張文鼎

摘 要：因式分解是初中數(shù)學(xué)代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)部分，它在整個(gè)初中階段數(shù)學(xué)知識(shí)體系中具有“承上啟下”的重要作用，可以為學(xué)生進(jìn)入高中后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定良好的基礎(chǔ)。在“解題”的應(yīng)用方面，因式分解涉及了一元二次及高次方程（降次）、分式運(yùn)算（通分及約分）、函數(shù)及根式運(yùn)算（簡(jiǎn)便運(yùn)算）等知識(shí)，在部分幾何知識(shí)教學(xué)中也發(fā)揮著不可或缺的“工具”價(jià)值。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);因式分解;常見(jiàn)誤區(qū);解題能力

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫作多項(xiàng)式的因式分解。換言之，初中階段有關(guān)“因式分解”的教學(xué)內(nèi)容，等同于“整式乘法”的逆過(guò)程。據(jù)此來(lái)說(shuō)，要在因式分解教學(xué)中實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生解題能力的目標(biāo)，就需要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“整式乘法”和“因式分解”關(guān)系的認(rèn)知，而“公因式”是兩者之間的重要連接點(diǎn)。

一、初中因式分解教學(xué)中常見(jiàn)的誤區(qū)分析

（一）知識(shí)理解誤區(qū)分析

“知識(shí)理解誤區(qū)”是學(xué)生在初中因式分解學(xué)習(xí)中對(duì)概念認(rèn)知不透徹、公式混淆不清造成的，由于公因式的利用不恰當(dāng)、不正確，從而導(dǎo)致因式分解的不徹底。以下列三道代數(shù)式判斷題為例。

在對(duì)以上三個(gè)代數(shù)式正確與否的判斷上，學(xué)生出現(xiàn)“判斷錯(cuò)誤”的原因是相對(duì)一致的，主要包括：忽視公因式的提取、分解不徹底、沒(méi)有化簡(jiǎn)。例如，在題（1）中，很顯然學(xué)生混淆了“因式分解”的概念和“多項(xiàng)式”的概念，因?yàn)橐蚴椒纸獾摹皩?duì)象”必須是多項(xiàng)式，而本題中的12x3y2明顯不符合要求;而題（2）中，多數(shù)學(xué)生認(rèn)為答案應(yīng)該“正確”，原因是左側(cè)為多項(xiàng)式、右側(cè)為“乘積”的形式，但他們明顯忽略了因式分解中“整式”這一限定條件，因此正確答案是“錯(cuò)誤”;在題（3）中，學(xué)生主要是忽略了“等式左邊和等式右邊相等”這一基本條件，驗(yàn)證方法也非常簡(jiǎn)單，只需要讓學(xué)生細(xì)心地將“等式右邊”還原成多項(xiàng)式，再與“等式左邊”對(duì)比即可。

（三）策略理解誤區(qū)分析

在初中因式分解教學(xué)中，“策略理解誤區(qū)”可視為學(xué)生在具體做題時(shí)的失誤表現(xiàn)，較為常見(jiàn)的“悖論”表現(xiàn)為，原本有相對(duì)簡(jiǎn)單的解法，而學(xué)生受限于理解能力和慣性思維，偏偏選擇了更加復(fù)雜的解法。如果學(xué)生長(zhǎng)期困于這一誤區(qū)，不僅會(huì)降低學(xué)習(xí)效率，在做作業(yè)、考試時(shí)也會(huì)消耗大量的時(shí)間。這一誤區(qū)的表現(xiàn)主要是整體思想的缺失，但本質(zhì)上仍然是對(duì)公因式提取操作的不當(dāng)性。例如，在“3an+4-15an+2b2-108anb4”這一題中，學(xué)生雖然知道應(yīng)該利用“十字相乘法”進(jìn)行因式分解，但往往第一步就把a(bǔ)n作為公因式提取出來(lái)，而在解題中忽略了“3”“15”“108”。此外，還有一些題在解題過(guò)程中涉及“先計(jì)算，再因式分解”，從整體思想出發(fā)，可以先將規(guī)模較大的代數(shù)式視為一個(gè)“整體”（如用字母A或B代替），再利用十字相乘法解答出來(lái)，在恢復(fù)代數(shù)式的表達(dá)形式后，進(jìn)行下一步化簡(jiǎn)。但在具體操作過(guò)程中，一些學(xué)生還是會(huì)選擇最簡(jiǎn)單的“公因式”作為切入點(diǎn)，例如，在“（3x-y）2-（x+3y）2”一題中，學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算就會(huì)得到“8x2-12xy-8y2”，計(jì)算到這一步之后，唯一可做的就是提取公因式，將“4”提出來(lái)之后，變成“4（2x2-3xy-2y2）”，這一結(jié)果并沒(méi)有分解徹底，如果分別用A和B代替“（3x-y）”和“（x+3y）”，以整體的形式計(jì)算、代入、簡(jiǎn)化，不僅步驟清晰而且分解徹底。

