趙勁松

摘要：《圓的周長》一課教學(xué)的框架是讓學(xué)生經(jīng)歷一個由猜測到驗證的“再發(fā)現(xiàn)”過程。但是，要注意過于順暢的環(huán)節(jié)推進是否遮掩了學(xué)生可能萌生的問題，讓其涌動的思維成為靜默的暗流。深度學(xué)習(xí)，理應(yīng)從學(xué)生的提問開始。本節(jié)課的教學(xué)可以分為五個環(huán)節(jié)：對課題提問，確定方向，初步解決;對數(shù)據(jù)提問，直面困惑，大膽推測;對方法提問，基于困惑，走進歷史;對結(jié)論提問，質(zhì)疑批判，追根尋底;對全課提問，回顧總結(jié)，存疑拓展。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí) 學(xué)生提問 圓周率 《圓的周長》

聽過幾節(jié)《圓的周長》的課，教學(xué)框架基本相同：先出示兩（幾）個圓，請學(xué)生比較哪個圓的周長長一些，思考周長與什么有關(guān)，猜測周長是直徑的幾倍;進而引導(dǎo)學(xué)生通過實驗驗證，發(fā)現(xiàn)周長總是直徑的三倍多一點;在此基礎(chǔ)上給出定論，介紹圓周率及其歷史;最后，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)圓的周長公式并運用。

這個框架總體上沒有問題，讓學(xué)生經(jīng)歷了一個由猜測到驗證的“再發(fā)現(xiàn)”過程。然而，過于順暢的環(huán)節(jié)推進是否遮掩了學(xué)生可能萌生的問題，讓其涌動的思維成為靜默的暗流呢？比如：猜測周長是直徑的幾倍時，學(xué)生考慮的是特殊的、具體的圓，還是普遍的、抽象的圓？用“誤差”就可以消除學(xué)生對“倍數(shù)不相等”的疑惑了嗎？對于作為文化點綴的“割圓術(shù)”，學(xué)生的理解又是怎樣的“自以為然”？學(xué)生對“圓周率是一個無限不循環(huán)小數(shù)”有懷疑嗎？……

有人說，改變世界的不是答案，而是問題。我深以為然。深度學(xué)習(xí)，理應(yīng)從學(xué)生的提問開始。

一、教學(xué)實踐

（一）對課題提問，確定方向，初步解決

師（板書課題：圓的周長）看到這個課題，你想到了哪些問題？

生圓的周長怎么算？

生圓的周長怎么量？

生圓的周長與直徑、半徑有什么關(guān)系？

師（逐一板書學(xué)生的問題）下面我們就來研究這些問題。把你已經(jīng)有的想法在小組里說一說，同時聽一聽同伴的思考。

（學(xué)生小組交流。）

師請各小組匯報能夠解決的問題。

生用一根繩子圍著圓繞一周，再拉直，就可以量出圓的周長。

生還可以把圓放在尺子上滾一周，看滾了多遠，就是圓的周長。

師（分別用課件演示兩種方法）其實剛才兩種方法都做了一件事情，把圍成圓的曲線——

生拉直了。

師好，我們解決了怎么量的問題。還能解決什么問題？

生我們認為，圓的半徑或直徑越長，它的周長就越長。

師你們發(fā)現(xiàn)了周長和直徑、半徑有關(guān)系，具體是什么關(guān)系呢？

生我覺得，圓的周長比兩條直徑要長。上半部分是一條曲線，比直徑長;下半部分也是一條曲線，也比直徑長。

師真好，有理有據(jù)！比兩條直徑長，換句話說就是——

生圓的周長比直徑的兩倍要多。

師（出示一個直徑5厘米的圓）你認為這個圓的周長是直徑的幾倍？

生2倍多，大約2.5倍。

師（出示一個直徑40厘米的圓）這個圓呢？

生也是2.5倍。

師有不同想法嗎？

生我認為，兩個圓的周長都是直徑的3倍。

生我認為，兩個圓的周長都是直徑的5倍。

生我認為，應(yīng)該都是3倍多一點。

師盡管剛才幾位同學(xué)猜測的倍數(shù)不同，但是他們的猜測有一個共同的地方——

生兩個的倍數(shù)關(guān)系是一樣的。

師有不同想法嗎？

生我想說，你們的眼力怎么可能這么好，一眼就看出來是幾倍。我認為，倍數(shù)關(guān)系不可能完全一樣。

生一個圓的周長變大，直徑也會變大，所以我認為，倍數(shù)是一樣的。

師聽明白了，你們認為倍數(shù)相同，靠的不僅僅是眼睛的觀察，還有大腦的分析。兩位同學(xué)都很棒，請堅持自己的觀點。假如這個倍數(shù)是固定的，黑板上有一個問題就可以解決了——

