劉瑩

【摘要】數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想、方法、技能只有經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累才能內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).綜合與實(shí)踐活動(dòng)為數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累提供了平臺(tái)，本文對(duì)“猜想、證明與拓廣”教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累進(jìn)行了分析.

【關(guān)鍵詞】綜合與實(shí)踐;數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);猜想;證明;拓廣

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為課程目標(biāo)之一在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中被明確提出，可以理解為學(xué)生從經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中獲得的感受、體驗(yàn)、領(lǐng)悟以及數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、情感與觀念等內(nèi)容組成的有機(jī)組合性經(jīng)驗(yàn)[1].綜合實(shí)踐活動(dòng)的形式多種多樣，包括觀察、猜想、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生要綜合自己的知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維模式進(jìn)行課題的研究，因此，綜合實(shí)踐活動(dòng)是積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要載體.“猜想、證明與拓廣”（第一課時(shí)）選自北師大版課標(biāo)教材九年級(jí)上冊(cè)綜合與實(shí)踐，主要探究矩形的“倍增”與“減半”問題.本文分析了這節(jié)綜合與實(shí)踐課對(duì)學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獨(dú)特價(jià)值.

一、課堂教學(xué)實(shí)錄

（一）探究活動(dòng)1：正方形的“倍增”問題

1.猜想環(huán)節(jié)

師：任意給定一個(gè)正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長與面積分別是已知正方形周長和面積的2倍？大家大膽猜想一下.

（教師板書并畫圖（如圖1所示），學(xué)生交流討論）

生：不存在.

師：是怎么考慮的？

生：特殊值驗(yàn)算，設(shè)原正方形邊長為2，所要求的正方形的周長應(yīng)該為16，那么它的邊長為4，面積為16，不是原來的2倍.

（教師板書猜想）

2.證明環(huán)節(jié)

師：僅憑這樣一個(gè)例子可以直接判定不存在嗎，還是不一定存在呢？

生：不能判定，這只是一個(gè)特殊情況，只能作為一種猜想的依據(jù).

師：怎么給出一般性的證明呢？

生：用字母表示邊長.

師：好，那我們?nèi)我饨o定一個(gè)正方形，設(shè)它的邊長為a，則周長為4a，面積為a2.那么該如何證明呢？

（小組內(nèi)交流討論，小組代表發(fā)言）

生：如果存在滿足條件的正方形，假如周長是原來的2倍，那么它的邊長應(yīng)該為2a，但是此時(shí)面積為4a2，不是原來的2倍，因此，不存在滿足條件的正方形.

生：假如所求正方形的面積滿足是原來的2倍，它的邊長應(yīng)該為2a，那么此時(shí)正方形的周長是42a，變成了原來的2倍，因此，不存在滿足條件的正方形.

師：很好，你們都是從代數(shù)角度考慮的，從正方形的幾何特性考慮一下，還有別的方法嗎？

生：利用相似來做，如果存在，這兩個(gè)正方形一定相似，所以可設(shè)相似比為k，則周長比為k，面積比為k2，由題意可得k=k2=2，這樣的k不存在，故這樣的正方形不存在.

師：非常好，同學(xué)們用三種方法證明了猜想.我們來總結(jié)一下：方法一，固定周長，看面積是否滿足條件;方法二，固定面積，看周長是否符合條件;方法三，利用相似圖形的性質(zhì)證明.誰來表述一下結(jié)論？

生：任意給定一個(gè)正方形，不存在另一個(gè)正方形，它的周長與面積分別是已知正方形周長和面積的2倍.

3.拓廣環(huán)節(jié)

師：剛才我們研究的是正方形的“倍增”問題，其他的圖形有這樣的性質(zhì)嗎？你們能拓廣一下嗎？

生：將正方形改為矩形.

師：用語言表述一下.

