于濤

[摘要]文章以“兩角差的余弦公式”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，創(chuàng)新教學(xué)活動(dòng)，從幾何直觀到代數(shù)推理，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)和思維活動(dòng)，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，

[關(guān)鍵詞]基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);核心素養(yǎng);兩角差的余弦公式

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡稱“四基”），《課標(biāo)（2017年版）》將“雙基”提升為“四基”，首次提出基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)活動(dòng)既應(yīng)包含具體身體行動(dòng)的活動(dòng)，也應(yīng)包括數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，這樣基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)主要就是兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)：一個(gè)是學(xué)生的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀：另一個(gè)是學(xué)生的思維經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)思考問題，因此，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)滲透在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中，成為落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑，下面以“兩角差的余弦公式”為例，談?wù)勍ㄟ^恰當(dāng)創(chuàng)設(shè)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

1基本情況

1.1教材內(nèi)容分析

兩角差的余弦公式是在學(xué)習(xí)三角函數(shù)、向量等知識后，研究的第一個(gè)兩個(gè)角的三角計(jì)算公式，它是研究其它兩角和差公式、倍角公式的基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用，從知識生成的過程看，本節(jié)課的知識源白天文學(xué)的測量問題，涉及幾何圖形的長度、面積、角度等度量問題，從推導(dǎo)公式的過程看，需要應(yīng)用單位圓等數(shù)學(xué)模型，聯(lián)系三角函數(shù)、向量等知識。

1.2學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了用直角三角形定義銳角三角函數(shù)，在高中學(xué)習(xí)了用單位圓定義任意角三角函數(shù)，從靜態(tài)的銳角到動(dòng)態(tài)的任意角，學(xué)生先后學(xué)習(xí)了兩個(gè)重要數(shù)學(xué)模型：直角三角形和單位圓，但還不能將解決角的問題與應(yīng)用數(shù)學(xué)模型相結(jié)合，另外，學(xué)生在初中學(xué)習(xí)勾股定理及其證明時(shí)，初步體會(huì)了將幾何圖形的相互關(guān)系（面積關(guān)系）轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示（勾股定理），具備了一定的直觀想象意識。

1.3教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

（1）借助勾股定理的證明方法，回顧用幾何圖形的相互關(guān)系研究代數(shù)關(guān)系的基本思路，發(fā)展學(xué)生提出問題的能力：

（2）結(jié)合活動(dòng)探究，經(jīng)歷從幾何直觀到代數(shù)表示，初步得到兩角（銳角）差的余弦公式，培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng)：

（3）會(huì)用任意角的單位圓模型證明兩角差的余弦公式，感悟從具體到抽象、特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等基本思想，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)：

（4）通過例題及變式的教學(xué)，掌握兩角差的余弦公式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)：

（5）借助探究性作業(yè)，深化基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，

重點(diǎn)：兩角差的余弦公式，

難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的生成與推廣過程，

2教學(xué)過程

2.1復(fù)習(xí)回顧，創(chuàng)設(shè)情境

問題1如圖1.說說初中課本勾股定理證明方法的思路和基本思想？

學(xué)生：用四個(gè)全等Rt△構(gòu)造出兩個(gè)全等正方形，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分和空白部分的面積分別相等，得到a²+b²=c²體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的基本思想。

教師：這個(gè)方法體現(xiàn)了形數(shù)統(tǒng)一，既嚴(yán)密又直觀，

問題2幾何圖形的度量和計(jì)算除了長度、面積，還有角度，如圖2.若直角三角形斜邊長為1.其中一個(gè)銳角為θ，請仿照勾股定理的證明思路，說出有關(guān)θ的等式。

學(xué)生：平方關(guān)系sin²θ+cos²θ=1

教師：不過這個(gè)幾何圖形（圖2）只能證明銳角平方關(guān)系，要證明任意角平方關(guān)系需要用單位圓模型。

設(shè)計(jì)意圖

勾股定理的證明是通過對幾何圖形的拼接、割補(bǔ)來證明代數(shù)關(guān)系的，證明過程重在通過對幾何圖形的度量和計(jì)算，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示，是以形證數(shù)的典范，以此喚醒學(xué)生直觀想象的意識，鑒于幾何度量不僅包含長度、面積，還包含角度，通過相同圖形，不同代數(shù)觀測，得到不同的代數(shù)表示，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察幾何圖形，發(fā)展學(xué)生提出問題的能力，從長度到角度，用圖1、圖2分別證明勾股定理和平方關(guān)系（銳角）的思維過程是類似的，是探究發(fā)現(xiàn)兩角（銳角）差的余弦公式的重要活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.2合作交流，探究發(fā)現(xiàn)

活動(dòng)：請用兩對斜邊長為1的直角三角形（如圖3），其中一對含銳角α，另一對含銳角β，仿照勾股定理的證明思路，探究有關(guān)α與β的等式，（注：學(xué)生每人兩對直角三角形，同桌為一組）

公式：平行四邊形面積公式（如圖4）：S□=absinθ

探究結(jié)果展示：（請一個(gè)小組分享，簡述證明思路）

教師：這個(gè)公式就是兩角差的余弦公式，但是只證明了α和β是銳角的情形。

設(shè)計(jì)意圖

活動(dòng)的創(chuàng)設(shè)是問題2的變式，從四個(gè)全等直角三角形的一個(gè)銳角的等量關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，到兩組全等直角三角形的兩個(gè)銳角的等量關(guān)系的探究，讓學(xué)生經(jīng)歷證明勾股定理的思維過程，積累通過幾何圖形發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)，從一個(gè)角到兩個(gè)角，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生、發(fā)展的方法，發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題的能力，

