摘要：有過(guò)程的歸納教學(xué)是基于理念、追求事實(shí)，是發(fā)現(xiàn)知識(shí)的教學(xué)，本文以《三角形的內(nèi)角和》一課為例，說(shuō)明歸納是基于聯(lián)想的思維形式，讓學(xué)生進(jìn)行有知識(shí)根據(jù)的合乎情理的想象;歸納推理的思維過(guò)程是動(dòng)態(tài)的，促進(jìn)學(xué)生經(jīng)歷多種思維沉思的過(guò)程，從而歸納概括出一般結(jié)論;歸納推理的思維基礎(chǔ)是類，通過(guò)類來(lái)促進(jìn)學(xué)生形成由個(gè)別到一般的不完全歸納思維。

關(guān)鍵詞：歸納教學(xué);三角形;教學(xué)實(shí)踐

doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2020.03.005

中圖分類號(hào)： G632???????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???????????????????????????????? 文章編號(hào)：1671—1580（2020）03—0028—04

三角形一直與人類文化現(xiàn)象密切相關(guān)，如金字塔、半坡人面魚(yú)紋彩陶、鼎，其中都不乏三角形的基本結(jié)構(gòu)。人體中存在著不同結(jié)構(gòu)的三角形區(qū)域。因此，研究三角形的性質(zhì)非常有價(jià)值。三角形是由邊和角兩部分組成，本文旨在研究三角形角的特點(diǎn)。

一、有過(guò)程歸納教學(xué)的價(jià)值分析

于偉校長(zhǎng)提出“有過(guò)程的歸納教學(xué)”是強(qiáng)調(diào)學(xué)生通過(guò)不斷經(jīng)歷合情合理的推測(cè)、探究、體驗(yàn)等操作，不斷經(jīng)歷知識(shí)原初產(chǎn)生的過(guò)程、經(jīng)歷多種形式對(duì)話的過(guò)程、經(jīng)歷多種思維沉思的過(guò)程，從而歸納概括出一般結(jié)論的教學(xué)。因此有過(guò)程地歸納教學(xué)是基于理念、追求事實(shí)，是發(fā)現(xiàn)知識(shí)的教學(xué)，從而培養(yǎng)學(xué)生更為“自然”的思維模式。

（一）內(nèi)容分析。課標(biāo)中涉及到三角形的學(xué)習(xí)有兩個(gè)“核心詞”。第一個(gè)是“空間觀念”，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生充分觀察、動(dòng)手操作，并借助想象進(jìn)一步發(fā)展“空間觀念”。因此，中年級(jí)學(xué)生在進(jìn)行圖形與幾何領(lǐng)域的學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)更多從動(dòng)手操作中積累認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，豐富認(rèn)知表象，為后繼分析圖形性質(zhì)提供感性支撐和直觀論據(jù)。第二個(gè)是“推理能力”，即合情推理與演繹推理。本課滲透的是合情推理中的歸納推理。通過(guò)“量”“轉(zhuǎn)”“折”等具體操作探索思路，合情推理用于發(fā)現(xiàn)結(jié)論，進(jìn)而再通過(guò)演繹推理用于證明結(jié)論。 兩種推理的有機(jī)結(jié)合才是完善的推理過(guò)程。

（二）價(jià)值分析。動(dòng)手操作可以為學(xué)生發(fā)現(xiàn)和確定問(wèn)題的研究方向，但由于操作本身誤差的存在，跳出了簡(jiǎn)單的直觀感知層面，避開(kāi)了“誤差尷尬”，凸顯出演繹推理的必要性，讓數(shù)學(xué)充滿理性色彩。學(xué)生就這樣通過(guò)不斷經(jīng)歷合情合理的推測(cè)，不斷經(jīng)歷知識(shí)原初產(chǎn)生的過(guò)程、經(jīng)歷多種形式對(duì)話的過(guò)程、經(jīng)歷多種思維沉思的過(guò)程，從而歸納概括出一般結(jié)論。因此有過(guò)程的歸納教學(xué)對(duì)《三角形的內(nèi)角和》的教學(xué)具有重要的價(jià)值，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生更為自然的思維模式。

