陳莉 王鵬

【摘要】復(fù)變函數(shù)課程是工科專業(yè)尤其是電子、網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算機(jī)、機(jī)電等專業(yè)的必修課，在整個(gè)課程體系中占有非常重要的地位與作用.該課程原理、規(guī)律多，內(nèi)容抽象、枯燥，且需要理解的概念、定義多，是學(xué)生較難學(xué)的課程之一.隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，傳統(tǒng)復(fù)變函數(shù)教學(xué)已不能適應(yīng)高?，F(xiàn)代化教學(xué).本文從教學(xué)改革和培養(yǎng)應(yīng)用型人才的全局出發(fā)，結(jié)合復(fù)變函數(shù)課程的特點(diǎn)提出了復(fù)變函數(shù)教學(xué)改革的必要性，給出了幾點(diǎn)復(fù)變函數(shù)教學(xué)策略和教學(xué)內(nèi)容上的調(diào)整.

【關(guān)鍵詞】教學(xué)策略;教學(xué)改革;理念創(chuàng)新

【基金項(xiàng)目】2018年廣東省教學(xué)質(zhì)量工程項(xiàng)目（GDJX2018004）;2018年廣東省教學(xué)改革項(xiàng)目（GDJX2018015）.

復(fù)變函數(shù)是綜合性大學(xué)和高師院校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要課程.它在數(shù)學(xué)的其他分支中也有著重要的應(yīng)用，而且作為一種強(qiáng)有力的工具，還被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)的眾多領(lǐng)域，如理論物理、空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)、自動(dòng)控制學(xué)、信號處理、電子工程等領(lǐng)域.因此，該課程的學(xué)習(xí)對理工科學(xué)生而言是他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)不可或缺的內(nèi)容.復(fù)變函數(shù)理論也是我國數(shù)學(xué)工作者從事研究最早也最有成效的數(shù)學(xué)分支之一.經(jīng)過幾十年的努力，復(fù)變函數(shù)課程的建設(shè)及發(fā)展取得了令人矚目的成績，但隨著我國教育體制以及教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法、教學(xué)手段的改革，對復(fù)變函數(shù)課程的教學(xué)提出了更高的要求[1].如何合理利用有限的課堂時(shí)間，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，熟練掌握復(fù)變函數(shù)的理論知識，真正掌握復(fù)變函數(shù)這門課程是目前教學(xué)中要探討的主要問題.通過這幾年的教學(xué)實(shí)踐，對復(fù)變函數(shù)的教學(xué)進(jìn)行了思考與探索，通過以下幾個(gè)方面談一下自己的認(rèn)識.

一、將類比的思想融入復(fù)變函數(shù)的整個(gè)教學(xué)過程

復(fù)變函數(shù)作為實(shí)變量函數(shù)的后繼課程，很多概念都繼承了實(shí)變量函數(shù)的定義方式，如極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等.因而，在教學(xué)中，首先要讓學(xué)生對實(shí)變量函數(shù)中這些基本概念有準(zhǔn)確的把握，尤其要厘清連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等都是采用極限來定義的;同時(shí)，在處理和掌握這些概念時(shí)，應(yīng)類比出這些概念的定義所采用的方法是從實(shí)變量到復(fù)變量，講解時(shí)應(yīng)用“已知”解決“未知”的教學(xué)思想方法.如，復(fù)函數(shù)w=f（z）是自變量z的一元函數(shù)，而實(shí)一元函數(shù)y=f（x）是學(xué)生很熟悉的，因而，與實(shí)一元函數(shù)的極限進(jìn)行類比，易于理解和掌握.一元復(fù)變函數(shù)極限與實(shí)變函數(shù)極限的定義的形式一樣，都是利用“ε-δ”定義的，但復(fù)變函數(shù)中z→z0是指z在復(fù)平面上沿任何方向或方式趨向于z0，而實(shí)變函數(shù)中x→x0是指x沿實(shí)軸從左右兩方向趨向x0，也就是說，這里的z→z0與x→x0的方式是不同的.又如，講復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義時(shí)，與實(shí)分析的一元實(shí)導(dǎo)數(shù)和二元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（即偏導(dǎo)數(shù)）概念做對比，三種導(dǎo)數(shù)的定義，其實(shí)質(zhì)是相同的，皆為因變量增量與自變量增量比值的極限.在教學(xué)中注重與實(shí)變量函數(shù)相似類比的同時(shí)，更要抓住不同點(diǎn)，如復(fù)變函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)是周期函數(shù)、三角函數(shù)的正余弦函數(shù)不再有界等等.不僅要比較與實(shí)函數(shù)中概念的異同，而且要比較復(fù)變函數(shù)概念間的相互聯(lián)系，真正把理解和掌握基本概念作為學(xué)好復(fù)變函數(shù)的首要任務(wù)，做到靈活應(yīng)用相關(guān)的基本概念[2].

