劉利瀾 李德安

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院 廣東 廣州 510006)

測(cè)單擺周期并計(jì)算重力加速度是大學(xué)普通物理實(shí)驗(yàn)的重要內(nèi)容,由于傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)中利用秒表測(cè)單擺周期的方式存在較大的不穩(wěn)定性，有研究者嘗試借助DIS傳感器測(cè)單擺周期[1,2]，但該類儀器成本較高.在測(cè)周期實(shí)驗(yàn)中，更創(chuàng)新的方法是通過(guò)手機(jī)傳感器記錄運(yùn)動(dòng)中物理量隨時(shí)間變化的情況，通過(guò)分析峰值間的時(shí)間間隔獲得運(yùn)動(dòng)周期.如利用加速度傳感器記錄彈簧諧振時(shí)加速度峰值的時(shí)間間隔[3]，用磁強(qiáng)計(jì)記錄勻變速直線運(yùn)動(dòng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度峰值的時(shí)間間隔等[4].

智能手機(jī)中的傳感器功能豐富逐漸應(yīng)用于物理實(shí)驗(yàn)中[5～11].本文通過(guò)手機(jī)傳感器測(cè)峰值間的時(shí)間間隔獲得周期的方式，設(shè)計(jì)了兩個(gè)單擺實(shí)驗(yàn).通過(guò)磁傳感器記錄空間中磁場(chǎng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的情況，測(cè)得簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期從而計(jì)算重力加速度.在常規(guī)單擺實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，拓展研究磁場(chǎng)對(duì)單擺周期的影響，通過(guò)光線傳感器記錄磁鐵在不同位置時(shí)單擺的運(yùn)動(dòng)情況，定性地分析變化磁場(chǎng)中單擺周期的變化趨勢(shì).

1 理論背景

在單擺擺角較小(θ<5°)時(shí),單擺的運(yùn)動(dòng)可近似看作簡(jiǎn)諧振動(dòng).簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)公式

(1)

在沒(méi)有附加外力的作用下，單擺只受重力和拉力的作用，重力的分力提供回復(fù)力如圖1所示.

圖1 擺球受力作用示意圖

(2)

其中，l為擺長(zhǎng)(懸點(diǎn)到球心的距離)，聯(lián)立式(1)、(2)，可推導(dǎo)出單擺周期的公式

(3)

重力加速度表達(dá)式

(4)

當(dāng)單擺只在重力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，回復(fù)力由重力的分力提供.如果在豎直平面上，對(duì)擺球施加一個(gè)作用力，由牛頓第二定律知，單擺的回復(fù)力將改變.有外力作用的情況下，式(3)可表示為

(5)

其中a表示施加外力對(duì)單擺周期的影響.例如，當(dāng)擺球擺到圖1中位置時(shí)，重力的分力沿圓弧切線方向，如果對(duì)擺球施加的外力F1沿圓弧切線方向的分力指向平衡位置時(shí)，a為正，單擺周期減小；如果對(duì)擺球施加的外力F2沿圓弧切線方向的分力背向平衡位置時(shí)，a為負(fù)，單擺周期增大.

2 利用手機(jī)傳感器設(shè)計(jì)單擺實(shí)驗(yàn)

立足傳統(tǒng)單擺實(shí)驗(yàn)，設(shè)計(jì)了利用手機(jī)傳感器研究單擺實(shí)驗(yàn)的新方法，借助磁傳感器測(cè)量單擺的周期并計(jì)算重力加速度，借助光線傳感器定性地分析了變化磁場(chǎng)中單擺周期的變化情況.

2.1 磁傳感器測(cè)量單擺重力加速度

將磁鐵固定在擺球下端，智能手機(jī)固定在擺球平衡位置的最下方，如圖2所示，磁鐵隨擺球擺動(dòng)時(shí)，空間中的磁場(chǎng)強(qiáng)度發(fā)生變化.打開(kāi)手機(jī)磁傳感器(Phyphox Magnetometer)，記錄擺球擺動(dòng)時(shí)空間中磁場(chǎng)的變化情況，單擺運(yùn)動(dòng)具有周期性特點(diǎn)，故手機(jī)磁傳感器接收到的磁感應(yīng)強(qiáng)度也呈現(xiàn)周期性變化.導(dǎo)出并處理磁傳感器記錄的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，可根據(jù)磁場(chǎng)峰值的時(shí)間間隔獲得單擺運(yùn)動(dòng)的周期T，如圖3所示.

圖3 B-t圖

利用如圖2所示的裝置，選取初始擺角為3°，在0.7～1 m之間，依次改變擺長(zhǎng),一次增加5 cm，共選取7個(gè)擺長(zhǎng)，用磁傳感器記錄不同擺長(zhǎng)時(shí)空間中磁場(chǎng)的變化情況,每個(gè)擺長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的周期測(cè)量3組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)中選取20個(gè)峰值計(jì)算平均周期，數(shù)據(jù)記錄如表1所示.

