張春玲 胡松

摘 要 針對(duì)目前大學(xué)數(shù)學(xué)課堂的消極現(xiàn)狀，以及互動(dòng)教學(xué)中存在的問(wèn)題，以高等數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)“復(fù)變函數(shù)積分”為例，強(qiáng)調(diào)指出老師在高數(shù)課堂互動(dòng)中的作用，高數(shù)課堂互動(dòng)教學(xué)實(shí)施的關(guān)鍵，互動(dòng)教學(xué)中學(xué)生思考的時(shí)間分配，以及多種教學(xué)模式應(yīng)用的重要性。

關(guān)鍵詞 互動(dòng)教學(xué) 復(fù)變函數(shù) 高等數(shù)學(xué) 問(wèn)題設(shè)置

Abstract In view of the current negative situation of college mathematics classroom and the problems existing in interactive teaching， taking the important knowledge point of higher mathematics "complex function integral" as an example， this paper emphasizes the role of teachers in the interaction of high mathematics classroom， the key to the implementation of interactive teaching in high mathematics classroom， the time allocation of students' thinking in interactive teaching， and the importance of the application of various teaching modes.

Keywords interactive teaching; complex variable function; advanced mathematics; problem setting

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)教育必不可少的基礎(chǔ)課程，它與社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域均有著不可分割的聯(lián)系。但高等數(shù)學(xué)本身具有高度的抽象性，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性不高，直接影響了大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)效果。[1]除此之外，教師的教學(xué)方法也是影響其教學(xué)效果的重要因素。

當(dāng)前，數(shù)學(xué)教學(xué)的模式多種多樣，如目標(biāo)式教學(xué)、問(wèn)題式教學(xué)、情境式教學(xué)、啟發(fā)式教學(xué)等等。[2]但無(wú)論采用何種教學(xué)模式，教師都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的倡導(dǎo)者、組織者，應(yīng)盡可能給學(xué)生提供參與數(shù)學(xué)互動(dòng)學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，在掌握數(shù)學(xué)的基本知識(shí)、理解數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，使其真正成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人。而培養(yǎng)的學(xué)生探究能力，并進(jìn)一步促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的有效途徑之一就是“互動(dòng)”。[3]互動(dòng)式教學(xué)已成為廣泛采用的教學(xué)方法，但相對(duì)于傳統(tǒng)教學(xué)，其需要教師投入更多的精力，很多教師并不能長(zhǎng)時(shí)間堅(jiān)持實(shí)施。而且很多互動(dòng)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，只體現(xiàn)了師生互動(dòng)，缺少了學(xué)生與學(xué)生之間的互動(dòng)，設(shè)計(jì)的問(wèn)題也趨于形式化。[4]這些都漸漸地使學(xué)生喪失了問(wèn)題的探究能力，從而缺乏創(chuàng)新意識(shí)。

本文以高等數(shù)學(xué)第四冊(cè)中“復(fù)變函數(shù)積分”為實(shí)例，給出高等數(shù)學(xué)課上中，互動(dòng)式教學(xué)方法的關(guān)鍵點(diǎn)，包括教師在高數(shù)課堂互動(dòng)中的作用，高數(shù)課堂互動(dòng)教學(xué)實(shí)施的關(guān)鍵，互動(dòng)教學(xué)中學(xué)生思考的時(shí)間分配，以及多種教學(xué)模式應(yīng)用的重要性。

1 教師——互動(dòng)教學(xué)中的優(yōu)秀編導(dǎo)和最佳配角

教師應(yīng)是每堂課的優(yōu)秀編導(dǎo)，而且是高數(shù)課堂互動(dòng)式教學(xué)過(guò)程中的最佳配角。這意味著教師在備課環(huán)節(jié)，要吃透教材，備課時(shí)就設(shè)計(jì)好哪個(gè)環(huán)節(jié)互動(dòng)，以什么形式互動(dòng)，互動(dòng)的角色安排，以及互動(dòng)中可能出現(xiàn)的各種問(wèn)題，并提前想好應(yīng)對(duì)課堂上突發(fā)狀況的對(duì)策，而并不是成為課堂互動(dòng)活動(dòng)的主角。

