譚艷霞 陳秋月

【摘要】近年來，最值問題成為中考熱點之一，時常出現(xiàn)在壓軸題中.本文主要借助“將軍飲馬”模型，“化折為直”的轉(zhuǎn)化思想，解決在不同幾何圖形中線段和的最值問題.

【關(guān)鍵詞】將軍飲馬;三點共線;最值

古希臘一位將軍騎馬要從A地出發(fā)到河邊讓馬飲水，然后再去同側(cè)的B地.怎樣選擇馬飲水的位置C，才能使馬走得路程最短呢？最短路程是多少？如圖1所示.

做法：1.選擇其中一個定點如點A，作點A與動點C所在直線l的對稱點A′.

2.連接對稱點A′與另一個定點B，與直線l的交點即為要求的點C.

3.所連線段的長A′B即為所求的線段和的最小值.

“將軍飲馬”利用“軸對稱”的性質(zhì)實現(xiàn)化折線為直線，實質(zhì)是當三點共線時，兩線段和取得最小值.攻略是先找線再找點，即關(guān)鍵抓住兩點：確定動點所在的直線，確定兩個定點.掌握了這個知識點后，我們就來大展身手吧.

一、與三角形相結(jié)合的試題

如圖所示，已知等邊△ABC的邊長為8，點D為AC的中點，點E為BC的中點，點P為BD上一動點，求PE+PC的最小值.

分析 求線段和最小值，想到“將軍飲馬”模型.要解決這個問題，首先要確定什么呢？兩個確定：

（1）確定動點所在的直線（即為對稱軸），由P為BD上一動點，確定直線： BD ;

（2）確定兩定點：由PE+PC及題意可知，兩定點： 點E和點C .

3.確定直線和定點后，其做法為：① 做其中一個定點的對稱點，② 連接另一個定點，③ 與對稱軸交于一點即為所求點.

解 ① 做對稱點：∵△ABC是等邊三角形，點D為AC的中點，

∴BD⊥AC，AD=DC，即點C的對稱點為點A.

② 連接AE.

③ 與線BD交于一點P，此時線段AE的長即為PE+PC最小值，點E是邊BC的中點，∴AE⊥BC，EC=4.

∵AE2=AC2-EC2，∴AE=43，

故PE+PC的最小值是43.

二、與四邊形相結(jié)合的試題

如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，求這個最小值.

分析 求線段和最小值，兩個確定：

（1）確定動點所在的線（即為對稱軸），在對角線AC上有一點P，確定線： AC ;

（2）確定兩定點：由PD+PE及題意可知，兩定點： 點D和點E .

解 由于點B與D關(guān)于AC對稱，即過點D作關(guān)于線AC的對稱點為B，連接BE，與AC的交點即為點P.

∵點B與D關(guān)于AC對稱，

∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE=BE最小.

∵正方形ABCD的邊長為2，

∴AB=2.

又∵△ABE是等邊三角形，

∴BE=AB=2，∴所求最小值為2.

三、與一次函數(shù)相結(jié)合的試題

一次函數(shù)y=kx+b的圖像與x，y軸分別交于點A（2，0）、B（0，4）.

（2）O為坐標原點，設OA，AB的中點分別為C，D，P為OB上一動點，求PC+PD的最小值，并求取得最小值時P點的坐標.

分析 求線段和最小值，兩個確定：

（1）確定動點所在的線（即為對稱軸），P為OB上一動點，確定線： OB ;

（2）確定兩定點：PC+PD的最小值可知，兩定點： 點C和點D .

解 設點C關(guān)于點O的對稱點為C′，連接C′D交OB于P′，連接P′C，則PC=PC′，

∴PC+PD=PC′+PD=C′D，

即PC+PD的最小值是C′D.

連接CD，在Rt△DCC′中

CD=CC2+CD2=22，

即PC′+PD的最小值為22.

∵OA，AB的中點分別為C，D，

∴CD是△OBA的中位線，

∴OP∥CD，CD=12，OB=2.

∵C′O=OC，∴OP是△C′CD的中位線，

∴OP=12，CD=1，∴點P的坐標為（0，1）.

四、四邊形與一次函數(shù)綜合的試題

已知函數(shù)y=-43x+8與x軸和y軸分別交于D，C兩點，長方形OCAB在第一象限，點E在AB上，沿CE折疊，點A恰好與點D重合.

（1）求直線CE的解析式;

（2）在x軸上找一點P，使PC+PE的和最小，并求P點坐標.

分析 （2）中求線段和最小值，兩個確定：

① 確定動點所在的線（即為對稱軸），在x軸上找一點P，確定線： x軸 ;

② 確定兩定點：由PC+PE及題意可知，兩定點： 點C和點E .

解 （1）當x=0時，y=8，當y=0時，x=6，

故點C的坐標為（0，8），點D的坐標為（6，0），

則OC=8，OD=6，

由勾股定理得CD=OC2+OD2=10

由翻折變換的性質(zhì)可知，AC=CD=10，BD=OB-OD=4，

設BE=x，則DE=AE=8-x，

由勾股定理得DE2=BD2+BE2，

即（8-x）2=42+x2，

解得x=3，

則點E的坐標為（10，3），

設直線CE的解析式為y=kx+b（k≠0），

則10k+b=3，b=8，

解得k=-12，b=8，

故直線CE的解析式為

y=-12x+8.

（2）∵點C關(guān)于x軸的對稱點為C′，

∴點C′的坐標為（0，-8），

連接EC′，交x軸于P，則PC+PE的和最小，

設直線EC′的解析式為y=ax+c，

則10a+c=3，c=-8， 解得a=1011，c=-8，

直EC′的解析式為y=1011x-8，

y=1110x-8與x軸的交點P的坐標8011，0.

對于線段和求最小值的問題，無論題目是鑲嵌在哪個幾何圖形中，是簡單還是復雜，只要確定兩點：線與兩定點.則其余的問題都可迎刃而解.

依托“將軍飲馬”模型，更換研究的背景，如三角形、四邊形、函數(shù)及其綜合，使學生領(lǐng)悟不變的是本質(zhì)：三點共線時取最值，變化的只是形式.解決問題所采的方法就是化折為直，通過軸對稱的性質(zhì)，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題.當我們遇到新的問題時，我們就要想到怎樣把它轉(zhuǎn)化成已學過的問題.