鮑善軍
[摘要]數(shù)學(xué)習(xí)題是數(shù)學(xué)模型的重要表現(xiàn)形式。教師可以開(kāi)展一題一課,通過(guò)整合路徑、關(guān)聯(lián)對(duì)比、拓展延伸三個(gè)層次的習(xí)題教學(xué),指向?qū)W生高階思維能力培養(yǎng),促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入和思維的通透度的提升。
[關(guān)鍵詞]一題一課;高階思維;教學(xué)策略
[中圖分類(lèi)號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1007-9068(2020)17-0032-03
一題一課是指教師通過(guò)對(duì)一個(gè)主題或一組習(xí)題的深入研究,在課堂上科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生開(kāi)展相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng),在完成“一題”的同時(shí),促進(jìn)知識(shí)的相互關(guān)聯(lián),達(dá)到“學(xué)一題、透一點(diǎn)、通一類(lèi)、達(dá)一片”的教學(xué)目標(biāo)。系統(tǒng)地從縱向三個(gè)層次、橫向六個(gè)方面發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平,即通過(guò)“小題大做”、角度轉(zhuǎn)換,促使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平向多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平發(fā)展;通過(guò)一題多解、化隱為顯,促使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平向關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平發(fā)展;橫向拓寬、縱向深入,促使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平向抽象拓展水平發(fā)展(如圖1)。開(kāi)展一課一練,使學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)過(guò)程中來(lái),逐步發(fā)展高階思維和核心素養(yǎng)。
一、路徑整合:思維水平由“單點(diǎn)結(jié)構(gòu)”衍生“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”
通過(guò)深度溝通尋找到聯(lián)系各種思路的理想方式,運(yùn)用直觀(guān)去認(rèn)識(shí)事物之間的共同屬性和聯(lián)系,由理解的單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平轉(zhuǎn)向多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平,使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考向更深處蔓延。
1.“小題大做”,自主建構(gòu)
對(duì)于有些問(wèn)題,教師可充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性,放手讓學(xué)生自主探究,探尋多種解決問(wèn)題的思路,教師只需將這些解題思路進(jìn)行整合,就能幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的應(yīng)用模式。
[一題]如圖2所示,市政府準(zhǔn)備在街心花園建一個(gè)花圃,這個(gè)花圃占地多少平方米?
[一課]組合圖形的面積。
教師讓學(xué)生自主探究解決問(wèn)題的方法,學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考一小組討論一交流匯報(bào),確定了兩種解決問(wèn)題的思路:可以將圖形分割成兩個(gè)小長(zhǎng)方形或兩個(gè)梯形(如圖3),也可以將圖形補(bǔ)全為一個(gè)大長(zhǎng)方形(如圖4)。
分割:
學(xué)生總結(jié)出求組合圖形的方法主要有兩種——分割和補(bǔ)全,最后教師滲透轉(zhuǎn)化思想:“不管是分割還是補(bǔ)全,都是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形?!?/p>
2.角度轉(zhuǎn)換,發(fā)散思維
當(dāng)學(xué)生的思維遇到障礙而停滯時(shí),不妨引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)角度分析,讓思維向多角度發(fā)散,從而找到多種解決問(wèn)題的思路。
[一題]由于粗心大意,小馬虎把30x(A+3)錯(cuò)算成30x△+3。請(qǐng)你幫忙算一算,他得到的結(jié)果與正確結(jié)果相差多少?