2.3推導(dǎo)證明，公式推廣

問題3如何證明對任意角α，β∈R，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ？

教師：我們用直角三角形的三邊關(guān)系定義了銳角三角形函數(shù)，探究活動(dòng)用直角三角形拼接幾何圖形證明了兩角（銳角）差的余弦公式，要將其推廣至任意角，說說你的想法？

學(xué)生：可以考慮用單位圓模型來證明，

教師：如圖6.分別畫出角α，β的終邊，寫出終邊與單位圓交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，那么，角α-β如何在圖中表示？（根據(jù)學(xué)生的回答，出現(xiàn)了兩種思路）

設(shè)計(jì)意圖按照初、高中學(xué)習(xí)三角函數(shù)定義的順序，先用直角三角形拼接幾何圖形進(jìn)行公式的探究與發(fā)現(xiàn)，再用單位圓模型進(jìn)行公式的推廣與證明，從具體到抽象、特殊到一般，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，對于兩種證明方法，思路一代數(shù)多于幾何，緊扣學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)，聯(lián)系向量、誘導(dǎo)公式等知識，發(fā)展思維的嚴(yán)謹(jǐn)性：思路二幾何多于代數(shù)，注重對幾何問題的圖形分析，探索解決問題的思路兩個(gè)證明思路注重學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，從數(shù)學(xué)直觀向理性思維轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。

設(shè)計(jì)意圖例1、例2、例3三個(gè)例題的設(shè)置，從具體角到字母角，再到具體角與字母角的混合，幫助學(xué)生理解運(yùn)算對象的變化，重在鞏固基本知識，變1、變2分別將例2、例3的單個(gè)角換成復(fù)雜角，重在運(yùn)算思路的探尋，提升基本技能，強(qiáng)化換元等基本思想，例題和變式形成有機(jī)整體，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

2.5作業(yè)布置，拓展探究

（1）將課堂探究圖形中角α的余角記為α，請?zhí)骄坑嘘P(guān)α與β的等式。

（2）若將兩對斜邊長為1的直角三角形拼成如圖9所示的矩形，請?zhí)骄繄D9中空白部分菱形面積的含義。

（3）（選做）你還能用這些直角三角形拼出其它常見平面圖形，并根據(jù)其幾何關(guān)系探究代數(shù)關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖探究（1）是課堂活動(dòng)的延伸，探究結(jié)果是兩角（銳角）和的正弦公式;探究（2）給出了第三種矩形的拼接方式，根據(jù)標(biāo)注角的不同，探究結(jié)果可能是兩角（銳角）差的正弦公式，也可能是兩角（銳角）和的余弦公式，通過探究（1）（2），啟發(fā)學(xué)生的思維，幫助學(xué)生強(qiáng)化基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為其它公式的學(xué)習(xí)做好鋪墊，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)，探究（3）在探究（2）的基礎(chǔ)上，具有較大的開放性，旨在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

3教后反思

3.1實(shí)踐活動(dòng)重?cái)?shù)學(xué)直觀

關(guān)于三角公式的學(xué)習(xí)，學(xué)生往往更關(guān)注公式的實(shí)用性，忽略對三角公式的理解，因此，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，從整體教學(xué)設(shè)計(jì)理念出發(fā)，將三角知識的學(xué)習(xí)放置于整個(gè)初、高中相關(guān)知識的學(xué)習(xí)中，以學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律為依據(jù)，圍繞幾何圖形構(gòu)建實(shí)踐活動(dòng)，其中，在創(chuàng)設(shè)情境、探究發(fā)現(xiàn)和探究作業(yè)等教學(xué)環(huán)節(jié)，探究對象的幾何圖形和代數(shù)要素不斷變化，強(qiáng)化和豐富了學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不難發(fā)現(xiàn)，每個(gè)幾何圖形都體現(xiàn)著相應(yīng)代數(shù)表示的一種幾何意義，有助于學(xué)生加深對公式的理解，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)直觀的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的能力和意識，讓學(xué)生自然地學(xué)習(xí)知識。

3.2思維活動(dòng)重?cái)?shù)學(xué)推理

不論是證明公式，還是應(yīng)用公式，都是用已有數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的過程，都應(yīng)幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維，因此，對于公式的推廣與證明，教學(xué)中不急于陜速完成，而是通過精心設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，遵循最近發(fā)展區(qū)理論，探尋較為自然的證明思路;對于公式的應(yīng)用，教學(xué)中以題組、變式等方式，題目設(shè)置由簡至繁，將解題經(jīng)驗(yàn)逐步歸一，構(gòu)建科學(xué)思維體系，積累數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，就要在教學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生將調(diào)動(dòng)基礎(chǔ)知識、施展基本技能、應(yīng)用基本思想有機(jī)融合，積累解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展自動(dòng)自覺的思維意識。

總之，教學(xué)中既要關(guān)注實(shí)踐活動(dòng)，也要關(guān)注思維活動(dòng)，它們是基本活動(dòng)的兩個(gè)側(cè)面，與其它“三基”緊密聯(lián)系，教學(xué)過程中，注重幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，就能推動(dòng)學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。