金 勝， 朱天林， 黃亞楠， 傅茂忠， 鄧振淼

(1.北京跟蹤與通信研究所， 北京 100094； 2.廈門大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 福建廈門 361005)

0 引言

脈沖雷達(dá)是目前廣泛使用的雷達(dá)體制，而其固有的速度模糊問題一直沒有很好的解決方案[1-2]。在雷達(dá)信號處理領(lǐng)域，火箭、導(dǎo)彈等高速目標(biāo)的快速捕獲和跟蹤一直是研究熱點(diǎn)，近年來具有高速高機(jī)動(dòng)特性的臨近空間飛行器使脈沖雷達(dá)面臨更加艱巨的挑戰(zhàn)[3-10]。跟蹤這類高速目標(biāo)時(shí)的速度模糊現(xiàn)象會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤信息并嚴(yán)重影響接下來的目標(biāo)檢測、成像和跟蹤等算法的性能[11]。為此，本文對脈沖雷達(dá)的速度解模糊問題進(jìn)行深入研究。

目前已經(jīng)有多種方法可以實(shí)現(xiàn)解多普勒模糊。廉志玲等提出利用發(fā)射多重頻脈沖信號的方法來解速度模糊，但是這類方法計(jì)算量較大且需要改造雷達(dá)相應(yīng)硬件結(jié)構(gòu)，不利于工程實(shí)現(xiàn)[12]。孟飛等研究使用距離跟蹤數(shù)據(jù)的微分值來解速度模糊。該方法通常需要2 s以上的觀測時(shí)間才能得到較為平穩(wěn)的觀測值。另外由于距離跟蹤數(shù)據(jù)存在測量誤差，因此該方法的誤差較大[13]，濾波器輸出結(jié)果的速度估計(jì)值精度通常在十幾米每秒左右。李亞超等對寬帶信號采用相鄰相關(guān)法進(jìn)行速度估計(jì)，可以得到目標(biāo)的無模糊速度，但是該算法不適用于窄帶信號[14]。蘇軍海等基于Radon變換，通過構(gòu)造代價(jià)函數(shù)的方式對速度模糊折疊數(shù)進(jìn)行搜索[15]。該方法由于使用了基于圖像的處理方法，因此需要在高信噪比條件下使用大量脈沖數(shù)進(jìn)行估計(jì)。綜上所述，目前已有的解模糊算法在脈沖雷達(dá)上的工程實(shí)現(xiàn)受到了諸多限制，且性能還不夠理想。

本文分析了脈沖雷達(dá)的目標(biāo)回波信號，在不改變現(xiàn)有脈沖雷達(dá)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，根據(jù)回波信號的似然函數(shù)的分布特性提出了一種速度粗估計(jì)方法。該方法基于相參脈沖回波信號的距離-速度模糊函數(shù)的盲速旁瓣在速度真值處達(dá)到最大值，在真值兩側(cè)的旁瓣對稱逐漸減小的性質(zhì)，通過合適的算法設(shè)計(jì)搜索盲速旁瓣的峰值位置，該位置對應(yīng)的速度即為目標(biāo)速度估計(jì)值。本方法利用通常認(rèn)為是不利且盡量避免的盲速旁瓣進(jìn)行速度粗估計(jì)，只需要利用少數(shù)脈沖即可以得到目標(biāo)速度的估計(jì)值，在脈沖重復(fù)頻率較低的脈沖雷達(dá)里具有較好的應(yīng)用前景。

1 數(shù)學(xué)模型

線性調(diào)頻脈沖是現(xiàn)代雷達(dá)常用的一種發(fā)射信號形式，其基帶信號的復(fù)數(shù)形式為

(1)

雷達(dá)信號在空間內(nèi)傳播，被目標(biāo)反射后到達(dá)雷達(dá)接收端。因此，雷達(dá)接收到的目標(biāo)回波可以寫為

(2)

式中，r(t)為在t時(shí)刻雷達(dá)與目標(biāo)散射點(diǎn)之間的徑向距離，fc為載波中心頻率，c為光速，z=A· exp(jθ)為未知的目標(biāo)復(fù)散射系數(shù)，u(t)為復(fù)加性高斯白噪聲。由于本文討論的是低重頻雷達(dá)，雷達(dá)信號的脈沖寬度遠(yuǎn)小于脈沖重復(fù)間隔(PRI)，因此可以采用走停模型描述回波信號，即認(rèn)為目標(biāo)相對于雷達(dá)的運(yùn)動(dòng)在脈內(nèi)可以忽略不計(jì)，而僅考慮脈間目標(biāo)相對于雷達(dá)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的時(shí)延。因此，可以將回波信號中的瞬時(shí)往返時(shí)延2r(t)/c近似替換為脈間的往返時(shí)延τm。在一個(gè)相參處理間隔(CPI)內(nèi)，假設(shè)目標(biāo)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，那么第m個(gè)脈沖的往返時(shí)延可以表示為

(3)