如，在講授知識(shí)點(diǎn)“用參數(shù)法求復(fù)變函數(shù)積分”時(shí)，筆者在講解求解步驟的基礎(chǔ)上，給出以下練習(xí)題“求積分，積分路徑分別為①直線段;②左半單位圓周;③右半圓周”，使學(xué)生給出答案，并仔細(xì)觀察結(jié)果后給出自己的想法。有學(xué)生提出了這樣的問(wèn)題：沿著三個(gè)路徑的積分都是0，是偶然還是必然？對(duì)于此問(wèn)題的解答，可充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的能動(dòng)性，先讓學(xué)生相互討論后，給出自己的解答，并請(qǐng)有不同意見(jiàn)的同學(xué)進(jìn)行推理辯論。如果學(xué)生不能有效給出確定結(jié)果，教師可給出適當(dāng)提示，如“嘗試多個(gè)積分路徑，并考慮積分函數(shù)z的性質(zhì)”;在學(xué)生給出“必然”的結(jié)論時(shí)，教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生考慮與的區(qū)別。使學(xué)生動(dòng)手驗(yàn)證積分函數(shù)解析性的基礎(chǔ)上，總結(jié)得到“解析函數(shù)的積分與路徑無(wú)關(guān)”。通過(guò)有效調(diào)控和引導(dǎo)，不僅完成了教學(xué)內(nèi)容的要求，更能提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感，提高學(xué)習(xí)積極性。

2 問(wèn)題——互動(dòng)教學(xué)的心臟

典型問(wèn)題探究是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心點(diǎn)，在高數(shù)課堂的互動(dòng)教學(xué)中，問(wèn)題也是培養(yǎng)學(xué)生探究能力的心臟。[5]有以下三方面作用的數(shù)學(xué)問(wèn)題，才能堪稱好問(wèn)題：（1）能夠使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種自主創(chuàng)造式學(xué)科的問(wèn)題;（2）不但有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)，而且也要有助于學(xué)生理解科學(xué)的問(wèn)題;（3）能夠使學(xué)生體會(huì)到“數(shù)學(xué)是借助于觀察和類比，進(jìn)而引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)的科學(xué)”。[5]因此，在互動(dòng)教學(xué)中，合理設(shè)置行之有效的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是取得良好互動(dòng)效果的重要保障。

例如，在“復(fù)圍線下的柯西積分定理”教學(xué)中，我們常用到如下的問(wèn)題：計(jì)算復(fù)圍線積分，此處C是圓周。這道題在講解柯西積分定理應(yīng)用時(shí)經(jīng)常用到，但單純就題論題，應(yīng)用該題求解積分，不能很好地起到提高學(xué)生的探究能力的教學(xué)效果。首先，如果積分區(qū)域如果為橢圓或其他不規(guī)則圍線，結(jié)論是否同樣適用;其次，如果不是同時(shí)包含兩個(gè)奇點(diǎn)，情況又如何呢。因此，筆者在教學(xué)中將圓周改為“包含？的圍線”“包含1，但不包含-1的圍線”及“包含-1，但不包含1的圍線”三種條件。提出下列問(wèn)題：（1）積分區(qū)域包含一個(gè)奇點(diǎn)時(shí)，復(fù)圍線定理如何應(yīng)用;（2）積分區(qū)域是圓周時(shí)，結(jié)果是否有影響;（3）積分區(qū)域內(nèi)奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)對(duì)積分結(jié)果有什么影響。針對(duì)這些問(wèn)題，在教師引導(dǎo)下，學(xué)生可自行解決問(wèn)題（1）和（2），而問(wèn)題（3）可作為培養(yǎng)學(xué)生深層次探究能力的導(dǎo)火索。在完成教學(xué)要求的基礎(chǔ)上，設(shè)置合理的問(wèn)題，才能更加激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和思考。

3 思考時(shí)間——互動(dòng)教學(xué)有效實(shí)施的鑰匙

數(shù)學(xué)的應(yīng)用即是再創(chuàng)造，而學(xué)習(xí)現(xiàn)成的數(shù)學(xué)不可能培養(yǎng)學(xué)生的再創(chuàng)造能力。[6]在傳統(tǒng)教學(xué)模式的課堂中，把本節(jié)教學(xué)任務(wù)完成，并解決所有本節(jié)課中的問(wèn)題，即是達(dá)到了基本的考核指標(biāo)。而對(duì)于互動(dòng)式教學(xué)，學(xué)生可以通過(guò)互動(dòng)探究活動(dòng)，拓展自己的思維空間，從而迸發(fā)出各種問(wèn)題的火花，而且學(xué)生提出的很多問(wèn)題往往需要預(yù)留一定的思考時(shí)間，才能更有效地得以解決。

