莫云飛，周群益 ，侯兆陽(yáng)，周麗麗

(1.長(zhǎng)沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410022；2.廣東技術(shù)師范大學(xué)天河學(xué)院，廣東 廣州 510540；3.長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系，陜西 西安 710064；4.贛南醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000)

1 引言

多篇文獻(xiàn)討論了環(huán)電荷在全部空間的電場(chǎng)，用級(jí)數(shù)或者兩類(lèi)完全積分表示一般公式[1-6]，加深了人們對(duì)環(huán)電荷電場(chǎng)的理解.文獻(xiàn)[7]用數(shù)值積分求出環(huán)電荷平面上的電場(chǎng)分布，但只涉及到一元函數(shù)，因此相對(duì)比較簡(jiǎn)單.文獻(xiàn)[8]用MATLAB的數(shù)值積分法函數(shù)trapz計(jì)算了環(huán)電荷的電勢(shì)，畫(huà)出了二維等勢(shì)線(xiàn)；用isosurface指令畫(huà)出三維等值面；用梯度函數(shù)gradient計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度并提供了MATLAB程序，文獻(xiàn)[8]中的二維等勢(shì)線(xiàn)和三維等勢(shì)面雖然都很標(biāo)準(zhǔn)，但電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算存在較大誤差，也沒(méi)有畫(huà)出電場(chǎng)線(xiàn).

本文推導(dǎo)了直角坐標(biāo)系中環(huán)電荷的電勢(shì)積分公式，將電勢(shì)的積分公式無(wú)量綱化，采用數(shù)值積分計(jì)算環(huán)電荷的電勢(shì)，繪制曲面，并與解析式進(jìn)行比較；同時(shí)將梯度公式無(wú)量綱化，用數(shù)值梯度計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度的兩個(gè)分量，繪制兩個(gè)曲面，并與解析解進(jìn)行比較.最后給出三維等勢(shì)面和電場(chǎng)線(xiàn).

2 環(huán)電荷的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)

(1)電勢(shì).如圖1所示，設(shè)圓環(huán)的半徑為a，帶電量為Q> 0，將場(chǎng)點(diǎn)P取在Oxz平面上，電荷元到場(chǎng)點(diǎn)P的距離為

(1)

其中，φ是極角或方位角，θ是傾角，r是場(chǎng)點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離.距離R=R(r,θ,φ)是球坐標(biāo)系Orθφ中自變量的三元函數(shù).圓環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為

(2)

其中，dq= (Q/2π)dφ.Q/2π是電荷的角分布密度.電勢(shì)U=U(r,θ)是球坐標(biāo)系Orθφ中的自變量r和θ的二元函數(shù).

在平面Oxz中，r2=x2+z2.當(dāng)x> 0時(shí)，rsinθ=x；當(dāng)x< 0時(shí)，rsinθ= -x.故rsinθ= |x|.所以距離為

(3)

距離R=R(x,z,φ)是柱坐標(biāo)系Oxφz中的自變量x和z以及φ的三元函數(shù).由于被積函數(shù)是變量φ的偶函數(shù)，電勢(shì)為

(4)

電勢(shì)U=U(x,z)就變成直角坐標(biāo)系Oxyz中的自變量x和z的二元函數(shù).

設(shè)φ=π-2Φ，則dφ= -2dΦ，利用恒等式

cosφ= -cos2Φ= -(1 - 2sin2Φ)，

取模數(shù)

(5)

其中

(6)

RM是圓環(huán)到場(chǎng)點(diǎn)的最大距離.式(4)可化為

(7)

這是環(huán)電荷電勢(shì)的解析式，其中K(k)是第一類(lèi)完全橢圓積分

(8)

(2)電場(chǎng).環(huán)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度可以根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的定義推導(dǎo)，也可利用電勢(shì)梯度求得

E=-

(9)

各分量為

(10)

將式(4)代入上式，可得

(11a)

(11b)

(11c)

這是電場(chǎng)強(qiáng)度分量的積分公式.

如果將式(7)代入式(10)，利用第一類(lèi)完全橢圓積分導(dǎo)數(shù)的公式[9]

(12)

再利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得

(13a)

(13c)

這是電場(chǎng)強(qiáng)度的解析式，其中E(k)是第二類(lèi)完全橢圓積分

(14)

3 公式的無(wú)量綱化

(1)電勢(shì).取環(huán)半徑a為長(zhǎng)度單位，則無(wú)量綱的坐標(biāo)為

x*=x/a，z*=z/a，

(15)

無(wú)量綱的距離為

(16)

設(shè)U0=Q/4πε0a，U0就是環(huán)電荷在環(huán)心產(chǎn)生的電勢(shì).取U0為電勢(shì)單位，則電勢(shì)的積分公式為

(17)

電勢(shì)的解析解可以化為

(18)

其中

(19)

(20)

