[5,6].

移動(dòng)通信環(huán)境下的DOA估計(jì)特點(diǎn)是接收數(shù)據(jù)有限、信號(hào)衰落嚴(yán)重、時(shí)延要求高，因此經(jīng)典子空間類算法如：MUSIC算法[7]、ESPRIT算法[8]由于計(jì)算復(fù)雜度過(guò)高不適用于通信系統(tǒng)，而低復(fù)雜度的PM[9]算法和EPM(旋轉(zhuǎn)不變傳播算子)算法需要大量的快拍數(shù)來(lái)保證樣本協(xié)方差矩陣的精度，同時(shí)基于傳播算子的子空間構(gòu)造也降低了DOA估計(jì)性能；非參數(shù)估計(jì)類方法如文獻(xiàn)[4]中基于離散傅立葉變換的DOA估計(jì)算法，在覆蓋用戶數(shù)多的場(chǎng)景下DOA估計(jì)精度不夠理想；文獻(xiàn)[10]中提出了基于湮滅濾波器技術(shù)的低復(fù)雜度算法，該算法可以在僅數(shù)個(gè)快拍下工作，但信噪比要求較高；還有基于某些智能算法的DOA估計(jì)算法如文獻(xiàn)[11]，通過(guò)分步估計(jì)的形式，有效降低算法的復(fù)雜度.

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出一種聯(lián)合范數(shù)去噪與Toeplitz矩陣重構(gòu)的DOA估計(jì)算法，該算法首先根據(jù)陣列協(xié)方差矩陣的Hermitian特性借助矩陣范數(shù)估計(jì)其最大特征值進(jìn)而估計(jì)噪聲功率，然后對(duì)陣列協(xié)方差矩陣對(duì)角元素進(jìn)行去噪，最后進(jìn)行Toeplitz重排，使重構(gòu)矩陣更加逼近理想陣列協(xié)方差矩陣.重構(gòu)后的矩陣可以運(yùn)用在子空間類算法中，在保留了原始算法高分辨率特性的同時(shí)，提高了在低信噪比、少快拍數(shù)條件下的估計(jì)性能.

圖1 均勻線陣示意圖Fig.1 Picture ofuniform linear array

1 系統(tǒng)和信號(hào)模型

考慮一個(gè)mmWave頻段的大規(guī)模MIMO基站，采用FDD模式.如上圖1所示，基站處配置M根天線并采用均勻線陣.同時(shí)基站下覆蓋K個(gè)單天線用戶，各用戶發(fā)送信號(hào)互不相關(guān)，每個(gè)用戶發(fā)送信號(hào)經(jīng)由L條多徑傳播后到達(dá)基站天線陣列，陣元實(shí)際接收信號(hào)為各衰落信號(hào)疊加后的信號(hào)，每條多徑的衰落系數(shù)為γ.信號(hào)入射角度為θk(k=1,2,3,…,K).

某時(shí)刻，基站天線陣列第i個(gè)陣元接收信號(hào)采樣表示如下：

(1)

其中，γl,k表示第k個(gè)用戶的第l路多徑信號(hào)相比原始信號(hào)的衰落系數(shù)；θk表示第k個(gè)用戶的方向，α(θk)表示該用戶的方向矢量,為α(θk)=「1,ejπsinθk,ejπ2sinθk,…，ejπ(M-1)sinθk?T，sk(t)為該用戶發(fā)送數(shù)據(jù)；ni(t)為第i個(gè)陣元上的加性高斯白噪聲.矩陣形式為：

R(t)=GS(t)+N(t),

(2)

上式中,R(t)為陣列接收信號(hào)，S(t)為發(fā)送信號(hào)，N(t)為噪聲干擾，G為衰落信道下的陣列流型，且有：

R(t)=[r1(t),r2(t),…,rM(t)]T,

(3)

S(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T,

(4)

N(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T,

(5)

(6)

2 聯(lián)合范數(shù)去噪與Toeplitz矩陣重構(gòu)的DEN算法

理論陣列協(xié)方差矩陣如下式：

Y=E{R(t)R(t)H}=GRsGH+σ2IM,

(7)

其中Rs=E{S(t)S(t)H}表示信號(hào)協(xié)方差矩陣，σ2為噪聲功率，IM為M維單位陣.

