劉亞萍

摘要：初中幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題更多的考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)圖形的分析能力，老師在教學(xué)的過(guò)程中不能以教學(xué)生會(huì)解題為目的，要更加注重對(duì)學(xué)生分析圖形能力的培養(yǎng)，在幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題中運(yùn)用輔助線的方法就是一種分析結(jié)合問(wèn)題的過(guò)程，巧妙的建立一條正確的輔助線能夠讓幾何問(wèn)題的難度大大降低，幫助學(xué)生理清做題的邏輯思維，使初中幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題更容易的解決。本文從輔助線添加原則、輔助線在主要題型中的應(yīng)用對(duì)其解題技巧進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);幾何;輔助線

一、 引言

初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題在教學(xué)中占據(jù)著十分重要的地位，但是許多學(xué)生對(duì)幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題常抱著逃避心理，認(rèn)為初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題很難，一面對(duì)初中幾何問(wèn)題就會(huì)下意識(shí)地產(chǎn)生抵觸心理。其實(shí)幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題只是一只紙老虎，解決這類數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵就在于能否畫出正確的輔助線，構(gòu)建相應(yīng)的輔助圖形，找到問(wèn)題的突破口，一旦對(duì)圖形作出正確的輔助線便很容易將幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題解決。

二、 輔助線的添加原則和注意事項(xiàng)

為幾何圖形添加輔助線的方法有成百上千種，但能夠產(chǎn)生作用的輔助線只有幾條，在初中數(shù)學(xué)幾何圖形中對(duì)輔助線的作圖與運(yùn)用也有一定技巧，學(xué)生需要通過(guò)加強(qiáng)對(duì)集合數(shù)學(xué)問(wèn)題的訓(xùn)練，不斷加強(qiáng)對(duì)解決幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題的規(guī)律、方法和技巧的掌握。

（一）分析題目隱含條件信息

在解答初中幾何數(shù)學(xué)題目的過(guò)程中，幾乎每道題目中都蘊(yùn)含著隱含條件，并且，這樣的隱含條件也將成為順利解題的關(guān)鍵。在初中幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題中所給出的數(shù)學(xué)條件與需證明的結(jié)論之間的邏輯關(guān)系往往不會(huì)很明確，一般需要通過(guò)添加輔助線的方式來(lái)構(gòu)建鏈接條件與結(jié)論之間的“橋梁”，為幾何圖形問(wèn)題提供解題思路。做輔助線不能像無(wú)頭蒼蠅一般想怎樣就怎樣做圖，如何做出更有價(jià)值的輔助線要依靠學(xué)生對(duì)題目的分析理解能力，老師在教學(xué)過(guò)程中要不斷培養(yǎng)學(xué)生對(duì)題目隱含信息的敏感度。如題：“如圖所示，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。”在這道題中，題目所給條件沒(méi)有一個(gè)是關(guān)于邊的信息，如何構(gòu)建輔助線將角關(guān)系轉(zhuǎn)化成邊關(guān)系，關(guān)鍵在于分析幾何問(wèn)題題目，找到隱含信息。利用題中角平分線信息通過(guò)構(gòu)造全等三角形的方法找到BC與AB、CD的關(guān)系，在線段上找到一點(diǎn)E，使BF=AB，只需證明CF=DC即可，即證明△ECF≌△ECD，由于AB∥CD，則∠A+∠D=180°，∠A=∠BFE，∠BFE+∠EFC=180°，因此∠D=∠EFC，即可證明CF=DC。

（二）充分發(fā)揮特殊點(diǎn)、線的作用

在初中幾何數(shù)學(xué)題中的特殊點(diǎn)及線的位置往往是解決幾何問(wèn)題的突破口，在解題時(shí)學(xué)生要注意對(duì)線段中點(diǎn)、角的平分線、三角形的中線以及高等的把握，對(duì)特殊點(diǎn)和線段的性質(zhì)要熟練掌握與運(yùn)用。在解決幾何問(wèn)題時(shí)先從特殊點(diǎn)位置對(duì)圖形刻畫輔助線入手，不僅有利于學(xué)生面對(duì)復(fù)雜圖形問(wèn)題能建立起邏輯關(guān)系，進(jìn)行條理化分析，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的，通過(guò)這樣的解題方式能夠有效的解決以往學(xué)生在解答習(xí)題時(shí)解題難、沒(méi)有解題思路的問(wèn)題，進(jìn)一步減少學(xué)生對(duì)初中幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題的畏難心理，同時(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題、總結(jié)規(guī)律的能力，有利于加深學(xué)生對(duì)初中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí)。

