劉俊

【摘要】復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是高中階段的數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，也是高考命題中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，它不僅涉及了基本函數(shù)的知識(shí)內(nèi)容，而且包含了豐富的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.本文先對(duì)復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)要概述，然后對(duì)復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的典型例題進(jìn)行了剖析.

【關(guān)鍵詞】復(fù)合函數(shù);零點(diǎn)問(wèn)題;求解參數(shù)

一、復(fù)合函數(shù)與零點(diǎn)問(wèn)題

復(fù)合函數(shù)的形式是y=f[φ（x）]，其中μ=φ（x）是內(nèi)層函數(shù)，y=f（μ）是外層函數(shù).設(shè)μ=φ（x）的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，y=f（μ）的定義域?yàn)镃，值域?yàn)镸，那么就有BC，且y∈M.這時(shí)，定義域A內(nèi)的每一個(gè)自變量x，通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系φ，都能在B中得到一個(gè)唯一確定的與之對(duì)應(yīng)的μ;再通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，就能在M中得到一個(gè)唯一確定的與之對(duì)應(yīng)的y，這就確定了從A到M的一個(gè)復(fù)合關(guān)系，也就是從A到M的復(fù)合函數(shù).

本文研究的復(fù)合函數(shù)與零點(diǎn)的問(wèn)題，不僅與函數(shù)有關(guān)，還交匯融合了方程、不等式等知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想，是一類復(fù)雜的問(wèn)題.因此，數(shù)學(xué)教師要尋找便捷的解題途徑，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難點(diǎn).以下筆者通過(guò)對(duì)典型例題的分析來(lái)探究一下復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中求零點(diǎn)個(gè)數(shù)和求參數(shù)的問(wèn)題.

二、復(fù)合函數(shù)求解零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

問(wèn)題“設(shè)當(dāng)0≤x≤π時(shí)，函數(shù)f（x）=2sinx;當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=x2，求函數(shù)y=f[f（x）]-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有幾個(gè).”就是一個(gè)典型的復(fù)合函數(shù)求零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，且這個(gè)復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)明顯是一個(gè)分段函數(shù).由于內(nèi)層的函數(shù)已經(jīng)確定，那么自然可以把內(nèi)層函數(shù)值設(shè)為t=f（x），這樣一來(lái)，就是去求函數(shù)y=f（t）-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)了.由于y=f（t）仍然滿足分段函數(shù)的形式，其對(duì)應(yīng)關(guān)系是確定的，因此，我們還可以利用轉(zhuǎn)化思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求f（t）=1中x的解的個(gè)數(shù).在明確了思路之后，由于問(wèn)題涉及的變量較多，函數(shù)形式也比較復(fù)雜，因此，可以采用數(shù)形結(jié)合的思想方法，做出函數(shù)的圖像（圖1），

這樣去分析就會(huì)直觀容易許多.由于y=f（t）的函數(shù)關(guān)系式是已知的，因此，可以求出當(dāng)t的值取π6，5π6，-1時(shí)，都有f（t）=1，將t=π6，5π6，-1代入到t=f（x）的函數(shù)關(guān)系式當(dāng)中，結(jié)合圖1，就可以看出能取到與t=π6對(duì)應(yīng)的x值有3個(gè)，與t=5π6對(duì)應(yīng)的x值有1個(gè)，與t=-1對(duì)應(yīng)的x值有0個(gè)，因此，函數(shù)的零點(diǎn)總共有4個(gè).

通過(guò)這道經(jīng)典的復(fù)合函數(shù)求零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，我們可以將這類問(wèn)題的解題思路進(jìn)行一個(gè)總結(jié)：① 將內(nèi)層函數(shù)進(jìn)行換元;② 將零點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f（t）與y=a（a為常數(shù)）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題;③ 解出t值;④ 數(shù)形結(jié)合通過(guò)t值找到x的解的個(gè)數(shù).

三、復(fù)合函數(shù)已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)問(wèn)題

在復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題中，已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)去求解參數(shù)也是常見(jiàn)的一類問(wèn)題.求參數(shù)問(wèn)題一直是學(xué)生覺(jué)得困難的一類問(wèn)題，在結(jié)合復(fù)合函數(shù)問(wèn)題之后，教師更要重視引導(dǎo)學(xué)生去理清思路，多滲透數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生有效地掌握解題方法.

例如，問(wèn)題“設(shè)當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f（x）=|lnx|+2;當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=3-x2.函數(shù)y=f[f（x）]-a有5個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.”就是一道典型的已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的問(wèn)題.如果學(xué)生認(rèn)識(shí)到求零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的本質(zhì)，那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩類問(wèn)題其實(shí)有異曲同工之妙.我們來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題，同樣也需要將內(nèi)層函數(shù)設(shè)為t=f（x），并將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)y=f（t）與y=a（a為常數(shù)）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)”或是“求滿足f（t）=a的x的個(gè)數(shù)”，并要結(jié)合函數(shù)圖像（圖2）去分析.

從圖2中可以看出，當(dāng)a<2時(shí)，f（t）=a只有一個(gè)解與之對(duì)應(yīng)，且這個(gè)解要滿足t<-1，此時(shí)f（x）=t只有一個(gè)解，是不滿足條件的.當(dāng)a=2時(shí)，f（t）=a有兩個(gè)解與之對(duì)應(yīng)，能看出此時(shí)t的值可以取-1和1，f（x）=t就有2個(gè)解.當(dāng)24時(shí)，f（t）=a有2個(gè)解，從圖像上看，其中一個(gè)的取值在0，1e之間，另一個(gè)在（e，+∞）之間，前者對(duì)應(yīng)的x有1個(gè)，后者對(duì)應(yīng)的x有2個(gè)或者3個(gè)，最終使得原函數(shù)只有3個(gè)或4個(gè)解，因此，是不滿足條件的.

以上就是對(duì)復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的概述與兩類經(jīng)典問(wèn)題的分析，我們可以看到，這些問(wèn)題需要較高的邏輯思維能力，因此，教師必須重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，讓學(xué)生在有效的練習(xí)中提升求解復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳新建.高三微專題復(fù)習(xí)課的實(shí)踐與思考——以復(fù)合函數(shù)y=f（u（x））的零點(diǎn)問(wèn)題的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（5）：43-45.

[2]汪正文.例談復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的求解策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2017（1）：45-48.