二、學(xué)情調(diào)研與教材分析

（一）學(xué)情調(diào)研與分析。在有過(guò)程的歸納教學(xué)中，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)要了解兒童在上課之前持有怎樣的生活概念， 有過(guò)程歸納教學(xué)的就要以兒童這些零散的生活概念為根基， 在此基礎(chǔ)上用有趣的、新穎的、富有挑戰(zhàn)性的任務(wù)來(lái)引導(dǎo)孩子系統(tǒng)深刻地再經(jīng)歷知識(shí)得出和形成的過(guò)程，使兒童低級(jí)的生活概念發(fā)展為高級(jí)的科學(xué)概念。

1. 從學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，確定新知的生長(zhǎng)點(diǎn)。課前通過(guò)調(diào)查的方式提出問(wèn)題： “你對(duì)三角形角的特點(diǎn)有哪些了解？ ”結(jié)果發(fā)現(xiàn)，雖然大部分學(xué)生從各種途徑知道了三角形的內(nèi)角和是180度這個(gè)結(jié)論，但學(xué)生不知道為什么所有三角形的內(nèi)角和都是180度。 所以本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)自然就是要讓學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)結(jié)論的產(chǎn)生過(guò)程，而不是結(jié)論本身。 同時(shí)，我們還要讓學(xué)生思考這樣一個(gè)問(wèn)題，是不是所有的結(jié)論都不需要質(zhì)疑？

2. 緊扣兒童的心理特點(diǎn)，確定新知的學(xué)習(xí)方式。四年級(jí)學(xué)生的心理特點(diǎn)是好奇，傾向于直觀。 動(dòng)手操作是這個(gè)階段學(xué)生自己能想到且最直接的驗(yàn)證方法，直觀且易操作。 學(xué)生在研究角的度數(shù)問(wèn)題時(shí)，自然想到用量角器量，量一量順應(yīng)了學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)。雖然量角這個(gè)操作可以為我們的探究指明方向， 但因?yàn)椴僮饔姓`差，學(xué)生自然會(huì)思考： 得到結(jié)論的方法本身是否嚴(yán)謹(jǐn)？ 為引出更科學(xué)、更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿?yàn)證方法提供鋪墊。因此，更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理的學(xué)習(xí)方式也應(yīng)該是該課的重點(diǎn)之一。

（二）不同版本教材對(duì)比與分析。對(duì)比國(guó)內(nèi)現(xiàn)行幾個(gè)版本教材，筆者發(fā)現(xiàn)其中人教版、北師版、青島版和蘇教版這四個(gè)版本教材對(duì)于該內(nèi)容的引出方式都是大致相似的，都是通過(guò)動(dòng)手操作，即用畫(huà)、量、算等符合兒童認(rèn)知特點(diǎn)的方法進(jìn)行引入，經(jīng)歷對(duì)不同種類三角形的三個(gè)內(nèi)角測(cè)量、計(jì)算的過(guò)程，讓學(xué)生初步感悟結(jié)論。教材的這種編排尊重學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)的同時(shí)，遵循了圖形認(rèn)識(shí)的內(nèi)在規(guī)律。不同的是蘇教版測(cè)量的是學(xué)生手邊比較熟悉的兩個(gè)三角板。青島版版本教材既強(qiáng)調(diào)了操作證明的實(shí)際意義，同時(shí)也通過(guò)折一折的活動(dòng)滲透了平行公理。

浙教版教材的引入方式最為與眾不同，其他版本教材都是從測(cè)量入手，只不過(guò)有的量的是自己制作的三角形，有的量的是現(xiàn)成的三角板。而浙教版教材有著探究學(xué)習(xí)的意味，它是從變化的三角形入手，讓學(xué)生猜測(cè)變化的三角形背后隱藏著什么不變的東西，從而得到一個(gè)假設(shè)三角形內(nèi)角和是一個(gè)固定的讀數(shù)，是不變的東西。最后再通過(guò)驗(yàn)證并得到結(jié)論三角形的三個(gè)內(nèi)角和是180度。

通過(guò)以上分析，不難發(fā)現(xiàn)大多數(shù)教材都是從實(shí)踐操作入手探索三角形的內(nèi)角和，通過(guò)合情推理得到結(jié)論，但沒(méi)有—個(gè)版本的教材從演繹證明的角度來(lái)探索與研究三角形內(nèi)角和。

三、學(xué)習(xí)材料的選擇與任務(wù)設(shè)計(jì)