生：（猜想一）任意給定一個(gè)矩形，是否存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍？

生：（猜想二）任意給定一個(gè)三角形，是否存在另一個(gè)三角形，它的周長和面積分別是已知三角形周長和面積的2倍？

師：好，同學(xué)們不拘泥于四邊形，將邊數(shù)擴(kuò)展到三條邊了.

生：（猜想三）任意給定一個(gè)圓，是否存在另一個(gè)圓，它的周長和面積分別是已知圓周長和面積的2倍？

師：好，現(xiàn)在又拓廣到圓了.

師：那么對(duì)于這些猜想，同學(xué)們最想探究哪一個(gè)呢？

生：矩形，正方形是特殊的矩形，我們證明了正方形的結(jié)論，它的進(jìn)一步拓廣就是矩形，就探究一下矩形吧.

師：大家同意嗎？

生：同意！

（二）探究活動(dòng)2：矩形的“倍增”問題

1.猜想環(huán)節(jié)

師：那我們接下來一起猜想一下有關(guān)矩形的這個(gè)結(jié)論，存在這樣的矩形嗎？大家想怎么探究呢？小組交流一下.

生：可以確定的是，不存在滿足要求并且與已知矩形相似的矩形.

生：探究正方形的方法也是適用的.可以先找個(gè)特殊的矩形驗(yàn)證一下，再進(jìn)行猜想.

生：直接用字母表示之后得出一般性結(jié)論.

師：同學(xué)們的想法都很好，直接用字母表示來驗(yàn)證是可行的，我們驗(yàn)證幾個(gè)特例可以理清計(jì)算的思路，減少后續(xù)計(jì)算的困難.大家計(jì)算一下以下幾個(gè)矩形（如圖2所示）并驗(yàn)證結(jié)論.

（以學(xué)習(xí)小組為單位進(jìn)行探究活動(dòng)，每個(gè)小組選擇一種情況進(jìn)行驗(yàn)證，整理并寫出完整的解答過程，嘗試多種方法解決）

師：同學(xué)們說一下第一個(gè)長為2、寬為1的矩形，大家找到滿足條件的矩形了嗎？怎么做的呢？

生：先固定所求矩形的周長，周長為12，設(shè)所求矩形的長為x，那么它的寬為6-x，而它的面積為x（6-x），滿足的關(guān)系式為x（6-x）=4.轉(zhuǎn)化為一元二次方程x2-6x+4=0，計(jì)算可得所求的矩形長為3+5，寬為3-5.

生：先固定所求矩形的面積，面積為4，設(shè)所求矩形的長為x，那么它的寬為4x，而它的周長為2x+4x，滿足的關(guān)系式為2x+4x=12.轉(zhuǎn)化為分式方程x+4x=6，計(jì)算可得所求的矩形長為3+5，寬為3-5.

生：設(shè)所求矩形的長為x，寬為y，那么滿足方程組x+y=6，xy=4， 對(duì)這個(gè)方程我們?cè)诮獾某讨杏龅搅艘恍├щy.

師：好，同學(xué)們?nèi)绾谓膺@個(gè)方程組呢？大家一塊討論一下.

（小組交流討論，小組代表發(fā)言）

生：xy=4將x除過去可以轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)y=4x，這是我們所熟悉的.將x+y=6變形可得y=6-x，方程組的解可以看作這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn).

師：好，同學(xué)們用GeoGebra軟件操作一下，將它的求解出來.

生：由函數(shù)圖像（圖3）可得方程組有解，因此，存在這樣的矩形.

師：同學(xué)們將圖形的問題轉(zhuǎn)化為方程問題，方程的解又可以借助函數(shù)圖像來解決，真正地做到了數(shù)形結(jié)合.經(jīng)過剛才的交流，大家解決問題的方法是不是又豐富了呢？再給大家一些時(shí)間，解決剩下的兩個(gè)問題，小組交流討論.

師：現(xiàn)在給出你們的猜想吧.

生：任意給定一個(gè)矩形，存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍.

2.證明環(huán)節(jié)

師：大家通過幾個(gè)特例給出了猜想，下面我們來探究一下一般的情況.