三、 輔助線在初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題中的應(yīng)用分析

輔助線在初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題中按類型可以劃分為延長(zhǎng)型、平移型、分隔型輔助線等，在不同類型的幾何問(wèn)題中輔助線的運(yùn)用也大不相同，本文針對(duì)如何在三角形、四邊形以及圓形幾何問(wèn)題中運(yùn)用輔助線進(jìn)行了分析。

（一）輔助線在三角形中的運(yùn)用

通過(guò)近幾年對(duì)初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題的教學(xué)，筆者總結(jié)出了一些針對(duì)三角幾何問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)：第一點(diǎn)，當(dāng)題目中提供角平分線的信息時(shí)，可以向角平分線的兩邊做垂線，找到全等或相似三角形，讓題目的隱含條件和信息顯示出來(lái)。第二點(diǎn)，當(dāng)題目中所給信息為一個(gè)角平分線和一條平行線時(shí)，可以得到兩個(gè)全等的等腰三角形，此時(shí)對(duì)角平分線做垂線、輔助線或?qū)Φ妊切巫鋈€合一的輔助線往往能找到問(wèn)題的突破口。第三點(diǎn)，當(dāng)三角形中出現(xiàn)線段垂直平分線時(shí)，可以嘗試將線段兩端相連找到角與線段的關(guān)系，當(dāng)題目讓求證一條線段長(zhǎng)度等于另外兩條線段長(zhǎng)度之和時(shí)，可以采用延長(zhǎng)或縮短線段長(zhǎng)度的辦法。第四點(diǎn)，當(dāng)題目要求證線段和差不相等的問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們可以朝著在三角形中兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊的方向進(jìn)行思考和論證，并盡量將三個(gè)線段放進(jìn)一個(gè)三角形中進(jìn)行論證。比如，以第四點(diǎn)為例進(jìn)行分析，“如圖所示，已知：D、E為三角形ABC的兩個(gè)內(nèi)點(diǎn)，求證：AB+AC>BD+DE+CE”通過(guò)閱讀題目可以發(fā)現(xiàn)，該題屬于求證三角形線段和差不相等類問(wèn)題，因此我們可以作輔助線連接DC，使四邊形BDEC轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形BDC和三角形DEC，通過(guò)定理：在三角形中兩邊之和小于第三邊，可以得到隱含信息：DE+ECBD+DE+CE得證。

（二）輔助線在四邊形中的應(yīng)用

對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中出現(xiàn)的任何問(wèn)題我們都可以找到或創(chuàng)造出對(duì)應(yīng)的解題模型，對(duì)于初中數(shù)學(xué)平行四邊形幾何問(wèn)題的解決也是如此，用心解題就能總結(jié)出相應(yīng)的解題方法和技巧：第一點(diǎn)，當(dāng)題目中出現(xiàn)平行四邊形時(shí)，可以從找到平行四邊形旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心入手解決問(wèn)題，其旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心就是平行四邊形的對(duì)角線等分點(diǎn)，方便找到隱含的線段相等信息。第二點(diǎn)，當(dāng)題目中出現(xiàn)梯形幾何問(wèn)題時(shí)，要注重對(duì)圖形轉(zhuǎn)換技巧的把握，可以通過(guò)作梯形腰的平行線的方法，將題型轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形，進(jìn)一步分析角和線段之間的關(guān)系。第三點(diǎn)，如果題目中提供的圖形是腰上的中點(diǎn)時(shí)，可以嘗試連接兩中線構(gòu)建平行于圖形上底或下底的輔助線。第四點(diǎn)，充分利用圖形比例式子代換，利用等積等式進(jìn)行等量代換。比如，以第一點(diǎn)為例進(jìn)行分析，“如圖所示，AD為三角形ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且AE=EF，求證：BF=AC”，可以通過(guò)平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)構(gòu)造平行四邊形ABGC，將求證BF=AC轉(zhuǎn)化成求證同一三角形內(nèi)BF=BG，構(gòu)造出兩個(gè)等腰相似三角形（三角形AEF與三角形BFG）。