式(7)可以看出理論上噪聲污染僅存在于陣列協(xié)方差矩陣對(duì)角元素中，且協(xié)方差矩陣Y是一個(gè)Hermitian對(duì)稱矩陣，而由于均勻線陣陣列流型的Vandermonde特性，協(xié)方差矩陣Y還具有Toeplitz特征[12].在實(shí)際情況下，一般用下式計(jì)算樣本協(xié)方差矩陣：

(8)

式(8)中，N表示快拍數(shù).

根據(jù)子空間理論，協(xié)方差矩陣Y應(yīng)有K個(gè)不等的大特征值對(duì)應(yīng)信源功率，有M-K相等的小特征值對(duì)應(yīng)噪聲功率.為了提高傳統(tǒng)DOA估計(jì)算法性能，可以對(duì)樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行優(yōu)化，常用方法可通過(guò)對(duì)樣本協(xié)方差矩陣特征分解得到M-K個(gè)小特征值后求平均來(lái)估計(jì)噪聲功率以此對(duì)樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行去噪，此方法不僅需要對(duì)高維矩陣進(jìn)行特征分解，往往還因?yàn)闃颖緟f(xié)方差存在負(fù)特征值導(dǎo)致去噪效果較差；另外還可以通過(guò)理論協(xié)方差矩陣的Toeplitz特征來(lái)對(duì)樣本協(xié)方差進(jìn)行重排以優(yōu)化樣本協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu).

下面將聯(lián)合基于矩陣范數(shù)的低復(fù)雜度去噪方法與Toeplitz重構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)樣本協(xié)方差矩陣的優(yōu)化.

2.1 算法描述

若矩陣A為Hermitian矩陣，則其最大特征值滿足[13]：

λmax≤‖A+αI‖m-α，

(9)

為了減小計(jì)算量，我們?nèi)=1即矩陣的1范數(shù)，同時(shí)取α=‖·‖，對(duì)陣列協(xié)方差矩陣Y的最大特征值進(jìn)行估計(jì)，計(jì)得到協(xié)方差矩陣最大特征值后，定義其平方根值為噪聲功率的估計(jì)值.因此有

(10)

其中，α=‖Y‖1, 得到噪聲功率估計(jì)值后，根據(jù)式(7)對(duì)Y的主對(duì)角線元素進(jìn)行優(yōu)化，得到理論上無(wú)噪的陣列協(xié)方差矩陣Yx：

(11)

根據(jù)前文的結(jié)論，理論協(xié)方差矩陣是一個(gè)Toeplitz對(duì)稱矩陣.下面對(duì)Yx進(jìn)行重排，使其結(jié)構(gòu)逼近理想?yún)f(xié)方差矩陣.由于Yx仍是一個(gè)Hermitian矩陣，將其下三角部分每條斜對(duì)角線上的元素求和取平均，得到一組M×1維的數(shù)據(jù)向量v：

v=[v1,v2,…,vM]T,

(12)

(13)

以V為基礎(chǔ)列向量進(jìn)行Toeplitz重排，得到M維方陣YT.

至此完成對(duì)陣列協(xié)方差矩陣Y的重構(gòu)，下面將YT代替原始協(xié)方差矩陣，使用子空間類算法進(jìn)行DOA估計(jì).

2.2 DOA估計(jì)流程

綜上，以ESPRIT算法為例簡(jiǎn)述本文DOA估計(jì)算法流程，此處僅引用ESPRIT算法的結(jié)論而不推導(dǎo)其原理.

步驟1 由式(8)計(jì)算原始陣列協(xié)方差矩陣

步驟2 由式(10)估計(jì)噪聲功率并由式(11)得到理想無(wú)噪陣列協(xié)方差矩陣Yx

步驟3 由式(12)、(13)計(jì)算列向量v，并以其為基礎(chǔ)向量進(jìn)行Toeplitz拓展得到矩陣YT

步驟4 將矩陣YT進(jìn)行特征分解，根據(jù)ESPRIT算法估計(jì)旋轉(zhuǎn)算子Φ，對(duì)Φ繼續(xù)特征分解求得其特征值，由DOA計(jì)算式(14)得到用戶DOA估計(jì)值：

(14)

其中，ωk表示旋轉(zhuǎn)算子Φ的特征值，angle()表示求復(fù)數(shù)相角.

