安瑞雪， 王曉林， 陳舒文， 張 偉

(1.電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院， 四川成都 611731； 2.北京控制與電子技術(shù)研究所， 北京 100038；3.中國航空工業(yè)集團公司雷華電子技術(shù)研究所， 江蘇無錫 214063)

0 引言

寬帶相控陣雷達因擁有更高的信號增益、角度分辨率、波束指向可控制性以及自適應(yīng)抗干擾能力而被廣泛使用[1]。寬帶干擾時，抑制窄帶干擾所需的自由度已經(jīng)無法抑制寬帶干擾，因此需要增加自由度?？諘r自適應(yīng)干擾抑制是寬帶波束形成的一個重要方法,克服了純空域干擾抑制的缺點[2]，大大增加了自由度。

雜波秩的估計對于空時自適應(yīng)算法至關(guān)重要，文獻[3-5]都探討了雜波秩估計的方法，Klemm最早提出雜波子空間的秩約為N+L(N表示陣元個數(shù)，L表示脈沖數(shù)，也即時間采樣數(shù))。文獻[6]研究了窄帶干擾的秩估計但是并沒有研究寬帶干擾時的雜波秩估計的量化問題。

本文將量化分析寬帶干擾的秩，利用寬帶干擾信號的角度與頻率之間存在的等效轉(zhuǎn)換機制，然后采用橢球波函數(shù)可分解的正交函數(shù)的個數(shù)[7]來推導(dǎo)單寬帶干擾時的秩，推廣至兩個及以上的多寬帶干擾的秩估計。同時將研究寬帶干擾秩和空時自由度之間的關(guān)系對分子陣寬帶波束抗干擾性能的影響，干擾秩估計理論可作為設(shè)計自適應(yīng)空時干擾結(jié)構(gòu)的約束條件，在不失抗干擾性能的同時降低系統(tǒng)自由度的冗余。

1 相控陣干擾信號模型

若相控陣發(fā)射窄帶信號，信號的帶寬遠小于載波頻率，即B?f0，對于陣元數(shù)為M的一個均勻線陣，其接收的窄帶干擾回波信號的復(fù)基帶離散信號表達式為

x(n)=a(θ)sp(n)+v(n)

(1)

式中:n表示快拍時間采樣；sp(n)為參考陣元接收的干擾復(fù)信號；a(θ)=[1 ej2πf0dsinθ/c… ej2πf0(M-1)dsinθ/c]T∈CM×1為陣列的導(dǎo)向矢量，與干擾信號的載波頻率f0、陣元間距d以及干擾信號入射角θ有關(guān)；c為光速；v(n)為噪聲信號向量，且v(n)=[v0(n) …vM-1(n)]T∈CM×1。干擾回波信號的協(xié)方差矩陣為

(2)

若有K(K

x(n)=a(θ1)sp1(n)+a(θ2)sp2(n)+…+

a(θK)spK(n)+v(n)

(3)

設(shè)sp(n)=[sp1(n)sp2(n) …spK(n)]T∈CK×1，A=[a(θ1)a(θ2) …a(θK)]∈CM×K，則可以寫成矩陣形式：

x(n)=Asp(n)+v(n)

(4)

則K(K

寬帶干擾信號不滿足B?f0這個條件，信號頻率f∈[f0-B/2,f0+B/2]，不能用載波頻率f0來近似表示，故導(dǎo)向矢量與干擾角度θ和頻率有關(guān)，表示為

a(θ,f)=[1 ej2πfdsinθ/c… ej2πf(M-1)dsinθ/c]T

(5)

寬帶干擾信號導(dǎo)向矢量張成的子空間的維度不為1，其自由度會隨著帶寬的增加而增加，所以常采用寬帶波束形成算法來抑制寬帶干擾信號，即通過空時處理的Frost結(jié)構(gòu)[8]來增加時間自由度以抑制干擾。

2 分子陣空時自適應(yīng)波束形成器

Frost結(jié)構(gòu)的核心思想是在每一個陣元后增加時域抽頭以補償因頻率變化形成的相位差，在實際相控陣雷達系統(tǒng)中，為了達到波束主瓣寬度、信噪比和實時處理等需求，通常采用劃分子陣的方式來降低系統(tǒng)的復(fù)雜度和自適應(yīng)算法的維度。