生：假設(shè)已知矩形的長和寬分別為a和b，那么已知矩形的周長和面積分別為2（a+b）和ab，先固定所求矩形的周長，周長為4（a+b），設(shè)所求矩形的長為x，那么它的寬為2（a+b）-x，而它的面積為x[2（a+b）-x]，滿足的關(guān)系式為x[2（a+b）-x]=2ab.將關(guān)系式變形得到一元二次方程x2-2（a+b）x+2ab=0，判別式Δ=4（a2+b2）顯然是大于0的，說明方程有解，因此，所要求的矩形是存在的.

師：其他小組還有不一樣的做法嗎？

生：還可以先固定面積，所求矩形的面積為2ab，設(shè)所求矩形的長為x，那么它的寬為2abx，而它的周長為2x+2abx，滿足的關(guān)系式為2x+2abx=4（a+b）.這是一個(gè)分式方程，經(jīng)過變形整理，可以得到方程x2-2（a+b）x+2ab=0，同樣Δ=4（a2+b2）>0，可以得到方程有解.

師：大家都是轉(zhuǎn)化為一元二次方程來求解的，但是只用Δ=4（a2+b2）>0來判斷可以嗎？是不是忽略了什么條件？

（眾生沉默）

師：大家想一下對(duì)一個(gè)一元二次方程來說Δ>0能說明什么呢？

生：說明方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

生：矩形的邊長顯然是大于零的，因此，只說明方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根是不行的，還得說明有大于0的實(shí)根.

生：對(duì)，這里的x是大于0的，我們都忽略了.

師：同學(xué)們，這個(gè)經(jīng)驗(yàn)告訴我們數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，我們?cè)诮o出任何一個(gè)變量時(shí)都要明確它的范圍，容不得半點(diǎn)馬虎，不然就會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的錯(cuò)誤，接下來請(qǐng)大家思考如何來說明方程有大于0的實(shí)根.

（小組交流討論）

師：大家有思路了嗎？

師：看來帶有字母的方程對(duì)大家來說還是有些困難的.我提示一下，給定的x是大于0的，給定的a，b也是大于0的.大家再討論一下.

（學(xué)生獲得提示后，積極思考，討論氣氛熱烈）

生：韋達(dá)定理可以說明.根據(jù)Δ>0我們可以知道方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么假設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1和x2，則x1+x2=2（a+b），x1x2=2ab， a+b>0，ab>0，兩根之積要大于0，則兩個(gè)根同號(hào)，兩根之和又要大于0，則只能x1，x2都是大于0的.因此，也能說明方程是有大于0的實(shí)數(shù)根的.

師：非常正確.善于思考就能面對(duì)大的挑戰(zhàn).

師：根據(jù)我們求解特例的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)該還有其他的做法，大家能夠想出來嗎？

生：我們小組是這樣解的.設(shè)所求矩形的長和寬分別為x和y，這里x和y就是大于0的.列出方程組x+y=2（a+b），xy=ab， 這個(gè)方程組的解可以看作函數(shù)y=-x+2（a+b）和函數(shù)y=abx的交點(diǎn)，并且交點(diǎn)要滿足x>0，y>0，x≥y， 只是不會(huì)用軟件畫圖.

師：分析得非常正確，并且考慮了未知數(shù)的范圍.我們接下來共同學(xué)習(xí)用GeoGebra動(dòng)態(tài)演示帶有變量的函數(shù)的畫法.

（教師用軟件演示（如圖4所示），并請(qǐng)學(xué)生進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示）

生：可以看出有滿足條件的交點(diǎn)，所以這樣的矩形是存在的.

師：這樣就驗(yàn)證了我們的猜想.請(qǐng)同學(xué)們來表述結(jié)論.

生：任意給定一個(gè)矩形，一定存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的兩倍.

3.拓廣環(huán)節(jié)

師：同學(xué)們，本節(jié)課研究了正方形與矩形的“倍增”問題，同學(xué)們已經(jīng)在圖形上進(jìn)行了拓廣，想一想還能從哪些方面進(jìn)行拓廣呢？

生：將2倍改成3倍、4倍或者改為一半.