二、初中因式分解教學(xué)中提升解題能力的對(duì)策

（一）加強(qiáng)概念本質(zhì)理解

“概念”是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的高度濃縮。對(duì)初中生而言，“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”往往比較抽象，人教版初中數(shù)學(xué)教材中對(duì)因式分解“概念”的闡述，也是采取書(shū)面語(yǔ)言形式，對(duì)一些數(shù)學(xué)理解能力較弱的學(xué)生而言，難以抓住重點(diǎn)。因此在概念理解教學(xué)方面，教師需要采用一系列的“問(wèn)題”，通過(guò)“解題”過(guò)程引導(dǎo)，讓學(xué)生準(zhǔn)確地抓住因式分解的本質(zhì)，包括因式分解的對(duì)象、結(jié)果形式，以及“恒等變形”“互逆過(guò)程”等關(guān)系。較為系統(tǒng)的教學(xué)方法可借鑒杜賓斯基提出的“APOS”理論。該理論包括“活動(dòng)（Action）→過(guò)程（Process）→對(duì)象（Object）→圖式（Scheme）”四個(gè)步驟。其中，在“活動(dòng)”步驟中，教師可以基于課堂空間構(gòu)建問(wèn)題情境，為學(xué)生呈現(xiàn)出因式分解的實(shí)用價(jià)值所在。

例如，學(xué)校要建一塊操場(chǎng)，已知條件為操場(chǎng)面積“a2-2ab+b2”，那么它的長(zhǎng)和寬各為多少呢？教師通過(guò)這種情境創(chuàng)設(shè)的方式，讓學(xué)生意識(shí)到“因式分解”是有價(jià)值的，并非針對(duì)數(shù)學(xué)公式的簡(jiǎn)單推論，而這一過(guò)程中也將學(xué)生的“抽象認(rèn)知”轉(zhuǎn)化成“具象認(rèn)知”。在“過(guò)程”步驟中，重點(diǎn)要放到“概念提煉及形成”上，數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)上是從生活實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中提取的，相對(duì)于直接給出的概念，結(jié)合生活實(shí)踐問(wèn)題層層推導(dǎo)、轉(zhuǎn)化得來(lái)的更容易理解。比如，情境創(chuàng)設(shè)中提出的“已知條件”，“2ab”中a，b的常數(shù)值是不固定的（即長(zhǎng)和寬不固定），哪一種最合理呢？可以通過(guò)代入不同數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)，而這一過(guò)程中不變的是“完全平方公式”。在“對(duì)象”步驟中，抽象化任務(wù)已經(jīng)完成，研究對(duì)象為“代數(shù)式”或“多項(xiàng)式”，進(jìn)而在“圖式”步驟中分析因式分解與整式乘法的聯(lián)系、區(qū)別。