生用直徑乘倍數(shù)就可以算出周長。

師如果是不一樣的，還能這樣計算嗎？

生不能。

師看來，這個倍數(shù)是不是固定的，很值得研究。怎么研究呢？

生量出幾個圓的周長和直徑，計算倍數(shù)，比一比，看看到底一樣不一樣。

（學(xué)生分組實驗，填寫表1。其中，兩個小組的圓相同，由教師提供;其他小組的圓自備。）

（二）對數(shù)據(jù)提問，直面困惑，大膽推測

生（一個小組匯報）……我們發(fā)現(xiàn)，倍數(shù)是不固定的。

師各小組的實驗結(jié)果都是這樣的嗎？有什么問題嗎？

生按理說應(yīng)該是一樣的啊，為什么結(jié)果卻是不一樣的？

生我知道這個倍數(shù)是3.14，但為什么我們通過做實驗得不到？

師是我們前面的“感覺”出問題了嗎？

生不是。盡管我們測量得到的倍數(shù)不一樣，但這是因為我們沒有專業(yè)的測量工具，所以測量是有誤差的。

生你怎么知道我們的測量有誤差呢？

生只要測量就會有誤差。

（兩位學(xué)生爭執(zhí)不下。）

師（出示持相同學(xué)具的兩個小組填寫的表格）兩個小組測量同樣的圓，結(jié)果卻不一樣，意味著什么？

生意味著有誤差。

師（出示持不同學(xué)具的兩個小組填寫的表格）盡管有誤差，但我們發(fā)現(xiàn)，這兩個大小差距這么大的圓，倍數(shù)卻也差不多。這又意味著什么呢？

生說明這個倍數(shù)可能是固定的。

生我不同意。有誤差，所以倍數(shù)不一樣，但也不能說明，沒有誤差，就一定一樣。你們只是在推測，我還是感覺倍數(shù)不完全一樣，除非你們用“真理”來推翻我。

生我國古代的數(shù)學(xué)家早就算出來這個倍數(shù)在3.1415926到3.1415927之間。

師“真理”來了，你服氣嗎？

生不服氣，這個數(shù)是怎么得來的??？

（三）對方法提問，基于困惑，走進歷史

師我們的祖先在很早的時候就發(fā)現(xiàn)，圓的周長與直徑有關(guān)。就和同學(xué)們一樣，通過測量得出了一個大約的結(jié)論：周三徑一。1700多年前，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)明了一種新的研究圓的周長的方法——割圓術(shù)。你有什么想問的嗎？

生割圓術(shù)是把圓分割成很多個扇形嗎？

生割完了要不要量？

師（課件演示將圓周平均分割成六份，連接六個點形成正六邊形）這個正六邊形很特殊，你看出它特殊在哪里了嗎？

生正六邊形的邊長和圓的半徑相等。

生正六邊形的周長是圓的直徑的3倍。

師正六邊形的周長和圓的周長比較呢？

生圓的周長比正六邊形的長，所以應(yīng)該是直徑的3倍多。

師（課件演示將圓周繼續(xù)分割，得到正十二邊形、正二十四邊形……）正多邊形的周長越來越怎么樣？

生接近圓的周長。

師劉徽正是用這種方法一直分割到正192邊形，求得了3.14這個數(shù)值。

生劉徽怎么能把圖形畫得那么標準呢？

生到了正192邊形的時候，圓周上能點下那么多點嗎？

師同學(xué)們問得很好！確實很難畫出。假設(shè)真的畫出了正192邊形，你認為接下來會怎么做？會用尺子來測量一條邊的長度再乘192嗎？

生不會，太麻煩了。

師僅僅是麻煩嗎？

生還因為只要測量，就會有誤差。

師所以，這樣看來，你們認為劉徽真的把正192邊形畫出來了嗎？

生可能沒有吧。但又是怎么得到3.14的呢？

師割圓術(shù)之所以能得到更精確的結(jié)果，是因為方法的改變。它是一種根據(jù)半徑來計算多邊形邊長的方法。具體如何算，你們要到中學(xué)才能理解。割圓術(shù)讓我們確定了圓的周長相對于直徑的倍數(shù)是一個固定的數(shù)，我們把這個數(shù)叫作——