二、更新教學(xué)內(nèi)容，融入建模實(shí)例

考慮到復(fù)變函數(shù)在很多領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用，因此，在教學(xué)中我們可以把當(dāng)前的一些比較成熟的、前沿的成果或具體應(yīng)用拿出來作為教學(xué)實(shí)例融入教學(xué)中，同時(shí)要考慮到學(xué)生的心理認(rèn)識水平與課程的內(nèi)容、思想、方法，故實(shí)例的選取不宜過于復(fù)雜.選取的每一個(gè)實(shí)例不僅要反映出復(fù)變函數(shù)相關(guān)知識的本質(zhì)，還要簡明易懂，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更能讓學(xué)生感受到這個(gè)例子就在我們身邊，就在日常生活中，消除“復(fù)變函數(shù)沒什么用”的觀點(diǎn).這就要求教師恰當(dāng)選取模型實(shí)例，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，突出課程應(yīng)用性，從而達(dá)到培養(yǎng)應(yīng)用型人才的目的.如，在講第一章復(fù)數(shù)的輻角時(shí)就可以引入照相機(jī)的例子，通常照相機(jī)分為兩種，一種是普通相機(jī)，一種是數(shù)碼相機(jī)，若同學(xué)們仔細(xì)對比兩個(gè)相機(jī)所照的照片就會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)碼相機(jī)照出的照片更有立體感，其原因就在于數(shù)碼相機(jī)不僅反映出復(fù)數(shù)的模（距離），同時(shí)還反映出復(fù)數(shù)的輻角（點(diǎn)的位置）.這樣的實(shí)例將學(xué)生對復(fù)數(shù)的認(rèn)識與生活對接，既能開闊視野又能對后面章節(jié)的學(xué)習(xí)起到鋪墊的作用.在講第三章復(fù)積分之后，給出一個(gè)模型實(shí)例讓學(xué)生探討“如何測量地心溫度”，并啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“以通過測出地球表面各點(diǎn)的溫度，再結(jié)合柯西積分公式，最終計(jì)算出地心溫度”，這不正是柯西積分公式的實(shí)際應(yīng)用嗎？通過融入這樣的建模實(shí)例，幫助學(xué)生擺脫了只會(huì)用柯西積分公式計(jì)算的狀態(tài)，而提高了應(yīng)用柯西積分公式去解決實(shí)際問題的能力[3].在講解幅角原理時(shí)，可簡單介紹它在電學(xué)中的應(yīng)用;在講授共形映射這一內(nèi)容時(shí)，亦可介紹它在分形幾何中的應(yīng)用以及復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)研究方向的最新動(dòng)態(tài).總之，堅(jiān)持實(shí)用性與前瞻性原則，既熏陶了學(xué)生稚嫩的學(xué)術(shù)情結(jié)，也符合教育部本科水平教學(xué)評估中關(guān)于課堂教學(xué)中要加大信息量以及教學(xué)內(nèi)容要反映或聯(lián)系學(xué)科發(fā)展的新思想、新概念、新成果的理念[4].