（二）加強(qiáng)公式特征理解

“公式”是初中階段應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決具體問(wèn)題的重要手段，圍繞著因式分解教學(xué)中的解題方法分析，主要涉及“平方差公式”和“完全平方公式”，而這兩個(gè)公式在學(xué)習(xí)因式分解之前就已經(jīng)出現(xiàn)了，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)因式分解中的“平方差公式法”和“完全平方公式法”提供了必備條件。無(wú)論是將這兩個(gè)公式作為“解題思維”，還是“解題手段”，教學(xué)中都要強(qiáng)調(diào)這兩個(gè)公式在“整式乘法”和“因式分解”中處于相互逆轉(zhuǎn)的形態(tài)，這也是學(xué)生理解公式的最大障礙。諸如前文中分析的那樣，從“正向思維”向“逆向思維”的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，容易出現(xiàn)公式混淆、亂用的現(xiàn)象——基于此，在解題過(guò)程中，學(xué)生可以采用“結(jié)構(gòu)法”或“換元法”來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，加深對(duì)公式特征的理解。

例如，平方差公式可以表達(dá)為“○2-●2=（○+●）（○-●）”，完全平方公式可表達(dá)為“□2±2□■+■2=（□±■）2”，以上按照結(jié)構(gòu)規(guī)律，通過(guò)換元形式，能夠加深學(xué)生的記憶，符合“從特殊到一般”的思維訓(xùn)練規(guī)律，學(xué)生在進(jìn)行因式分解解題時(shí)，只需要按照“元”的對(duì)應(yīng)性進(jìn)行取代，就能夠便捷、準(zhǔn)確地得到正確答案。例如，在“（2a-b）2-（a+2b）2”這一道題中，學(xué)生如果理解了平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，則可把（2a-b）可視為○，把（a+2b）視為●，直接通過(guò)換元的形式即可展開(kāi)計(jì)算，而不需要先進(jìn)行“分解多項(xiàng)式”再計(jì)算。

（三）加強(qiáng)解題技巧實(shí)踐

理解概念、掌握公式只是因式分解教學(xué)中“解題能力”的準(zhǔn)備階段，要達(dá)到熟練、快速、準(zhǔn)確的解題效果，還需要一定強(qiáng)度的訓(xùn)練，這一過(guò)程中的技巧總結(jié)就顯得尤為重要。從教學(xué)角度來(lái)說(shuō)，解題技巧可以通過(guò)“歸納法”呈現(xiàn)給學(xué)生，實(shí)現(xiàn)“特殊性”和“普遍性”的統(tǒng)一。例如，從“公因式”角度出發(fā)，解答一道題可以按照如下流程展開(kāi)：①判斷多項(xiàng)式，如果首項(xiàng)符號(hào)為負(fù)，則通過(guò)調(diào)整位置轉(zhuǎn)化成正，進(jìn)而提取公因式;②提取公因式后，再判斷多項(xiàng)式，如果為兩項(xiàng)式，可考慮利用“平方差公式法”，如果為三項(xiàng)式則考慮“完全平方公式法”和“十字相乘法”;③提取公因式后，如果多項(xiàng)式為四項(xiàng)及以上的情況，則考慮“分組分解法”。

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，本文圍繞著“公因式”解讀了初中數(shù)學(xué)因式分解教學(xué)中學(xué)生常見(jiàn)的理解誤區(qū)，為走出誤區(qū)，一方面，學(xué)生需要加深對(duì)公式、概念的理解，避免對(duì)“提公因式法”的濫用;另一方面，學(xué)生要加強(qiáng)解題技巧的實(shí)踐，通過(guò)強(qiáng)化練習(xí)，全面掌握因式分解的方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]王玲玲.重視初中數(shù)學(xué)概念的生成過(guò)程——以“因式分解”的教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（12）：13-14.

[2]常 成.初中數(shù)學(xué)因式分解技巧研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（1）：137.

[3]張雅琴.另辟蹊徑巧解題——因式分解的妙用[J].甘肅教育，2017（15）：124.