例如，利用柯西積分公式，求解積分中，已知，C為正向圓周，求的值。這個(gè)問(wèn)題，雖然考察的知識(shí)點(diǎn)顯而易見(jiàn)，即是柯西積分公式，但對(duì)于其中隱含的函數(shù)形式，還需要學(xué)生在教師的指導(dǎo)下課后去探究。教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生先認(rèn)真觀察該積分形式與高階導(dǎo)數(shù)公式的異同點(diǎn)，然后可以提示學(xué)生，充分考慮柯西積分公式的應(yīng)用條件。這樣，給予學(xué)生足夠的探究時(shí)間，讓學(xué)生在課下充分思考，他們?cè)隍?yàn)證“變量1+i在積分區(qū)域內(nèi)”的前提下，可以想到將柯西積分公式進(jìn)行變形應(yīng)用，得出函數(shù)的函數(shù)形式，進(jìn)而求得其導(dǎo)函數(shù)，帶入變量1+i求值。而且，在此探索求解的過(guò)程中，學(xué)生在充足的思考時(shí)間內(nèi)，反復(fù)驗(yàn)證高階導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用前提，探究其變形應(yīng)用的可能性，使得學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了有效拓展，擴(kuò)充了自己的思維空間。

4 教學(xué)模式——互動(dòng)教學(xué)成長(zhǎng)的搖籃

互動(dòng)教學(xué)模式有很多種。師生互動(dòng)能夠突出重點(diǎn);生生互動(dòng)可以通過(guò)學(xué)生與學(xué)生之間的辨析討論，拓展學(xué)生的思維空間，加深對(duì)知識(shí)的理解;而分組互動(dòng)能夠使不同層次的學(xué)生在高數(shù)課堂上互幫互學(xué)互促互進(jìn)，更便于教師邊教學(xué)邊培優(yōu)補(bǔ)差。因此，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，采用師生互動(dòng)、生生互動(dòng)、分組互動(dòng)，還是采用其他行之有效的互動(dòng)教學(xué)模式，應(yīng)依據(jù)教學(xué)對(duì)象、課堂教學(xué)內(nèi)容，以及每堂課的教學(xué)難度而有差別地選擇合適的互動(dòng)模式。并且，高等數(shù)學(xué)是本科生普遍感覺(jué)較難學(xué)的課程，其中有很多題目難度較大，而且求解繁瑣，即使順利求得解，也很難直觀地理解解的分布及其物理意義。目前，多數(shù)數(shù)學(xué)教師主要利用PPT課件展示的形式，進(jìn)行日常教學(xué)活動(dòng)，其特點(diǎn)是能夠方便直觀地進(jìn)行展示，但在課堂教學(xué)的互動(dòng)活動(dòng)中，只單單利用PPT課件這一種教學(xué)載體，會(huì)使學(xué)生感覺(jué)單調(diào)乏味，缺乏新意，從而很難激發(fā)學(xué)生參與課堂互動(dòng)的積極性，21世紀(jì)是一個(gè)信息時(shí)代，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生利用信息手段自主學(xué)習(xí)，自動(dòng)學(xué)習(xí)，即學(xué)生可以在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，在教師的指導(dǎo)下發(fā)揮自主性和創(chuàng)造性。

比如，我們可以用數(shù)學(xué)工具軟件Matlab很方便地求解復(fù)變函數(shù)積分，例如求積分，C是逆時(shí)針?lè)较虻膱A周：|z|=2時(shí)，由于在Matlab中，求解函數(shù)的留數(shù)很簡(jiǎn)單，因此積分計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為先求被積函數(shù)的留數(shù)：

在此過(guò)程中，學(xué)生可以在教師指導(dǎo)下，自主操作，自己動(dòng)手實(shí)踐，并可以相互討論，真正實(shí)現(xiàn)師生互動(dòng)、生生互動(dòng)以及小組互動(dòng)。

5 結(jié)語(yǔ)

教師的角色扮演及問(wèn)題合理設(shè)計(jì)是高等數(shù)學(xué)課堂互動(dòng)教學(xué)取得有效效果的關(guān)鍵因素，同時(shí)，互動(dòng)模式下的高等數(shù)學(xué)教學(xué)需要給學(xué)生安排合理的探究和思考的時(shí)間，此外，要想取得良好的互動(dòng)效果，選擇合適的互動(dòng)模式是一種有力保障。教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際只是水平，因人而異地提出不同的要求，從而保證每個(gè)學(xué)生都能在力所能及的情況下，按時(shí)完成對(duì)新知識(shí)的探究。要想培養(yǎng)全新型人才，不能單一地采用一種互動(dòng)教學(xué)模式，只有在教學(xué)過(guò)程中，有機(jī)地、合理地綜合運(yùn)用各種教學(xué)模式，才能真正做到教書(shū)育人。

切實(shí)有效地利用好互動(dòng)式教學(xué)，能夠使高數(shù)教學(xué)活動(dòng)充滿活力，通過(guò)學(xué)生之間的辨析討論、師生之間的引導(dǎo)探究，達(dá)到去偽存真的教學(xué)效果。同時(shí)，在教師充當(dāng)最佳配角，學(xué)生帶著問(wèn)題，充分發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性，以合作交流、分組討論等多種方式以達(dá)到思想、情感和信息的交流和啟發(fā)，從而拓展學(xué)生思維，培育學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心。

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