[一課]符號(hào)的運(yùn)算。
數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象性與學(xué)生思維的形象性是一對(duì)非常突出的矛盾。但要解答這道題并不難,關(guān)鍵是讓學(xué)生理解造成兩個(gè)算式的結(jié)果出現(xiàn)差異的原因。解這道題時(shí),很多學(xué)生會(huì)先用一個(gè)具體的數(shù)字替代“△”,分別算出兩個(gè)算式的結(jié)果,再計(jì)算出這兩個(gè)結(jié)果的差值。教師可以先肯定學(xué)生的解答過(guò)程,再引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算定律的角度解讀兩個(gè)算式的意義,從而理解兩個(gè)算式的差異,求出兩者相差多少。從代人運(yùn)算和意義兩種路徑理解兩個(gè)算式的差異,從而比較它們的大小,讓學(xué)生主動(dòng)轉(zhuǎn)換角度來(lái)思考和解決問(wèn)題,借助多種感官進(jìn)行知識(shí)的建構(gòu),達(dá)到對(duì)算式意義的數(shù)學(xué)理解。
二、關(guān)聯(lián)溝通:思維水平由“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)”走向“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”
當(dāng)學(xué)生的思維達(dá)到多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平時(shí),教師可以借助知識(shí)方法之間的聯(lián)系幫助學(xué)生整合思路,促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化方法,深挖知識(shí)的本源,把解題的規(guī)律模型化、發(fā)散的思路一體化,讓學(xué)生從對(duì)知識(shí)的理解深入到對(duì)知識(shí)的聯(lián)通,這樣學(xué)生的思維就會(huì)從多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平逐步邁向關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平,大大提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力。
1.一題多解,模型建構(gòu)
通過(guò)對(duì)問(wèn)題的開(kāi)放探究,有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解解決問(wèn)題的多種思路,再將這些解決問(wèn)題的思路或方法進(jìn)行溝通、對(duì)比,找出其關(guān)聯(lián)所在。
[一題]如圖5所示,計(jì)算立體圖形的體積。
[一課]柱體的體積。
如圖6所示,教師通過(guò)展示不同的解題方法,聚焦學(xué)生的思維。將立體圖形體積的3種計(jì)算方法進(jìn)行溝通聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)這些方法之間的關(guān)聯(lián)點(diǎn),并從中抽象出解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模V柱=SH,使學(xué)生對(duì)柱體有更深入的了解,并能將該模型運(yùn)用于其他柱體體積的計(jì)算。將解題規(guī)律模型化,突出柱體體積算法和算理之間的關(guān)聯(lián),加深了學(xué)生對(duì)柱體概念本質(zhì)的理解,強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)柱體體積計(jì)算方法的記憶,更重要的是使學(xué)生形成了特有的柱體體積計(jì)算方法的知識(shí)體系。
2.化隱為顯,多元?dú)w一
有些問(wèn)題的解決方法比較抽象,學(xué)生難以厘清其中的思路。這時(shí),教師需要將這些方法中的隱含意義直觀(guān)地呈現(xiàn),使學(xué)生領(lǐng)悟解題的思想方法,最終實(shí)現(xiàn)多種解題方法的統(tǒng)一。
[一題]籠子里有若干只雞和兔,一共有8個(gè)頭、22條腿,問(wèn)雞和兔各有幾只?
[一課]雞兔同籠。
雞兔同籠問(wèn)題的解題步驟較復(fù)雜,讓學(xué)生理解解題原理很重要。剛接觸這類(lèi)題型時(shí),學(xué)生很容易想到用列表法解題,此時(shí)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究,挖掘新方法——畫(huà)圖法,并幫助學(xué)生建立畫(huà)圖法與列表法之間的聯(lián)系,即將列表的過(guò)程與畫(huà)圖的步驟一一對(duì)應(yīng),再?gòu)漠?huà)圖的步驟中抽象出每個(gè)步驟的算式,最終引出假設(shè)法。從列表法一畫(huà)圖法一假設(shè)法(如圖7),步步深入,學(xué)生體會(huì)到它們所表示的含義是一樣的,從而實(shí)現(xiàn)解題方法的融合與統(tǒng)一。
畫(huà)圖是對(duì)列表的直觀(guān)呈現(xiàn),而假設(shè)是對(duì)畫(huà)圖的概括抽象。畫(huà)圖法是從列表法走向假設(shè)法的橋梁,借助3種方法的探究與溝通,促進(jìn)學(xué)生對(duì)解題方法的深度思考和理解,最終將這些方法融會(huì)貫通,使每個(gè)解題步驟都能在學(xué)生的腦海中直觀(guān)成像,實(shí)現(xiàn)思維的可視化。