師：類比本節(jié)課的探究方法，我們將矩形的“減半”問題留為作業(yè)，小組探究解決，并且將結(jié)論寫成小論文的形式，下節(jié)課我們進(jìn)行匯報(bào)展示.

二、綜合與實(shí)踐活動(dòng)——數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累的平臺(tái)

（一）綜合、體驗(yàn)與創(chuàng)新

本課題雖然是“純數(shù)學(xué)”的探究活動(dòng)，但卻充分體現(xiàn)了綜合與實(shí)踐活動(dòng)的“綜合性”“體驗(yàn)性”與“創(chuàng)新性”[1].首先既考查了圖形相似，又考查了方程的求解以及幾何與代數(shù)領(lǐng)域知識(shí)的綜合.既可以先固定周長看面積是否滿足2倍關(guān)系，也可以先固定面積看周長是否滿足2倍關(guān)系，用到了物理、生物學(xué)科實(shí)驗(yàn)經(jīng)常使用的控制變量法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識(shí)的綜合.在解決問題的過程中GeoGebra軟件是師生得出結(jié)論的重要工具，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與信息技術(shù)的綜合.其次，學(xué)生在解決問題的過程中，體驗(yàn)了特例入手、歸納猜想、證明猜想、拓廣結(jié)論的數(shù)學(xué)思維的全過程.再次，課題本身就具有開放性與挑戰(zhàn)性，所以需要學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行判斷、選擇和創(chuàng)新性運(yùn)用，比如，學(xué)生運(yùn)用韋達(dá)定理證明方程有大于零的實(shí)數(shù)根就十分具有創(chuàng)新性.

（二）學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的積累

學(xué)生在研究正方形的面積時(shí)，由特殊值驗(yàn)證過渡到用字母表示數(shù)量關(guān)系得出一般性的結(jié)論，由常量到變量，運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的表達(dá)，經(jīng)歷運(yùn)算、推理和數(shù)學(xué)思考的一系列過程，積累了運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)的經(jīng)驗(yàn).通過畫圖，標(biāo)注數(shù)量關(guān)系來描述問題、理解問題，在形象思維的基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo)、驗(yàn)證得到結(jié)論，積累了幾何直觀的經(jīng)驗(yàn).在處理方程時(shí)，學(xué)生通過適當(dāng)?shù)淖冃巫R(shí)別出一次函數(shù)、反比例函數(shù)，使計(jì)算更加簡便.在一元二次方程是否有實(shí)根的判斷上，不同的學(xué)生采用了不同的方法，如用一元二次方程根的判別式或配方法，積累了簡潔運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn).學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷了“理解問題→初步猜想→驗(yàn)證→發(fā)現(xiàn)規(guī)律→證明→拓廣”的數(shù)學(xué)化的過程，形成了科學(xué)探究的一般思維模式，積累了模型經(jīng)驗(yàn).學(xué)生由正方形的“倍增”問題過渡到矩形的“倍增”問題，由特殊的情形到一般性問題，用合情推理進(jìn)行猜想，用演繹推理驗(yàn)證猜想，積累了數(shù)學(xué)推理的經(jīng)驗(yàn).小組合作探究，學(xué)生之間集思廣益，相互啟發(fā)，辯證思考，客觀表達(dá)，敢于質(zhì)疑，善于歸納，積累了數(shù)學(xué)交流的經(jīng)驗(yàn).

綜合與實(shí)踐活動(dòng)是積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的良好載體[2]，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該重視綜合與實(shí)踐活動(dòng)課題的教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作學(xué)習(xí)，將數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想、方法、技能內(nèi)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

[1]仲秀英.學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵探究[J].課程·教材·教法，2010（10）：52-56.

[2]傅海倫.數(shù)學(xué)新課程教學(xué)論[M].山東：山東教育出版社，2014.