式中，tm=mTr為慢時(shí)間，Tr為脈沖重復(fù)間隔PRI的時(shí)間寬度，r0和v0分別為t=0時(shí)刻目標(biāo)相對于雷達(dá)的徑向距離和速度。當(dāng)目標(biāo)沿著徑向遠(yuǎn)離雷達(dá)時(shí)v0為正，靠近雷達(dá)時(shí)v0為負(fù)。將式(2)中的2r(t)/c替換為τm，得到走停模型下的基帶回波信號：

(4)

對基帶回波的時(shí)域信號作傅里葉變換，可以推出回波信號的頻域表達(dá)式：

(5)

對基帶回波信號進(jìn)行匹配濾波就可以實(shí)現(xiàn)脈沖壓縮，并且匹配濾波器的傳輸函數(shù)是發(fā)射信號的脈沖包絡(luò)的共軛。因此，在頻域上對基帶回波信號進(jìn)行匹配濾波，實(shí)現(xiàn)如下：

YPC(f)=Srb(f)S*(f)

(6)

將式(5)代入式(6)中，得到

(7)

Yk,m=zexp(-j2π(fc+kΔf)τm)+Uk,m

(8)

式中，k=-K,…0,…K為頻域上信號帶寬內(nèi)的采樣點(diǎn)，Δf=γΔt為頻域采樣步長，每個(gè)脈沖的帶寬B0=(2K+1)Δf，m=-M,…0,…,M為一個(gè)CPI內(nèi)的積累脈沖序號，積累脈沖數(shù)Np=2M+1。經(jīng)過匹配濾波器(線性濾波器)后的噪聲項(xiàng)Uk,m仍然可以近似為復(fù)加性高斯白噪聲，設(shè)它的方差為σ2。為了方便下文仿真分析，這里先定義輸入信噪比為脈沖壓縮后的頻域數(shù)字信號的信噪比，即

(9)

利用多個(gè)相參脈沖回波可以構(gòu)造目標(biāo)的距離-速度模糊函數(shù)，從中可以得到目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)信息。接下來首先給出距離-速度二維模糊函數(shù)的構(gòu)造方法，隨后分析速度維模糊分析的特性，由此推導(dǎo)出一種快速速度粗估計(jì)方法。

2 速度維似然函數(shù)分析

由式(8)可知,樣本Yk,m服從均值為z· exp(-j2π(fc+kΔf)τm)、方差為σ2的復(fù)高斯分布，其概率密度分布為

p(Yk,m;z,r,v)=

(10)

由于不同樣本間滿足相互獨(dú)立的條件，因此對所有樣本求取似然函數(shù)，得到

(11)

進(jìn)一步求得對數(shù)似然函數(shù)

lnL(z,r,v)=-(2K+1)(2M+1)ln(πσ2)-

(12)

求解上式的最大值，得到目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的最大似然估計(jì):

exp(j2π(fc+kΔf)τm(r,v))|

(13)

因此，具體在求取目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的最大似然估計(jì)時(shí)，需要在可能的參數(shù)空間內(nèi)對目標(biāo)的徑向距離和速度進(jìn)行聯(lián)合搜索。理論上，在滿足樣本數(shù)足夠多且搜索步長足夠小的條件下，通過最大似然估計(jì)就能達(dá)到參數(shù)估計(jì)的克拉美-羅限，即實(shí)現(xiàn)理論上的最優(yōu)估計(jì)。

為了分析速度模糊現(xiàn)象并引出本文算法，這里另外定義r，v的似然函數(shù):

(14)

將Yk,m中的信號復(fù)散射系數(shù)z置為1，噪聲項(xiàng)Uk,m置為0后代入上式，得到

H(r,v)=

(15)

注意到r0,v0只是決定了H(r,v)在距離維和速度維上的中心位置。為了分析方便，將r0,v0置為0，將H(r,v)的中心位置設(shè)在原點(diǎn)，最終得到了只與r,v有關(guān)的似然函數(shù)表達(dá)式:

(16)

取r≡0代入上式，得到速度維似然函數(shù):

(17)

上式中的函數(shù)G定義為

(18)

函數(shù)G在絕對值符號內(nèi)是一個(gè)周期性的sinc函數(shù)，其周期大小為2π且在γ=2nπ(n為任意整數(shù))處周期性地出現(xiàn)峰值。

為了直觀地觀察展示速度維似然函數(shù)分布，這里給出一組典型的雷達(dá)參數(shù)：載波中心頻率fc=3 GHz、帶寬B=5 MHz、采樣頻率fs=10 MHz、脈寬T=25 μs、脈沖重復(fù)頻率fr=300 Hz以及積累脈沖數(shù)Np=33。圖1 (a)為速度真值所在的無模糊范圍內(nèi)的速度維似然函數(shù)分布，它接近sinc包絡(luò)。而從大范圍進(jìn)行觀察時(shí)，速度維似然函數(shù)會(huì)周期性地出現(xiàn)峰值(除速度真值對應(yīng)的主峰之外的峰稱為盲速旁瓣)，如圖1 (b)所示，各峰值之間的間隔即為最大無模糊周期，并且各個(gè)峰值形成了巨大的外包絡(luò)。從整體上看，構(gòu)成外包絡(luò)的局部小峰值隨著速度與真值的偏移呈現(xiàn)衰減趨勢。