（三）輔助線在圓形中的應(yīng)用

第一點(diǎn)，當(dāng)遇到求證有關(guān)圓的弦的幾何問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)作弦心距的輔助線或者作垂直弦半徑的輔助線找到題目隱含關(guān)系。第二點(diǎn)，當(dāng)遇到計(jì)算切線長(zhǎng)度或圓的半徑長(zhǎng)度的幾何問(wèn)題時(shí)，可以作經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線的輔助線，通過(guò)半徑和設(shè)未知數(shù)的方法利用勾股定理計(jì)算二分之一切線的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到切線長(zhǎng)度。第三點(diǎn)，當(dāng)遇見三角形內(nèi)切圓的相關(guān)幾何問(wèn)題時(shí)，可以利用三角形內(nèi)切圓的那些性質(zhì)作出內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)或垂線的輔助線，得到三角形的三個(gè)角平分線以及三條線段相等的關(guān)系。第四點(diǎn)，當(dāng)遇到三角形外接圓的相關(guān)幾何問(wèn)題時(shí)，可以利用三角形外接圓的外心性質(zhì)作出連接外形到三角形各頂點(diǎn)的輔助線，得到三條相等線段，進(jìn)一步分析圓和三角形的關(guān)系。以第二點(diǎn)為例進(jìn)行分析，“如圖所示，AB為圓O的弦，點(diǎn)P為弦AB上的一點(diǎn)，其中AB=10cm，AP=4cm，OP=5cm，求圓O的半徑。”，作過(guò)圓心O垂直于AB的輔助線OC，與AB的交點(diǎn)為C，并連接OA，設(shè)圓O的半徑長(zhǎng)度為rcm，根據(jù)勾股定理得到關(guān)系式，解出答案。

（四）輔助線在特殊四邊形中的應(yīng)用

在初中階段的幾何解題當(dāng)中特殊四邊形也是非常常見的一類題型，并且這類題型也有著一定的解題困難，但是運(yùn)用了輔助線之后便可以有效的簡(jiǎn)化整個(gè)解題過(guò)程，促使解題的效率能夠進(jìn)行相應(yīng)的提升。在解答關(guān)于特殊四邊形的幾何題目當(dāng)中，可以利用好它們的對(duì)角線來(lái)進(jìn)行解題。如下圖，ABCD的對(duì)角線BD朝著兩個(gè)方向進(jìn)行延長(zhǎng)，分別延長(zhǎng)至點(diǎn)E和點(diǎn)F，并且BE=DF。求證：AECF為平行四邊形。

已知平行四邊形的判定原理為：對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形。因此，根據(jù)定理可以連接AC，并且做出如下證明：

證明：在AECF內(nèi)連接AC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD。

又BE=DF，

∴OB+BE=OD+DF，

即：OF=OE，且OA=OC。

因此，可以證明AECF為平行四邊形。

在添加輔助線之后解題過(guò)程也變得簡(jiǎn)潔起來(lái)，使得原本不是十分清晰的解題思路變得簡(jiǎn)單明了，這也更加符合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，促使學(xué)生的解題效率也能得到逐步的提升。通過(guò)這樣的解題方式也能最大限度地避免學(xué)生出現(xiàn)解題難、缺乏解題思路的問(wèn)題，使學(xué)生在解答這類題目的過(guò)程中解題思路了然于心。

四、 總結(jié)

在初中數(shù)學(xué)幾何課堂教學(xué)中要善于運(yùn)用輔助線的方法解決幾何問(wèn)題，在教學(xué)過(guò)程中老師更要積極引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)邏輯思考找到正確的輔助線，而不是向?qū)W生講解一道數(shù)學(xué)題，告訴學(xué)生作輔助線的思路和方法，在初中數(shù)學(xué)幾何課堂中讓學(xué)生掌握解題方法和技巧遠(yuǎn)比解出一道題有價(jià)值。學(xué)生需要通過(guò)不斷的練習(xí)幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)熟練掌握幾何解題技巧，同時(shí)，也要善于對(duì)做過(guò)的題進(jìn)行總結(jié)，找到靈活多變的題型的解題方法，需要注意的是在作輔助線時(shí)要畫虛線，學(xué)生只要對(duì)幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題多加練習(xí)一定可以輕松地應(yīng)對(duì)各種幾何問(wèn)題題型。此外，學(xué)生也不能忽略對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的練習(xí)，要熟練記憶并掌握三角形、等腰三角形、圓形、平行四邊形、梯形等幾何圖形的性質(zhì)，在解題時(shí)能熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)。

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