(2)電場(chǎng).設(shè)E0=Q/4πε0a2，E0是全部電荷集中在環(huán)心時(shí)在圓環(huán)處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小.顯然，E0=U0/a.采用無(wú)量綱的坐標(biāo)，取E0為場(chǎng)強(qiáng)的單位，用偏導(dǎo)數(shù)表示的無(wú)量綱的場(chǎng)強(qiáng)分量為

(21a)

(21b)

場(chǎng)強(qiáng)分量的無(wú)量綱積分式為

(22a)

(22b)

場(chǎng)強(qiáng)分量的無(wú)量綱解析式為

(23a)

(23b)

4 電場(chǎng)的可視化

(1)電勢(shì).應(yīng)用MATLAB的網(wǎng)格函數(shù)meshgird很容易形成關(guān)于x*，z*和φ的多頁(yè)矩陣，利用梯形法求和函數(shù)trapz求數(shù)值積分，用surf指令畫(huà)出數(shù)值積分的電勢(shì)曲面.用MATLAB的ellipke很容易求出兩類(lèi)完全橢圓積分，從而計(jì)算解析解的數(shù)值.在同一圖中畫(huà)出解析解的曲面，即可比較兩個(gè)公式的結(jié)果，見(jiàn)附錄1.如圖2 所示，環(huán)電荷的電勢(shì)是關(guān)于x和z的偶函數(shù)；電勢(shì)的解析解與數(shù)值積分的兩個(gè)曲面完全重合，說(shuō)明兩個(gè)公式都是正確的.

不過(guò)，數(shù)值積分需要較多的內(nèi)存和花費(fèi)較多的時(shí)間，因此，采用解析解比較好.當(dāng)定積分沒(méi)有解析解的時(shí)候，采用數(shù)值解是一種很好的方法.數(shù)值解還能檢驗(yàn)解析解的正確性.

(2)電場(chǎng).利用MATLAB的gradient函數(shù)很容易求出數(shù)值梯度.如圖3所示，環(huán)電荷場(chǎng)強(qiáng)x分量是關(guān)于x的奇函數(shù)，關(guān)于z的偶函數(shù)；解析解與電勢(shì)數(shù)值偏導(dǎo)數(shù)負(fù)值的兩個(gè)曲面基本重合；如圖4所示，z分量是關(guān)于x的偶函數(shù)，關(guān)于z的奇函數(shù)；解析解與數(shù)值導(dǎo)數(shù)負(fù)值的兩個(gè)曲面也基本重合.說(shuō)明兩種方法都是正確的.誤差是數(shù)值梯度的計(jì)算產(chǎn)生的，減少數(shù)據(jù)間隔，可以減小誤差.如果用數(shù)值積分法，所繪制場(chǎng)強(qiáng)的兩個(gè)曲面分別與解析式的兩個(gè)曲面完全重合(圖略).

當(dāng)導(dǎo)數(shù)很難求的時(shí)候，用數(shù)值導(dǎo)數(shù)和梯度是一種簡(jiǎn)單方法.數(shù)值導(dǎo)數(shù)和梯度也能檢驗(yàn)導(dǎo)數(shù)和梯度解析式的正確性.

(3)等勢(shì)線(xiàn)和電場(chǎng)線(xiàn).MATLAB的指令isosurface可以畫(huà)等勢(shì)面，其特點(diǎn)是簡(jiǎn)單，但是曲面的顏色比較單調(diào)，區(qū)分度較小.MATLAB的指令contour可以畫(huà)出二維等勢(shì)線(xiàn)，而流線(xiàn)指令streamline可以畫(huà)出二維和三維電場(chǎng)線(xiàn)[10]，如圖5所示，在Oxz平面上等勢(shì)線(xiàn)和電場(chǎng)線(xiàn)是二維等勢(shì)線(xiàn)和電場(chǎng)線(xiàn)；當(dāng)?shù)葎?shì)線(xiàn)繞z軸旋轉(zhuǎn)后(這里只旋轉(zhuǎn)半周)，就形成三維等勢(shì)面，當(dāng)電場(chǎng)線(xiàn)的起點(diǎn)選在環(huán)的其他點(diǎn)時(shí)，就形成三維電場(chǎng)線(xiàn).所有電場(chǎng)線(xiàn)都與等勢(shì)面完全垂直.

5 結(jié)束語(yǔ)

在直角坐標(biāo)系中建立環(huán)電荷的積分公式，便可以形成解析式，并能夠計(jì)算場(chǎng)強(qiáng).只要取好單位，物理學(xué)的大部分公式都能夠無(wú)量綱化.二元函數(shù)的數(shù)值積分和數(shù)值梯度在許多方面都有著重要應(yīng)用，與解析解相互檢驗(yàn)，大大提高了結(jié)果可靠性.應(yīng)用好MATLAB的作圖指令，可以畫(huà)出理想的圖形.掌握編程方法，不論對(duì)于教學(xué)還是科研都大有裨益.