通過(guò)學(xué)情分析和不同版本教材的對(duì)比分析，我們確定利用合情推理和演繹推理相結(jié)合來(lái)進(jìn)行三角形內(nèi)角和的學(xué)習(xí)。

首先我們通過(guò)“量”“算”“折”等具體的操作層層推進(jìn)，讓學(xué)生深刻感受變化的三角形蘊(yùn)含著不變的東西，即三角形的內(nèi)角和是一個(gè)固定的度數(shù)。也就是基于有過(guò)程歸納，利用合情推理（實(shí)驗(yàn)操作）來(lái)探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

其次利用長(zhǎng)方形和正方形的內(nèi)角和來(lái)證明直角三角形的內(nèi)角和就是180度，最后把銳角三角形和鈍角三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形來(lái)證明，從而得出結(jié)論“任意三角形的內(nèi)角和都是180度”。當(dāng)然，由于最后銳角三角形和鈍角三角形的證明對(duì)于四年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)相對(duì)比較難，所以本節(jié)課的演繹推理重點(diǎn)證明“直角三角形內(nèi)角和是180度”的結(jié)論，關(guān)于銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)容作為拓展內(nèi)容來(lái)學(xué)習(xí)。

四、有過(guò)程歸納教學(xué)的展開(kāi)

（一）歸納是基于聯(lián)想的思維形式，讓學(xué)生進(jìn)行有知識(shí)根據(jù)的合乎情理的想象。讓學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)想是讓學(xué)生知道并學(xué)會(huì)歸納最基本的思維方法。這種在有知識(shí)基礎(chǔ)的和有知識(shí)根據(jù)的合乎情理基礎(chǔ)上的設(shè)想，使學(xué)生能借助已知產(chǎn)生“正遷移”引發(fā)聯(lián)想，為推理提供良好的學(xué)習(xí)氛圍。借助直觀圖形“變化的三角形”，引發(fā)猜想三角形的內(nèi)角和是否是一個(gè)確定的度數(shù)，如果是一個(gè)確定的度數(shù)可能是多少，激發(fā)了學(xué)生驗(yàn)證的興趣，為接下來(lái)合情推理做了鋪墊。

師：上節(jié)課我們根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)把所有的三角形都進(jìn)行了分類，（出示大屏幕）這節(jié)課我們要來(lái)細(xì)致地研究三角形（板書(shū)：三角形），你覺(jué)得可以研究它的什么？（角）

師：老師這里有一個(gè)可以變化的三角形，請(qǐng)你仔細(xì)觀察在三角形變化的過(guò)程中，它的三個(gè)角有什么變化？（有的角在變大，有的角在變?。┻@能說(shuō)明什么？

生：三角形的內(nèi)角和是180度。

師：用眼睛就能看出是180度？那我們能確定什么？

生：內(nèi)角和是一個(gè)固定的度數(shù)，

師：看來(lái)內(nèi)角和可能真是固定的，剛才有同學(xué)說(shuō)是多少來(lái)著？（板書(shū)：180度）有沒(méi)有什么問(wèn)題要問(wèn)他？（教師用剪刀剪一個(gè)小三角形）這個(gè)大的和這個(gè)小的也一樣？（板書(shū)：大小不同）那這兩個(gè)形狀不同的呢？（板書(shū)：形狀不同）

師：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要嚴(yán)謹(jǐn)，要有理有據(jù)，到底是不是你們說(shuō)的180度，得怎么辦？

（二）歸納推理的思維過(guò)程是動(dòng)態(tài)的，促進(jìn)學(xué)生經(jīng)歷多種思維沉思的過(guò)程，從而歸納概括出一般結(jié)論。歸納推理的思維過(guò)程是動(dòng)態(tài)的，既有直觀的實(shí)驗(yàn)感知，又有理性的數(shù)學(xué)思考。分析、比較是歸納的基本思維形式。動(dòng)手操作一定要與分析、比較等思維活動(dòng)結(jié)合起來(lái)，跳出簡(jiǎn)單的直觀感知層面，涉及邏輯推理論證層面。通過(guò)不斷經(jīng)歷合情合理的推測(cè)，經(jīng)歷形象與抽象等多種思維沉思的過(guò)程，從而歸納概括出一般結(jié)論。