表1 擺長(zhǎng)與周期數(shù)據(jù)記錄

用Origin軟件擬合擺長(zhǎng)(l)與周期平方(T2)的關(guān)系圖,如圖4所示，其擬合關(guān)系式為

T2=4.066l

從圖像中可以看出采集的7個(gè)數(shù)據(jù)幾乎都落在直線上，其斜率

k=4.066 s2/m

擬合相關(guān)系數(shù)

r=0.999 0

圖4 T2-l的擬合圖像

斜率的不確定度

σk=0.074 s2/m

利用式(4),可計(jì)算出重力加速度

g=9.709 m/s2

重力加速度g的不確定度

(6)

得

σg=0.177 m/s2

故實(shí)驗(yàn)測(cè)得的g=9.709±0.177 m/s2，廣州當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?.788 m/s2落在實(shí)驗(yàn)的范圍[9.532，9.886]內(nèi)，本實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差

利用磁傳感器測(cè)重力加速度的相對(duì)誤差較小，結(jié)果較準(zhǔn)確，借助手機(jī)傳感器將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可視化，突破了傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)中無(wú)法觀察到單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)在空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡的難點(diǎn)，該方法為實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供了新思路.

在開(kāi)展實(shí)驗(yàn)時(shí)應(yīng)注意，手機(jī)感應(yīng)到的磁感應(yīng)強(qiáng)度在1 000 μT以下為宜，避免過(guò)強(qiáng)的磁場(chǎng)損壞手機(jī)，因此，選取普通的磁鐵開(kāi)展實(shí)驗(yàn)且手機(jī)應(yīng)與磁鐵保持一定的距離(本實(shí)驗(yàn)中，磁鐵與手機(jī)間距為4 cm)；同時(shí)為避免金屬對(duì)磁鐵產(chǎn)生影響，應(yīng)選取非金屬架懸掛帶磁鐵的擺球，以減少實(shí)驗(yàn)誤差.

2.2 光傳感器研究磁場(chǎng)對(duì)單擺周期的影響

在單擺下方放置一塊磁鐵，擺球和磁鐵間存在引力，即可看成對(duì)擺球施加了一個(gè)周期性作用力，該作用力會(huì)影響擺球的回復(fù)力.改變磁鐵的位置，擺球受到的磁鐵的作用力會(huì)發(fā)生變化，由式(5)可知，變化的力對(duì)單擺周期產(chǎn)生不同的作用效果.打開(kāi)手機(jī)光線傳感器(Phyphox Light)，當(dāng)放置在光源和智能手機(jī)間的擺球擺動(dòng)時(shí),光線傳感器接收到的光信號(hào)發(fā)生變化.單擺的擺動(dòng)表現(xiàn)為周期性，故手機(jī)接收到的光信號(hào)也呈現(xiàn)周期性的變化.處理光線傳感器記錄的圖像和數(shù)據(jù)，可獲得單擺的運(yùn)動(dòng)周期.

圖5 變化磁場(chǎng)中的單擺實(shí)驗(yàn)裝置圖

利用圖5的單擺實(shí)驗(yàn)裝置，選取初始擺長(zhǎng)l為70 cm，擺角為3°，在擺球下方放置一塊圓形小磁鐵，在桌面上水平放置一條塑料直尺，擺球沿著直尺方向擺動(dòng).記磁鐵到擺球最低點(diǎn)的水平距離為d，單擺運(yùn)動(dòng)周期為T，無(wú)磁鐵時(shí)，T=1.682 s.以磁鐵在擺球最低點(diǎn)(平衡位置)正下方為初始位置，記為0 cm.從0 cm開(kāi)始，沿同一水平方向每隔0.5 cm移動(dòng)一次磁鐵.記錄磁鐵在不同位置時(shí)對(duì)應(yīng)的單擺周期.在多次實(shí)驗(yàn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)磁鐵移動(dòng)到與擺球距離足夠大后，磁場(chǎng)對(duì)單擺運(yùn)動(dòng)的影響很小，所以當(dāng)磁鐵移動(dòng)到9 cm后，每隔1 cm移動(dòng)一次磁鐵，觀察遠(yuǎn)距離的磁鐵對(duì)周期的影響.磁鐵位置與單擺周期數(shù)據(jù)記錄如表2所示.

表2 磁鐵位置與單擺周期

利用表2 中記錄的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，繪制單擺運(yùn)動(dòng)周期(T)隨磁鐵位置(d)變化的圖像,如圖6所示.