生圓周率。

（四）對結(jié)論提問，質(zhì)疑批判，追根尋底

師又過了大約200年，數(shù)學(xué)家祖沖之進一步發(fā)展了割圓術(shù)，分割到了正24576邊形，把圓周率算到了小數(shù)點后七位，領(lǐng)先世界1000多年。當然，國外的數(shù)學(xué)家在這方面的研究成果同樣非常偉大，他們又發(fā)明了新的研究方法。到了近代，圓周率已經(jīng)算到了小數(shù)點后面很多很多位。（出示下頁圖1）你看到了什么？

生看到?jīng)]有規(guī)律的無限小數(shù)。

生就是無限不循環(huán)小數(shù)。

師他們看到了無限不循環(huán)小數(shù)。有向他們提問的嗎？

生如果繼續(xù)往后算，可能會到頭吧？會算到有限的吧？

生到后面可能會循環(huán)吧？因為省略號后面是未知的。

師我喜歡你們提出的問題！你們現(xiàn)在還堅信它是一個無限不循環(huán)小數(shù)嗎？

生不確定了。

師但是，現(xiàn)代的計算機已經(jīng)算到了小數(shù)點后數(shù)十萬億位，都沒發(fā)現(xiàn)循環(huán)。

生不管算到多少，后面只要還有，就有可能循環(huán)。

師我欣賞你的堅持！就像這樣算下去，能讓我們安心地認為它就是一個無限不循環(huán)小數(shù)嗎？

生永遠都不能。

師是的，除非用另一種方法來證明。200多年前，德國數(shù)學(xué)家蘭伯特就用數(shù)學(xué)的方法證明了它是一個無限不循環(huán)小數(shù)。對此，大家到高中會再接觸。

（教師引導(dǎo)學(xué)生歸納公式，解決問題。）

（五）對全課提問，回顧總結(jié)，存疑拓展

師今天我們研究的主角是——

生圓周率。

師關(guān)于它，你了解了什么？

生是周長相對于直徑的倍數(shù)。

生是一個固定的數(shù)。

生是一個無限不循環(huán)小數(shù)。

生用π表示。

生一般取近似值3.14。

師從“3”到“3.14”，再到“3.1415926”，最后到無窮無盡，在逐步走向精確、走向完美的過程中，又蘊含了多少古今數(shù)學(xué)家畢生的心血啊！在這節(jié)課中，老師特別欣賞你們的敢于提問、敢于質(zhì)疑，特別佩服那位讓大家用“真理”來說服她的同學(xué)！學(xué)到這兒，對于圓的周長，你還有什么問題呢？

生一個圓的周長到底能不能準確地得到？

生圓周率為什么一般取值3.14？能不能往后多保留幾位小數(shù)？

生為什么用“π”來表示圓周率？

師帶著問題，我們可以課后繼續(xù)研究。

二、教學(xué)反思

提出一個問題比解決一個問題更重要。因為我們知道，提出問題是對新知的渴求與探索，是對已知的質(zhì)疑與批判，往往意味著創(chuàng)造的開始。然而，事實上，我們卻很少讓學(xué)生自己提出問題，更多的是讓他們解決我們提出的問題。這背后，是立場的問題：教學(xué)應(yīng)該站在知識的立場，還是站在學(xué)生的立場？

圓周率是本課的中心內(nèi)容。作為一個內(nèi)涵無比豐富的概念，如何切入？如何研究？如何確認？這是一個由模糊到清晰的過程。在這個過程中，學(xué)生的思維會有怎樣的“暗流涌動”？得讓學(xué)生提出自己的問題。