師：先看學(xué)習(xí)要求。想一想你要用什么方法得到三角形的內(nèi)角和？想好了嗎？有沒(méi)有想用量角器測(cè)量的舉手，老師對(duì)你們有一個(gè)要求，三個(gè)角的數(shù)據(jù)必須是實(shí)際量出來(lái)的，只要量完就不許再改了，把你量完的數(shù)據(jù)直接用水彩筆寫(xiě)在每個(gè)角的旁邊。如果你用的是其他方法，把你的作品貼在學(xué)習(xí)卡1上。

師：我看到同學(xué)們都得到了自己手里三角形的內(nèi)角和，接下來(lái)我們來(lái)分享自己的方法，因?yàn)槊總€(gè)同學(xué)手里的三角形不一樣，用的方法也可能不一樣，所以傾聽(tīng)的時(shí)候不懂就問(wèn)，有疑問(wèn)就質(zhì)疑補(bǔ)充，交流結(jié)束之后完善自己的方法，一會(huì)帶著自己的作品以個(gè)人的形式進(jìn)行匯報(bào)。

學(xué)生匯報(bào)不同方法。

1.量。師：他量的銳角三角形，誰(shuí)量的不是這樣的三角形？還有量的不是黑板上這兩種的嗎？老師調(diào)查一下，選擇測(cè)量方法的同學(xué)，你們量完之后發(fā)現(xiàn)問(wèn)題了嗎？為什么會(huì)這樣呢？如果給你的三角形非常標(biāo)準(zhǔn)，你能保證逐個(gè)量完加在一起就一定是180度嗎？為什么不能？因?yàn)闇y(cè)量有誤差。

師：通過(guò)測(cè)量我們能確定什么？（板書(shū)： 180度左右）誰(shuí)還有不同方法？

2.拼

（1）撕拼。師：明明是三個(gè)內(nèi)角到這里，轉(zhuǎn)化成一個(gè)角了。（板書(shū)：轉(zhuǎn)化）看起來(lái)和平角很接近，那是不是一定是平角呢？平角有什么特點(diǎn)？看來(lái)只要是操作就一定有誤差。現(xiàn)在我們可以進(jìn)一步確定三角形的內(nèi)角和確實(shí)和180度很接近。（板書(shū)：接近180度）

（2）折拼。師：這個(gè)方法和前面的哪個(gè)方法是一回事？折的時(shí)候需要有一定的技巧和要求。

（3）多個(gè)三角形拼。師：老師這里也有個(gè)拼的方法，猜猜是誰(shuí)的方法？古代有位數(shù)學(xué)家泰勒斯，他受到拼圖方法的啟發(fā)，把六個(gè)完全一樣的三角形拼在了一起，從而得到了三角形的內(nèi)角和。有看懂的嗎？

生：這里有兩個(gè)角1，兩個(gè)角2，兩個(gè)3。三角形內(nèi)角和也就是360÷2=180度。

師：但是在拼的過(guò)程中三角形和三角形之間是有縫隙的，因此泰勒斯也無(wú)法確定三角形的內(nèi)角和就一定是180度，但他為后來(lái)數(shù)學(xué)家的研究指明了方向，三角形的內(nèi)角和很可能就是180度。

3.證明。師：同樣我們剛才的研究也為接下來(lái)的學(xué)習(xí)指明了方向，就著這個(gè)方向，接下來(lái)我們來(lái)思考，能不能借助哪種我們已經(jīng)知道內(nèi)角和的圖形來(lái)證明三角形的內(nèi)角和就是180度呢？

（1）直角三角形。師：這里有個(gè)提示，可以在學(xué)習(xí)卡畫(huà)一畫(huà)，老師給每個(gè)小組準(zhǔn)備了一個(gè)信封，里面有直角三角形，可以拿出兩個(gè)完全相同的直角三角形先標(biāo)上角再擺一擺。

生獨(dú)立學(xué)習(xí)并匯報(bào)。

師：有疑問(wèn)嗎？那這兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角一共是6個(gè)內(nèi)角，這6個(gè)內(nèi)角跟長(zhǎng)方形的4個(gè)內(nèi)角有什么關(guān)系？怎么能確定其中一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和就是長(zhǎng)方形一半的呢？