分子陣的空時自適應(yīng)波束形成器結(jié)構(gòu)如圖1所示，設(shè)總陣元數(shù)為M，陣元均勻劃分且子陣間互不重疊。每個子陣均有J個陣元，一般M的值是J的整數(shù)倍，則一共有L=M/J個子陣。每個子陣內(nèi)根據(jù)波束指向確定固定權(quán)值w0,… ,wJ-1，進行固定波束合成，子陣間則進行Frost空時自適應(yīng)波束合成，即在每個子陣后均連接一個長度為N的抽頭延遲線，共有LN個自適應(yīng)權(quán)值{wl,n}，l∈[0 1 …L-1]，n∈[0 1 …N-1]。自適應(yīng)權(quán)值可通過線性約束最小方差準則(LCMV)或者最小方差無失真響應(yīng)準則(MVDR)求取。

圖1 分子陣空時自適應(yīng)波束形成器

3 寬帶相控陣干擾秩估計

3.1 單寬帶干擾秩估計

單寬帶干擾時，設(shè)帶寬內(nèi)的任一頻率為f1∈[f0-B/2,f0+B/2]，干擾信號入射角度為θp∈[0,π/2)，為簡化研究，進行如下等價轉(zhuǎn)換：

(6)

帶寬內(nèi)的任一頻率f1變換為載波頻率f0的過程中，與之對應(yīng)的干擾角度需從θp等效為θ1，它們之間的關(guān)系為

(7)

若將帶寬內(nèi)的全部頻率f都統(tǒng)一變換成載波頻率f0，則有

(8)

式中，fmin=f0-B/2，fmax=f0+B/2。

如圖2所示，轉(zhuǎn)換之后的單寬帶干擾信號可以看作由頻率為f0，干擾角度范圍為θ∈[θmin,θmax]的單頻信號所構(gòu)成，此為寬帶干擾信號頻率與角度之間存在的轉(zhuǎn)換機制。

文獻[7]提出如式(9)表示的橢球波函數(shù)：

(9)

在時寬帶寬積為一定值的情況下，該橢球波函數(shù)可表達為「2WT+1?個正交函數(shù)的線性組合。其中，W代表的是單邊信號的帶寬，「·?代表的是向上取整函數(shù)。

圖2 單寬帶干擾頻率與角度等效轉(zhuǎn)換機制

導(dǎo)向矢量亦可看成是橢球波函數(shù)，即把式(6)導(dǎo)向矢量中的變量m∈[0,M-1]看作式(9)中橢球波函數(shù)的變量t，因此式(9)中的T=M-1。將整體dsinθ1f0/c看成是式(9)中的f。其中θ1為轉(zhuǎn)換之后的角度范圍，不妨設(shè)為θmin≤θ1≤θmax，所以等效帶寬為

(10)

干擾角度范圍為θp∈(-π/2,0]時，進行同樣的推導(dǎo)過程可得W=-dsinθpB/2λ0f0。所以綜上，干擾角度為θp∈(-π/2,π/2)時，等效帶寬為

(11)

通常情況下d=λ0/2，得到單寬帶干擾信號的干擾秩表達式為

(12)

從式(12)可以看出，陣列的陣元數(shù)M、寬帶干擾信號的干擾角度θp和帶寬載波頻率之比B/f0都會影響干擾的秩。反觀窄帶干擾的秩，因為B?f0，故B/f0≈0，代入式(12)，得到單個窄帶干擾信號的秩是1，這與之前的結(jié)論是相吻合的。

3.2 多寬帶干擾秩估計

在圖2所示的等效轉(zhuǎn)換機制基礎(chǔ)上，根據(jù)這兩個干擾信號等效變換后的干擾角度是否重疊分為兩種情況：情況1 等效寬帶干擾不重疊；情況2 等效寬帶干擾重疊。

兩個入射角為θp1和θp2轉(zhuǎn)換后的等效寬帶干擾如圖3所示。若干擾角度θp1正負不同號于干擾角度θp2，此時兩個等效干擾角度范圍一定不存在重疊區(qū)間，為情況1。若干擾角度θp1同號于θp2，設(shè)0<|θp1|<|θp2|<π/2，則又有不重疊和重疊兩種可能，若|θ2min|>|θ1max|，為情況1，如圖3(a)所示；若|θ2min|<|θ1max|，則兩個干擾角度區(qū)間相互重疊，為情況2，如圖3(b)所示。而且sinθ2min=sinθp2fmin/f0，sinθ1max=sinθp1fmax/f0。綜上可得如下定理：