實驗一直被看作認識圓周率的關(guān)鍵一環(huán)?？墒?，學(xué)生能通過實驗得到圓周率嗎？顯然不能。學(xué)生在實驗前通過觀察、推理，猜測周長與直徑的商是一個固定值，而實驗最終得到的比值必將不是一個固定值，教材的目標定位也只是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“三倍多一點”。若就此給出定論，學(xué)生會服氣嗎？課堂上，我印象最深的是一個女生。在圓的周長除以直徑的商是不是一個固定值的判斷上，她幾乎是孤身一人對抗整個班級。隨后的實驗數(shù)據(jù)支持了她的觀點，卻被“誤差”的說法推翻，但她堅持自己的懷疑態(tài)度：“有誤差，所以倍數(shù)不一樣，但也不能說明，沒有誤差，就一定一樣……除非你們用‘真理來推翻我。”我感動于她的堅持。這是對實驗方法的質(zhì)疑、對所得結(jié)論的質(zhì)疑，也是對“真理”的渴盼。教學(xué)中，我以兩組相同的學(xué)具得出的不同數(shù)據(jù)讓學(xué)生看到誤差的存在，再以兩個大小懸殊的圓所得的倍數(shù)相差不多讓學(xué)生感到倍數(shù)可能是一個固定的數(shù)。可喜的是，她依然不買賬，因為這還不是“真理”。學(xué)生思維的暗流正是通過提問得以攪動、洶涌，更精確的研究方法的出場也才成為迫切的需求。

圓周率的研究歷史不能只是文化點綴般的介紹。僅僅拋給學(xué)生一個“割圓術(shù)”的名稱、一個“無限接近圓”的遐想、一個“領(lǐng)先世界1000多年”的驕傲，都不能擊中學(xué)生的“痛點”，都不是學(xué)生想要的“真理”。割圓術(shù)的意義在于方法的革新。課堂上，學(xué)生不僅僅是聽眾，更是思維的參與者、問題的發(fā)現(xiàn)者、“歷史”的推動者。“是把圓分割成很多個扇形嗎？”“割完了要不要量？”“怎么能把圖形畫得那么標準呢？”“圓周上能點下那么多點嗎？”“又是怎么得到3.14的呢？”這些問題的提出彰顯著學(xué)生的好奇，也暴露出他們的錯誤理解。學(xué)生當然看不懂割圓術(shù)的算法，但是，最起碼得讓他們知道是怎樣割圓的，特別是割圓之后不是通過測量而是通過計算得出結(jié)果的，正是因為方法的本質(zhì)改變，所以才能得出固定的、精確的數(shù)值。

圓周率是一個無限不循環(huán)小數(shù)。想象一下，無窮無盡，永不重復(fù)，永遠不會被定論，永遠值得探索。對于學(xué)生來說，一定是十分神奇的。然而，教學(xué)中僅僅是讓學(xué)生發(fā)出一聲驚嘆嗎？驚嘆的背后難道就是輕信、盲從，而沒有一絲疑惑嗎？這是學(xué)生認識的第一個“純天然”的無理數(shù)。既然是無限不循環(huán)的，那我們是怎么知道它是無限的，又是怎么確定它是不循環(huán)的呢？很高興，課堂上學(xué)生發(fā)出了這樣的聲音。

五次讓學(xué)生提問，從課始的“是什么”“怎么做”這類最基礎(chǔ)的未知問題，明確方向，展開研究，到學(xué)習(xí)過程中對方法、結(jié)論的科學(xué)性大膽質(zhì)疑，敢于懷疑“是真的嗎”，敢于追問“為什么”，再到課尾提出新的問題，萌發(fā)新的思考，逐漸讓思維向深處漫溯，讓深度學(xué)習(xí)發(fā)生。

提出問題當然意味著可以更好地解決問題，但其本身就是主動學(xué)習(xí)的開始，是高階思維的體現(xiàn)，是值得我們?nèi)パ芯康母匾氖虑椤?/p>

*本文系安徽省教育科學(xué)研究項目“核心素養(yǎng)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)基于‘真問題教學(xué)的實踐研究”（編號：JK19103）的階段性研究成果。

參考文獻：

[1] 孫四周.還原祖沖之——我是如何在中學(xué)講割圓術(shù)的[J].教育研究與評論，2016（6）.

[2] 張景中.從2談起（典藏版）[M].北京：中國少年兒童出版社，2011.