三、增開復(fù)變函數(shù)實(shí)驗(yàn)課

伴隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展和數(shù)學(xué)軟件的迅速成長，許多與數(shù)學(xué)相關(guān)的實(shí)際問題的解決都需要通過計(jì)算機(jī)來完成.結(jié)合以往的實(shí)踐教學(xué)改革，認(rèn)為在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)過程中可增開實(shí)驗(yàn)課，這樣不但可以提高學(xué)生對復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，還可以增強(qiáng)他們的實(shí)際動(dòng)手能力.復(fù)變函數(shù)的實(shí)驗(yàn)一般要結(jié)合物理應(yīng)用背景，以數(shù)學(xué)軟件為工具，模擬實(shí)際環(huán)境進(jìn)行教學(xué).在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中可開設(shè)2～3次實(shí)驗(yàn)課，主要是讓學(xué)生利用類比的方法來解決復(fù)變函數(shù)方面的一些實(shí)際問題，從而提高學(xué)生的積極性、創(chuàng)造性和解決問題的能力.也可以融入課后作業(yè)，在以往的復(fù)變函數(shù)教學(xué)過程中，給學(xué)生布置的作業(yè)基本上是出自書中的課后習(xí)題，然而課后習(xí)題陳舊、形式缺乏、應(yīng)用性嚴(yán)重不足，這嚴(yán)重地影響了復(fù)變函數(shù)的教學(xué)效果.因此，為改善這種局面，在作業(yè)的布置上可適當(dāng)增加一些開放性的課后作業(yè)，如可以安排一些與高等數(shù)學(xué)知識相關(guān)的復(fù)變函數(shù)問題，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力、創(chuàng)新能力;也可以增加一些利用數(shù)學(xué)軟件能完成的復(fù)變函數(shù)方面的應(yīng)用題，從而達(dá)到對學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力的培養(yǎng)[5].

四、合理利用多媒體輔助教學(xué)

數(shù)學(xué)是一門邏輯性非常強(qiáng)的學(xué)科，注重邏輯推理演算，若單純采用多媒體進(jìn)行教學(xué)，往往不能取得較好的效果，但作為輔助教學(xué)手段，會(huì)起到積極的作用.因此，在上課過程中，在傳授與反饋知識等方面，傳統(tǒng)的黑板教學(xué)能通過教師與學(xué)生的直接交流把數(shù)學(xué)思維的發(fā)展、形成“原味原汁”地傳授給學(xué)生，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力;而理論敘述和實(shí)際應(yīng)用則采用多媒體.例如，通過三維圖形展示某些初等函數(shù)的實(shí)部與虛部、模與輻角;動(dòng)態(tài)演示復(fù)積分的定義、解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的旋轉(zhuǎn)角不變性和伸縮率不變性等.用直觀的圖形來演示，學(xué)生就會(huì)感覺很形象直觀，易于理解，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí).動(dòng)靜結(jié)合，教學(xué)效果大為提高.教師還可隨時(shí)方便地使用投影儀將手頭現(xiàn)有的文宇或圖片資料投影于大屏幕上，包括用此方法來講評學(xué)生作業(yè)，方便、快捷.

五、改革考核形式

以往復(fù)變函數(shù)課程的考核都是采取閉卷考試，考試題目大都出自書中的例題和課后習(xí)題，或是出自書中的某些基本概念和定理，都是注重理論推導(dǎo)、手工計(jì)算和證明.這樣的結(jié)果是只能考查學(xué)生的識記能力，而無法考查學(xué)生的遷移和應(yīng)用能力，從而直接導(dǎo)致很多學(xué)生高分低能，無法在復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)過程中理解和提煉數(shù)學(xué)思想和方法.這種方式與我校所提倡的應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式是相違背的.考慮到這樣的不足，我們可以嘗試在考核方式上做出一些調(diào)整.可以把考核方式分為兩部分：理論考試和上機(jī)考查.對理論考試部分，可適當(dāng)增加一些開放型的簡答題，需要學(xué)生比較復(fù)變函數(shù)和高等數(shù)學(xué)中一些知識點(diǎn)的異同;對實(shí)驗(yàn)上機(jī)考查部分，可主要考查學(xué)生利用已有的高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)通過類比的方法解決一些與復(fù)變函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題.

六、結(jié)束語

復(fù)變函數(shù)教學(xué)方法與內(nèi)容體系的改革應(yīng)力求做到使教學(xué)具有生命力，富有時(shí)代性，能跟上現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的步伐，能更好地培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力，更好地滿足現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)對數(shù)學(xué)的要求，在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維能力.但是體系的改革是一項(xiàng)巨大的系統(tǒng)工程，盡管前人已經(jīng)做了很大的努力，但仍有很多方面不盡人意，還有待于我們進(jìn)一步地探討和完善.

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