師：我們根據(jù)長(zhǎng)方形的內(nèi)角和推理計(jì)算出任意直角三角形的內(nèi)角和。（板書(shū)：計(jì)算推理）這個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180度，其他直角三角形呢？

（2）銳角、鈍角三角形。師：銳角三角形、鈍角三角形怎么說(shuō)明它們的內(nèi)角和？能不能借助已經(jīng)知道的直角三角形的內(nèi)角和來(lái)推算出來(lái)呢？同桌兩人研究一種圖形，另外兩個(gè)同學(xué)研究另一種。

師：老師看很多同學(xué)遇到了困難，可以抬頭看看大屏幕上老師給的提示。誰(shuí)看懂了？

生：銳角三角形通過(guò)作高，其實(shí)可以看成兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和減去合并在一起的兩個(gè)直角，所以銳角三角形的內(nèi)角和是180度。鈍角三角形也是一樣的道理。

師：我們也證明出了銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和。現(xiàn)在可以得到什么結(jié)論？

生：我們研究三角形的內(nèi)角和都是180度。

（三）歸納推理的思維基礎(chǔ)是類，通過(guò)類來(lái)促進(jìn)學(xué)生形成由個(gè)別到一般的不完全歸納思維。由于完全歸納推理具有局限性和不可實(shí)現(xiàn)性，尤其是需要?dú)w納推理的數(shù)量過(guò)于龐大，如果遵循完全歸納推理原則，就需要調(diào)查所有的三角形，這是一種不實(shí)際的推理原則。不完全歸納是相對(duì)完全歸納而言，不完全歸納推理是統(tǒng)計(jì)推理歸納中比較常用的一種方法，在集合中有每個(gè)類中具有代表性的元素，從而歸納概括出一般結(jié)論的同時(shí)，形成由個(gè)別到一般的歸納思維。

師：說(shuō)說(shuō)我們到目前為止得到的研究結(jié)論吧。不對(duì)呀，我們才研究不到40個(gè)吧，怎么能直接說(shuō)三角形都是這樣呢？需不需要把世界上所有的三角形都拿來(lái)一一研究呢？

生：把這三類三角形分別研究一些，就可以代表所有三角形了。

師：我們由30多個(gè)個(gè)別的三角形來(lái)推出一般的所有三角形的內(nèi)角和很可能就是180度，這個(gè)過(guò)程在數(shù)學(xué)上被稱為歸納推理，這是我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的方法。（板書(shū)：歸納推理）

[參考文獻(xiàn)]

[1]于偉.教育哲學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2015.

[2]于偉.與兒童的對(duì)話：兒童哲學(xué)研究的田野筆記[M].長(zhǎng)春：長(zhǎng)春出版社，2017.

[3]于偉等著.率性教育的理論與實(shí)踐探索[M].北京：教育科學(xué)出版社，2018.

[4]皮亞杰.尚新建等，譯.生物學(xué)與認(rèn)識(shí)[M].北京：生活·讀書(shū)·新知三聯(lián)書(shū)店，1992.

[5]史寧中.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的若干思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（05）.

[6]于偉.“率性教育”：建構(gòu)與探索[J].教育研究，2017（05）.

Promote Students Thinking Development based on Process Induction

——Taking the Sum of the Inner Angles of a Triangle as an Example

SUN?? Yanjun

（Primary school affiliated to Northeast norma I university， Changchun? Jilin 130000， China）

Abstract： A process of inductive teaching is based on the concept， the pursuit of truth， is to discover knowledgeteaching. This paper takes the sum of the inner angles of atriangleas an example to illustrate that induction is a thinking formbased on association， so that students can have reasonable imaginationbased on know ledge. The thinking process of inductive reasoning isdynamio， which promotes students to exper ience the process of thinkingmeditation， thus generalizes the general conclusion. The thinking basis ofinductive reasoning is class， which can promote students to formincomplete inductive thinking from individual to general.

Key words： process induction; teaching induction; triangle

[責(zé)任編輯：王 辰]

收稿日期：2020—01—05

作者簡(jiǎn)介：孫艷君（1984—），女，江蘇徐州人，東北師范大學(xué)附屬小學(xué)教師，小學(xué)高級(jí)教師，碩士。吉林省小學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師，2019年省培計(jì)劃省骨干培訓(xùn)班學(xué)員。研究方向：數(shù)學(xué)教育。