3 復(fù)雜度分析

本節(jié)按2.2節(jié)中的重構(gòu)步驟1-3，對(duì)重構(gòu)算法的復(fù)雜度進(jìn)行分析，計(jì)算時(shí)以復(fù)乘運(yùn)算次數(shù)為標(biāo)準(zhǔn).

步驟1：計(jì)算原始陣列協(xié)方差矩陣復(fù)雜度為O(N2M)

步驟2：估計(jì)噪聲功率復(fù)雜度約為O(M)

步驟3：Toeplitz重排涉及復(fù)數(shù)求平均運(yùn)算，復(fù)雜度約為O(M)

因此DEN算法總復(fù)雜度為O(N2M+2M)，重構(gòu)額外增加量為O(2M).雖然DEN算法帶來(lái)了部分計(jì)算量，但是考慮到傳統(tǒng)子空間算法的快拍要求往往是數(shù)百甚至數(shù)千，而經(jīng)過(guò)本文重構(gòu)后子空間算法可以在僅數(shù)十個(gè)快拍下以較高精度工作，并且對(duì)信噪比的要求也有降低.整體來(lái)說(shuō)，DEN算法理論復(fù)雜度有所增加但是低信噪比、少快拍數(shù)條件下，經(jīng)過(guò)重構(gòu)的DOA估計(jì)算法精度優(yōu)于未重構(gòu)時(shí)，且在達(dá)到相同精度的時(shí)，DEN算法實(shí)際需要的復(fù)乘運(yùn)算更少.

4 仿真分析

為了驗(yàn)證本重構(gòu)方法理論分析的正確性以及算法的性能，本實(shí)驗(yàn)仿真了傳統(tǒng)MUSIC、ESPRIT、PM算法及部分改進(jìn)算法：TLS-ESPRIT(整體最小二乘旋轉(zhuǎn)不變子空間算法)、EPM、PM，并比較了這些算法在重構(gòu)協(xié)方差矩陣前后DOA估計(jì)性能的變化情況.

(15)

圖2為EPM算法與TLS-ESPRIT算法兩種算法改進(jìn)前后的估計(jì)RMSE性能圖曲線對(duì)比.從圖2中可以看出在前述仿真條件下， 低信噪比時(shí)TLS-ESPRIT算法性能強(qiáng)于EPM算法，在高信噪比條件下性能相近.這表明EPM算法雖然復(fù)雜度降低，但卻是以犧牲精度為代價(jià)的.兩種算法在結(jié)合了DEN重構(gòu)算法后，曲線趨勢(shì)不變，TLS-ESPRIT算法改進(jìn)后依然強(qiáng)于EPM算法，信噪比為8dB時(shí)二者達(dá)到相同精度.

圖2 RMSE-SNR性能比較Fig.2 Comparison of RMSE-SNR performance

對(duì)EPM算法來(lái)說(shuō)，由于算法本身較差的魯棒性，導(dǎo)致性能較弱.TLS-ESPRIT算法性能在-10 dB至5 dB區(qū)間內(nèi)快速上升，在5 dB左右?guī)缀踹_(dá)到該算法的下界.兩種算法改進(jìn)前后對(duì)比表明DEN重構(gòu)算法可以提高原始算法在較低信噪比情況下的性能.

圖3仿真了算法改進(jìn)前后，在信噪比固定為5 dB的情況下，算法性能隨著快拍數(shù)增加的變化情況.從圖3中可以看出，改進(jìn)后的算法在100個(gè)快拍左右就幾乎可以達(dá)到該算法的下界.在快拍數(shù)小于100的情況下，改進(jìn)算法的RMSE要比原始算法RMSE低一到兩個(gè)數(shù)量級(jí).這表明DEN算法可以增強(qiáng)原始子空間算法在少快拍條件下的性能，且在大快拍條件下改進(jìn)算法性能依然強(qiáng)于原始算法.