(b) 整體

由于式(17)的表達(dá)式過于復(fù)雜，不便于進(jìn)行定量分析，因此需要繼續(xù)對式(17)進(jìn)行化簡分析。假設(shè)

(19)

(20)

按照前面對函數(shù)G的討論，可以得到函數(shù)W(v)的周期為

(21)

可以看到，式(21)的具體值與m有關(guān)。而函數(shù)U(v)的周期為

(22)

假設(shè)v為vu的整數(shù)倍，即v=Nvu，N為整數(shù)，此時(shí)有

exp(2π×N)=1

(23)

將式(23)代入式(17)可以得到外包絡(luò)分布函數(shù)：

(24)

圖2 外包絡(luò)函數(shù)、似然函數(shù)和最小周期函數(shù)G對比

從速度維模糊函數(shù)可以看出，其外包絡(luò)在速度真值兩邊隨著速度值與真值的差單調(diào)減小。由此，可以根據(jù)這個(gè)特性進(jìn)行目標(biāo)速度的估計(jì)。

3 準(zhǔn)最大似然速度粗估計(jì)

按照前面對速度維似然函數(shù)分布的分析，一種比較簡單、直接的解速度模糊思路是：以獲得的目標(biāo)速度估計(jì)值作為初始值，設(shè)定vs作為步長，大范圍地求取速度維似然函數(shù)外包絡(luò)上的各峰值，最后搜索最高峰所在的位置。但是在圖1 (b)的情形下，在真值附近范圍的外包絡(luò)過于平緩，并不存在一個(gè)突出的峰值，容易受到噪聲影響，因此最終搜索到的不一定是速度真值。

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

4 仿真及分析

由于前面給出的解速度模糊算法需要對給定雷達(dá)參數(shù)的速度維似然函數(shù)進(jìn)行具體分析，為了方便討論，這里使用表1中的B組雷達(dá)參數(shù)下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)與分析。同時(shí)，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)設(shè)為r0=100 km，v0=2 000 m/s。假設(shè)距離跟蹤數(shù)據(jù)的微分值與目標(biāo)真實(shí)速度相差較大，為vc=2 100 m/s。

無模糊范圍間隔數(shù)n是本算法的關(guān)鍵參數(shù)。但是，目前并沒有給出關(guān)于間隔數(shù)n的合適選值，這里將n設(shè)為整數(shù)10，20…50，進(jìn)行5組仿真實(shí)驗(yàn)。為了研究噪聲和間隔數(shù)n對算法精度的影響，在各組仿真中設(shè)置輸入信噪比-10～5 dB，步長1 dB，每個(gè)信噪比下進(jìn)行1 000次蒙特卡羅仿真。最終得到在給定的具體雷達(dá)參數(shù)下，本節(jié)所提出算法的速度估計(jì)值均方根誤差與輸入信噪比之間的關(guān)系如圖3所示。如果算法得到的速度估計(jì)值落在以速度真值v0為中心的無模糊范圍內(nèi)，即認(rèn)為正確解模糊；反之，則得到錯(cuò)誤的解模糊結(jié)果。解模糊的正確率也是評判算法的標(biāo)準(zhǔn)之一。同樣地，設(shè)置輸入信噪比-10～5 dB，步長1 dB，每個(gè)信噪比下進(jìn)行1 000次蒙特卡羅仿真?？梢缘玫剿惴ǖ慕饽：_率與輸入信噪比之間的關(guān)系如圖4所示。

圖3 速度估計(jì)值均方根誤差與間隔數(shù)及輸入信噪比之間的關(guān)系

圖4 解模糊正確率與間隔數(shù)及輸入信噪比之間的關(guān)系

n∈Z+

(30)

本文提出的算法依賴于速度維似然函數(shù)分布的特性，因此本節(jié)還將討論雷達(dá)參數(shù)對速度維似然函數(shù)分布的特性的影響。這里選取表1中3組雷達(dá)仿真參數(shù)進(jìn)行仿真分析。如圖5所示，A組參數(shù)與B組參數(shù)的外包絡(luò)主瓣寬度接近，C組參數(shù)外包絡(luò)主瓣寬度較小。另外，可以看到B組參數(shù)與C組參數(shù)的無模糊周期一樣，而A組參數(shù)峰值更為密集。

表1 雷達(dá)仿真參數(shù)

(a) 局部

(b) 整體

圖6 A組、B組和C組雷達(dá)仿真參數(shù)下均方根誤差對比

圖7 A組、B組和C組雷達(dá)仿真參數(shù)下解模糊正確率對比

5 結(jié)束語