定理一 兩個等效干擾角度范圍有重復(fù)區(qū)間的充分必要條件為寬帶干擾角度θp1同號于θp2且假設(shè)|θp1|≤|θp2|時，一定有

(13)

(a) 等效寬帶干擾不重疊

(b) 等效寬帶干擾重疊

若兩個寬帶干擾信號角度不重疊且其等效干擾范圍為[θ1min,θ1max]∪[θ2min,θ2max]，則由式(9)和式(10)可得等效帶寬W為

(14)

若兩個等效干擾角度存在重疊區(qū)間，等效變化區(qū)間為[θ1min,θ2max]，此時等效帶寬W為

(15)

若θp1和θp2符合定理一中的充分必要條件，那么干擾秩表達式為

(16)

若θp1和θp2不符合定理一中的充分必要條件，則兩個單寬帶干擾秩的和為其干擾秩：

(17)

以此類推可得，存在多個寬帶干擾N(N≥2)時，利用圖3中的等效轉(zhuǎn)化機制將N個寬帶干擾等效轉(zhuǎn)換，求取等效干擾角度的并集，得到等效帶寬，最后利用式(12)計算出多干擾情況下的干擾秩。

4 干擾秩估計仿真實驗及其在子陣波束形成器的影響和應(yīng)用

4.1 寬帶相控陣干擾秩估計仿真實驗

本文共分為兩組仿真實驗，分別是仿真實驗一：單寬帶干擾信號干擾秩仿真實驗和仿真實驗二：兩個寬帶干擾信號的干擾秩仿真實驗。仿真時，寬帶干擾信號均選取寬帶噪聲干擾，設(shè)置干噪比JNR=50 dB，在圖中縱坐標數(shù)值為50 dB的地方標出一條點線，因為協(xié)方差矩陣秩本質(zhì)上是協(xié)方差矩陣主要特征值數(shù)目，故大于等于50 dB的特征值則被認為是寬帶干擾信號的主要特征值。

仿真實驗一：單寬帶干擾信號干擾秩估計實驗。干擾秩估計表達式(12)表明干擾秩與三種因素相關(guān)，因此需控制單一變量。其中影響因素B/f0為兩個參數(shù)，為實現(xiàn)不同的帶寬載波頻率比值，保持信號帶寬不改變，改變載頻大小。如圖4中的(a)、(b)、(c)依次為3個不同變量干擾角度θp、陣元數(shù)M和帶寬載波頻率比值B/f0的特征譜仿真圖。

1) 不同干擾角度的特征譜仿真

仿真條件與結(jié)果分析：陣元數(shù)M=80、信號帶寬B=400 MHz、載頻f0=1 GHz，干擾角度θp取值為10°，30°，50°和80°。通過計算式(12)得到此仿真情況下的理論值，分別為4，9，14和17。在圖4(a)中用4條虛線標出最大特征值標號，結(jié)果可以看出這些干擾角度分別對應(yīng)的最大特征值標號為4，9，14和16，與推導(dǎo)的理論估計值基本一致。

2) 不同陣元數(shù)的特征譜仿真

仿真條件與結(jié)果分析：干擾角度為50°，信號帶寬B=400 MHz，載頻f0=1 GHz。陣元數(shù)取值分別為40，80，120和160，依據(jù)式(12)計算此仿真條件的估計值，干擾秩理論估計值為7，14，20和26，在圖4(b)中同樣用4條虛線標出最大特征值的標號，結(jié)果可以看出這些陣元數(shù)分別對應(yīng)的最大特征值標號為7，14，20和26，與理論推導(dǎo)干擾秩估計結(jié)果也是吻合的。

3) 不同載波頻率的特征譜仿真

(a) 不同干擾角度的特征譜

(b) 不同干擾角度的特征譜

(c) 不同載波頻率的特征譜

仿真條件與結(jié)果分析：干擾角度為50°，陣元數(shù)M=80，保持信號帶寬不變B=400 MHz，改變載頻f0，取值分別為1，1.5，2和2.5 GHz，依據(jù)式(12)計算此仿真條件的估計值，分別為14，10，8和6。從圖4(c)仿真結(jié)果可以看出這些不同載頻分別對應(yīng)的大于等于50 dB的最大特征值標號分別為14，10，8和6，亦與理論推導(dǎo)結(jié)果相吻合。