三、拓展延伸:思維水平由“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”躍至“抽象拓展”
當(dāng)學(xué)生的思維進(jìn)入關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平時(shí),可以嘗試讓學(xué)生在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上自主遷移,聯(lián)想其他同屬性的知識(shí),這樣學(xué)生思維的路徑會(huì)隨著抽絲剝繭的分析和探索,一步步呈現(xiàn)出完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。
1.橫向拓寬,全面探索
橫向拓寬就是對(duì)問(wèn)題在同一水平層面上進(jìn)行開(kāi)發(fā)與設(shè)計(jì),引導(dǎo)學(xué)生在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)同一問(wèn)題從不同的角度進(jìn)行開(kāi)放式的思考和延伸,將其本質(zhì)屬性遷移到其他同類(lèi)型的知識(shí)內(nèi)容上。
[一題]長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是3cm和1cm,將它按3:1放大,求放大后與放大前長(zhǎng)方形的面積之比。
[一課]長(zhǎng)方形面積的變化。
由于缺乏對(duì)邊長(zhǎng)和面積關(guān)系的認(rèn)知,學(xué)生理所當(dāng)然地認(rèn)為面積之比就是邊長(zhǎng)之比?;诖?,教師可在五年級(jí)就提前落實(shí)面積與邊長(zhǎng)關(guān)系的教學(xué),并將長(zhǎng)方形的這種屬性特征遷移到其他同類(lèi)平面圖形。教師先讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算、觀(guān)察、探索、驗(yàn)證和概括得出結(jié)論:“面積擴(kuò)大的倍數(shù)就是長(zhǎng)和寬擴(kuò)大倍數(shù)的乘積?!苯又?,教師繼續(xù)引導(dǎo):“如果沿著這個(gè)方向繼續(xù)研究,你還想研究什么?”學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想:“三角形、梯形、平行四邊形、正方形等平面圖形是否也有同樣的規(guī)律呢?”最后利用微課驗(yàn)證(如圖8)。
教師順著長(zhǎng)方形的面積變化幫助學(xué)生將思維延伸到其他平面圖形中,概括出其他平面圖形的面積變化規(guī)律,將研究的層次提升到另一個(gè)高度,拓寬了學(xué)生的思維,建構(gòu)了平面圖形的知識(shí)結(jié)構(gòu)。
2.縱向深入,研究徹底
縱向深入就是根據(jù)問(wèn)題中涉及的知識(shí)點(diǎn),沿著問(wèn)題情境背后的線(xiàn)索,基于全體學(xué)生設(shè)計(jì)開(kāi)放式的探究活動(dòng),目的是將同一個(gè)(類(lèi))問(wèn)題深入挖掘,研究徹底。
[一題]圖9中,4個(gè)圖形的面積都是36dm2。分別用這些圖形卷成圓柱,哪個(gè)圓柱的體積最???哪個(gè)圓柱的體積最大?你有什么發(fā)現(xiàn)?
[一課]圓柱側(cè)面積與體積的關(guān)系。
教師以此問(wèn)題作為知識(shí)基點(diǎn),進(jìn)行圓柱側(cè)面積和體積的復(fù)習(xí),再次引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷猜想、計(jì)算、觀(guān)察、探索等過(guò)程,最終發(fā)現(xiàn)在側(cè)面積相等的情況下,圓柱體積的變化規(guī)律并理解其原理。
這是一個(gè)基于實(shí)踐研究的能力發(fā)展和經(jīng)驗(yàn)領(lǐng)悟過(guò)程,其目標(biāo)指向問(wèn)題解決而非知識(shí)技能形成。在此經(jīng)驗(yàn)之上,可以進(jìn)一步讓學(xué)生解決:“如果側(cè)面積不變,還有卷成的圓柱體積更大的長(zhǎng)方形嗎?”
這樣的探究活動(dòng),將圓柱側(cè)面積和體積相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系完全打通,通過(guò)對(duì)卷成圓柱體積更大的長(zhǎng)方形的探尋與驗(yàn)證,使學(xué)生的認(rèn)知從特殊走向一般,學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)和本質(zhì)屬性有了更深的理解與領(lǐng)悟,并內(nèi)化為自身的能力和素養(yǎng)。
綜上所述,通過(guò)一題一課,教師真正發(fā)揮習(xí)題的最大效益,同時(shí)減輕了學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān),真正落實(shí)了減負(fù)增質(zhì)的目標(biāo)。
[本文系2019年浙江省教研課題“一題一課:高階思維導(dǎo)向的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐”階段性研究成果。]
(責(zé)編:李琪琦)
小學(xué)教學(xué)參考(數(shù)學(xué))2020年6期