圖3 RMSE-N性能比較Fig.3 Comparison of RMSE-N performance

圖4仿真了EPM、TLS-ESPRIT兩種算法改進(jìn)前后的估計(jì)成功概率.從圖4中可看出，當(dāng)估計(jì)成功概率為1時(shí)，所需SNR由大到小排序?yàn)镋PM>TLS-ESPRIT>DEN-EPM>DEN-ESPRIT，可以看出TLS-ESPRIT與EPM兩種算法改進(jìn)后的分辨門(mén)限有一定降低，大約降低了10 dB.

圖4 估計(jì)成功概率比較Fig.4 Comparison of success probability

圖5兩圖對(duì)比了DEN-EPM算法與EPM算法在500次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)下的估計(jì)結(jié)果分布散點(diǎn)圖.仿真時(shí)SNR=0 db，用戶數(shù)K=21，快拍數(shù)N=50.橫坐標(biāo)值為用戶實(shí)際方位，縱坐標(biāo)值為用戶方位估計(jì)值.從圖5.a可以看出，重構(gòu)后的算法500次估計(jì)結(jié)果分布相對(duì)較為集中，說(shuō)明性能較為優(yōu)良且魯棒.

對(duì)于均勻線陣，理論上用戶DOA越偏離陣列法線方向，其估計(jì)結(jié)果的誤差越大，反之越靠近法線方向，DOA估計(jì)算法性能就越優(yōu)良，圖5.a的仿真結(jié)果驗(yàn)證了這一客觀事實(shí).而圖5.b反應(yīng)了EPM算法在此仿真條件下的性能，可以看出此時(shí)EPM算法幾乎無(wú)法正常工作，圖中無(wú)法反映出用戶DOA的數(shù)值.

圖6仿真了MUSIC、PM和DEN-MUSIC、DEN-PM的歸一化空間譜峰圖情況，仿真時(shí)設(shè)置信噪比SNR=0 db，快拍數(shù)N=10.

從圖6中可以看出在陣列協(xié)方差矩陣未重構(gòu)前， MUSIC、PM算法的譜峰不尖銳、幅度不一、真實(shí)譜峰和偽封難以分辨，因此無(wú)法獲知用戶真實(shí)DOA方向，說(shuō)明在信噪比較低、快拍數(shù)較少的情況下兩種算法均無(wú)法實(shí)現(xiàn)DOA的有效估計(jì)；在應(yīng)用DEN算法重構(gòu)陣列協(xié)方差矩陣后，空間搜索譜峰正對(duì)用戶DOA方向，偽峰幾乎完全被消除，真實(shí)譜峰尖銳且易分辨.說(shuō)明了DEN重構(gòu)算法對(duì)提高陣列協(xié)方差矩陣在少快拍數(shù)情況下的性能具有明顯正影響.

a) DEN-EPM b) EPM圖5 估計(jì)結(jié)果分布散點(diǎn)Fig.5 Comparison of distribution scatter of estimation results

圖6 歸一化空間譜峰比較圖Fig.6 Comparison of normalized spatial peak

5 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，針對(duì)移動(dòng)通信環(huán)境中低信噪比、少快拍條件下DOA估計(jì)精度差問(wèn)題，提出一種聯(lián)合范數(shù)去噪與矩陣重構(gòu)的算法.算法首先計(jì)算陣列協(xié)方差矩陣并通過(guò)其范數(shù)估計(jì)其最大特征值，用最大特征值的平方根值作為噪聲功率估計(jì)值，來(lái)對(duì)陣列協(xié)方差矩陣進(jìn)行去噪，再對(duì)去噪后的矩陣進(jìn)行Toeplitz重排，實(shí)現(xiàn)對(duì)陣列協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu)的二次修正.

仿真實(shí)驗(yàn)證明，本重構(gòu)算法有效利用了陣列協(xié)方差矩陣中所包含的信息，在低信噪比、少快拍數(shù)的情況下提高了陣列協(xié)方差矩陣的精確度，與傳統(tǒng)的子空間類算法結(jié)合后，可以相應(yīng)提高傳統(tǒng)算法的性能如：降低分辨信噪比門(mén)限、抑制偽峰等.復(fù)雜度分析表明雖然重構(gòu)算法雖然引入了額外計(jì)算量，但增加的復(fù)雜度在可接受范圍內(nèi).