根據(jù)以上3個仿真條件下的結(jié)果，進一步證實了單個寬帶干擾信號干擾秩估計表達式(12)的正確性。

仿真實驗二：相互獨立的兩個寬帶干擾信號干擾秩估計實驗。在實驗中根據(jù)等效寬帶重疊與否，設(shè)置兩類仿真條件來驗證式(16)和式(17)中干擾秩估計的結(jié)果。陣元數(shù)M=80，信號帶寬B=400 MHz，載頻f0=1 GHz，所以fmax/fmin=1.5，保持兩個干擾信號中較大的干擾角度不變，為θp2=60°。

從定理一易知，當(dāng)sinθp1>35.3°時等效轉(zhuǎn)換干擾角度重疊，當(dāng)sinθp1<35.3°時不重疊。故等效寬帶不重疊時選擇θp1為10°和20°，不同的θp1的仿真結(jié)果如圖5(a)所示；等效寬帶重疊時，選擇θp1分別為40°和50°，結(jié)果如圖5(b)所示。

(a) 干擾等效寬帶不重疊

(b) 干擾等效寬帶重疊

等效角度干擾范圍不重疊時，通過計算式(17)得到θp1=10°時干擾秩估計理論結(jié)果為19,θp1=20°時干擾秩估計理論結(jié)果為22，圖5(a)的仿真結(jié)果可以看出θp1=10°時功率大于50 dB的最大特征值標號為19，θp1=20°時功率高于50 dB的最大特征值標號為22，與式(17)估計計算結(jié)果相吻合。

等效角度干擾范圍重疊時，通過式(16)可計算得到θp1=40°時干擾秩理論估計值為22，θp1=50°時干擾秩理論估計值為18，圖5(b)的仿真實驗結(jié)果也可以看出θp1=40°時,功率大于50 dB的最大特征值標號為22，θp1=50°功率大于50 dB的最大特征值標號為18。

進一步觀察分析圖5(a)的仿真結(jié)果可知，θp1從10°增加至20°時，此時θp1依然未與θp2重疊，故秩隨著干擾角度θp1的增加而增大，所以干擾秩從19增加至22；但是當(dāng)sinθp1>35.3°時，等效寬帶干擾便出現(xiàn)重疊區(qū)域，θp1越大，重疊區(qū)域會越大，秩會相應(yīng)減小。在θp1從40°增加至50°時，干擾秩會從22減小至18。亦說明了理論推導(dǎo)的準確，等效寬帶干擾并集之秩即兩個寬帶干擾信號的干擾秩。

4.2 寬帶干擾秩對抗干擾性能的影響及應(yīng)用

設(shè)計圖1的分子陣空時自適應(yīng)波束形成器時，通常需要設(shè)計子陣個數(shù)L和抽頭延遲線階數(shù)N，則LN即為系統(tǒng)的空時自由度。分子陣空時波束形成器的抗干擾性能隨著子陣數(shù)和抽頭延遲線階數(shù)的增加而提高[8]。在有限的硬件資源和實時性要求的限制條件下，不允許L和N無限度地增加?，F(xiàn)通過研究寬帶干擾秩和空時自由度之間的關(guān)系對分子陣寬帶波束抗干擾性能的影響，將寬帶干擾秩估計應(yīng)用于L和N的設(shè)計中。

用抗干擾前后的干擾功率的比值，即對消比來作為干擾抑制的性能指標。對消比的定義如下：

(18)

式中，Pjb表示抗干擾之前系統(tǒng)的干擾功率，Pja表示抗干擾之后系統(tǒng)的剩余干擾功率。

由定義可知，對消比總是非負的，且對消比越大，抗干擾能力越強，當(dāng)對消比越接近時抗干擾能力越弱，且當(dāng)對消比為0時，系統(tǒng)沒有抗干擾的能力。仿真條件如下，陣元數(shù)M=120，每個子陣內(nèi)陣元數(shù)J=12，一共有10個子陣，期望信號角度為0°，信噪比為0 dB，信號帶寬B=400 MHz，載波頻率f0=1 GHz，單個寬帶噪聲干擾，干擾信號帶寬也為400 MHz，干噪比為50 dB。由式(12)可知，當(dāng)干擾角度從0°變化到90°時，干擾秩從1增加到25，且當(dāng)干擾角度為20°時，干擾秩增加到10，當(dāng)干擾角度為50°時，干擾秩增加到20。