圖6 T-d擬合圖像

由圖1可知，擺球擺到最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的水平距離公式為

d0=lsinθ

(7)

其中l(wèi)是擺長(zhǎng)，θ為擺角.用米尺測(cè)量得擺長(zhǎng)

l=70 cmθ=3°

計(jì)算得

d0=3.66 cm

T-d的擬合曲線(圖6)可以看出，單擺周期隨磁鐵距離的增大呈現(xiàn)先增加再減小后趨于平緩的變化趨勢(shì).分析圖像可知在受磁場(chǎng)作用下的單擺運(yùn)動(dòng)有以下特點(diǎn)：

(1)當(dāng)磁鐵放在擺球最低點(diǎn)正下方時(shí)，單擺受磁鐵作用力沿圓弧切線方向的分力均指向平衡位置，均正向作用于單擺的回復(fù)力，加速度a>0,且為最大值.此時(shí)，單擺周期最??；

(2)將磁鐵從擺球最低點(diǎn)的正下方移動(dòng)到擺球最高點(diǎn)正下方的過(guò)程中，單擺受到的磁鐵作用力沿切線方向的分力，部分指向平衡位置，部分背離平衡位置.隨著磁鐵距離的增加，磁鐵對(duì)單擺回復(fù)力的正向作用逐漸減弱，反向作用逐漸加強(qiáng)，加速度a從正向最大逐漸減小到零后再反向增大，故單擺運(yùn)動(dòng)周期隨磁鐵距離的增大而增加；

(3)磁鐵移動(dòng)到擺球最高點(diǎn)正下方時(shí)，磁鐵對(duì)單擺回復(fù)力的反向作用力與正向作用力差值最大，即反向的加速度最大，此時(shí)，單擺周期取得最大值；

(4)將磁鐵從擺球最高點(diǎn)正下方繼續(xù)向外移動(dòng)，磁鐵與擺球的距離逐漸增大，磁鐵對(duì)單擺回復(fù)力的反向作用減弱，單擺運(yùn)動(dòng)周期減小.當(dāng)磁鐵與擺球的距離增大到一定程度后，磁鐵對(duì)單擺的影響幾乎可忽略時(shí)，單擺恢復(fù)自由擺動(dòng)，單擺運(yùn)動(dòng)周期與不放磁鐵時(shí)周期相近.

由以上分析可知，給單擺外加的作用力會(huì)與重力共同影響單擺的回復(fù)力，對(duì)擺球施加不同的力，對(duì)單擺周期的影響也不同.有研究者通過(guò)理論分析,探究非均勻磁場(chǎng)中的單擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律[12].但在實(shí)際情況中，磁鐵在空間中的磁力線分布難以用簡(jiǎn)單的圖像準(zhǔn)確描繪，在變化的磁場(chǎng)中的單擺運(yùn)動(dòng)也難以用簡(jiǎn)單的公式分析.因此，通過(guò)實(shí)驗(yàn)的手段定性地分析了有磁場(chǎng)作用時(shí)單擺的周期變化情況，為學(xué)習(xí)者創(chuàng)造探究學(xué)習(xí)的情境，未來(lái)，學(xué)習(xí)者可設(shè)計(jì)其他科學(xué)探究實(shí)驗(yàn)，定量地總結(jié)單擺受外加變力作用時(shí)的周期變化情況.

3 結(jié)束語(yǔ)

設(shè)計(jì)了利用手機(jī)傳感器測(cè)量單擺運(yùn)動(dòng)周期的新方法，豐富了單擺實(shí)驗(yàn)研究的廣度，拓寬學(xué)生在單擺實(shí)驗(yàn)中思考的寬度.實(shí)驗(yàn)表明在單擺實(shí)驗(yàn)中引入磁力傳感器記錄簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期，并測(cè)得重力加速度的方法準(zhǔn)確可靠.在研究變化磁場(chǎng)中單擺運(yùn)動(dòng)周期實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)外加磁場(chǎng)的方法改變單擺回復(fù)力，利用手機(jī)光線傳感器測(cè)量不斷調(diào)整磁鐵的位置后，單擺周期的變化情況，從實(shí)驗(yàn)的角度拓展了變力作用時(shí)單擺運(yùn)動(dòng)的情況.

利用手機(jī)傳感器開(kāi)展的實(shí)驗(yàn)不僅能增加實(shí)驗(yàn)的趣味性，還能為物理實(shí)驗(yàn)研究提供新思路.手機(jī)傳感器功能豐富多樣，為開(kāi)展創(chuàng)新的物理實(shí)驗(yàn)提供更大的便利和自由[13].在將來(lái)，手機(jī)傳感器運(yùn)用在物理實(shí)驗(yàn)方面的探索會(huì)有更進(jìn)一步的發(fā)展.