在圖6中，仿真了時延抽頭階數(shù)N=1，2，3，4情況下的干擾對消比與干擾角度之間的關(guān)系。

圖6 不同抽頭延遲線階數(shù)抗干擾性能與干擾角度的關(guān)系(10子陣)

當(dāng)N=1時，等效于純空域的波束形成，系統(tǒng)只有10個空域自由度，因此從圖6中的虛線可知，當(dāng)干擾角度為20°時，干擾秩增加到10，加上約束期望信號所需的一個自由度，已經(jīng)超過系統(tǒng)的10個空域自由度，對消比急劇下降且靠近0 dB。所以在純空域結(jié)構(gòu)下在20°附近出現(xiàn)拐點，當(dāng)超過20°時，干擾秩已經(jīng)大于系統(tǒng)自由度，無足夠自由度去抑制干擾，抗干擾性能急劇下降。

當(dāng)N=2時，即每個子陣后均有一個延遲抽頭，系統(tǒng)的空時自由度為20，從圖6中的點線可知，當(dāng)干擾角度為50°時，干擾秩增加到20，加上期望信號的一個自由度，超過了系統(tǒng)的20個空時自由度，對消比急劇下降至3 dB附近。在N=2時，對消比性能在50°附近出現(xiàn)拐點，當(dāng)超過50°時，干擾秩大于系統(tǒng)的空時自由度，同樣無足夠自由度去抑制干擾，抗干擾性能急劇下降。

當(dāng)N=3時，即圖6中的實線，此時的系統(tǒng)空時自由度為30，由于單個寬帶干擾秩在該條件下的最大值為25，因而系統(tǒng)有足夠的自由度去抑制單個寬帶干擾，系統(tǒng)干擾對消比不會出現(xiàn)性能急劇下降的拐點，且對消比穩(wěn)定在30 dB以上。同理，當(dāng)N=4時，即圖中的虛點線，同樣有足夠的自由度去抑制該條件下的單個寬帶干擾，因而對消比也穩(wěn)定在30 dB以上。

綜上所述，圖6中的仿真結(jié)果在驗證式(12)的單寬帶干擾秩估計公式的同時，研究了干擾秩與系統(tǒng)自由度之間的關(guān)系對抗干擾性能的影響。其結(jié)論如下：當(dāng)干擾秩大于系統(tǒng)自由度時，系統(tǒng)無足夠的自由度來抑制寬帶干擾，抗干擾性能急劇惡化，在空時結(jié)構(gòu)中，可以通過增加時延抽頭階數(shù)N來增加空時自由度。當(dāng)空時自由度大于當(dāng)前條件干擾秩的最大值時，再增加抽頭階數(shù)N，對抗干擾性能改善已很小。通過以上結(jié)論，可以用來作為設(shè)計分子陣陣列的子陣個數(shù)L和抽頭延遲線階數(shù)N的一個約束條件，即先通過干擾秩公式估計該條件下的最大干擾秩，在滿足LN大于最大干擾秩時，使L和N盡可能小。

5 結(jié)束語

本文通過一種角度與頻率之間等效轉(zhuǎn)換機制來轉(zhuǎn)換寬帶干擾信號，通過橢球波函數(shù)可分解的正交函數(shù)的個數(shù)，類推出寬帶相控陣雷達中單個與兩個寬帶干擾秩估計的量化表達式。干擾角度、陣元數(shù)和帶寬載波頻率比值這三個因素影響單寬帶干擾的秩。兩個寬帶干擾時，通過等效轉(zhuǎn)換之后的等效干擾區(qū)間重疊與否，給出兩種情況下的秩估計的推導(dǎo)，并給出判定兩個等效轉(zhuǎn)換后的寬帶干擾區(qū)間是否重疊的充分必要條件。同時兩個寬帶干擾秩估計的思想可以引申推廣到多寬帶干擾時的干擾秩估計。本文通過仿真實驗，證實了干擾秩估計表達式的準確性。通過寬帶相控陣雷達中的寬帶干擾秩估計，量化了寬帶干擾抑制所需的自由度，研究了寬帶干擾秩和空時自由度之間的關(guān)系對抗干擾性能的影響，可將此理論應(yīng)用于分子陣寬帶波束形成器的子陣數(shù)和抽頭延遲線階數(shù)的設(shè)計中。今后可在此基礎(chǔ)上，對最優(yōu)降維自適應(yīng)波束形成器作進一步的研究。