曲靖市第二中學(xué) 陳紅林

高中物理核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)科學(xué)思維與方法，需要把復(fù)雜的物理問題通過建模使之簡(jiǎn)單、直觀、形象化，而幾何作圖法可以充分利用“數(shù)形結(jié)合”的思想，把抽象且復(fù)雜的物理問題通過作圖轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單、直觀、形象的幾何問題。

一、幾何作圖法概述及其作用

幾何作圖法是根據(jù)題意把相對(duì)抽象復(fù)雜的物理情景通過建模畫圖直觀形象地表述出來，從而進(jìn)行問題解答的一種方法。物理解題中應(yīng)用幾何作圖法極為普遍，如矢量運(yùn)算中的平行四邊形定則或矢量三角形、帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的特點(diǎn)和規(guī)律、用函數(shù)圖像處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)等。在物理解題過程中巧妙地運(yùn)用這些作圖方法，真正做到把物理與幾何完美地結(jié)合在一起，不僅能夠使我們?cè)诮獯鹞锢韱栴}時(shí)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，也能有效地簡(jiǎn)化解題過程，避免出現(xiàn)復(fù)雜的運(yùn)算，提高解題效率。

二、幾何作圖法的工具及其運(yùn)用

如圖1 所示，直尺、三角板、圓規(guī)、量角器和鉛筆（圖中未畫出）是幾何作圖法必備的工具，也是高考必備的考試用品。

圖1

直尺、三角板既可以用來作圖，也可以用來測(cè)量長(zhǎng)度，三角板還可以有效地運(yùn)用30°、45°、60°、90°、120°這幾個(gè)特殊角度。圓規(guī)既可以用來畫帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，還可以等比例地測(cè)量長(zhǎng)度。量角器主要用來測(cè)量任意角。

三、運(yùn)用實(shí)例

例1 由于衛(wèi)星的發(fā)射場(chǎng)不在赤道上，同步衛(wèi)星發(fā)射后需要從轉(zhuǎn)移軌道經(jīng)過調(diào)整再進(jìn)入地球同步軌道。當(dāng)衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上飛經(jīng)赤道上空時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，給衛(wèi)星一附加速度，使衛(wèi)星沿同步軌道運(yùn)行。已知同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度約為3.1×103m/s，某次發(fā)射衛(wèi)星飛經(jīng)赤道上空時(shí)的速度為1.55×103m/s，此時(shí)衛(wèi)星的高度與同步軌道的高度相同，轉(zhuǎn)移軌道和同步軌道的夾角為30°，如圖2所示，發(fā)動(dòng)機(jī)給衛(wèi)星的附加速度的方向和大小約為（ ）

圖2

A.西偏北方向，1.9×103m/s

B.東偏南方向，1.9×103m/s

C.西偏北方向，2.7×103m/s

D.東偏南方向，2.7×103m/s

【方法一】計(jì)算法：

設(shè)衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上的速度為v2，在同步軌道上的速度為v1，附加速度為Δv。根據(jù)矢量合成作速度合成矢量三角形如圖3 所示。因?yàn)槭切比切?，根?jù)題目所給條件只能由余弦定理得

方向東偏南，故B 正確。

圖3

【方法二】幾何作圖法：

選1 cm 長(zhǎng)度的線段表示103m/s 的速度，如圖4 甲所示；用30°的三角板按標(biāo)度標(biāo)準(zhǔn)畫出衛(wèi)星速度合成的矢量三角形如圖4 乙所示。由刻度尺可直接測(cè)量出Δv=1.9×103m/s，方向東偏南，故B 正確。

圖4

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是速度的合成與分解，對(duì)比以上兩種方法，計(jì)算法由于數(shù)據(jù)和矢量三角形都不特殊，導(dǎo)致計(jì)算較為復(fù)雜；而幾何作圖法不需要數(shù)學(xué)計(jì)算，通過幾何作圖就可以方便快捷地直接測(cè)出結(jié)果，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的目的。

例2 如圖5，半徑為R的圓是一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面（紙面），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外。一電荷量為q（q＞0）、質(zhì)量為m的粒子沿平行于直徑ab的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，射入點(diǎn)與ab的距離為。已知粒子射出磁場(chǎng)與射入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角為60°，則粒子的速率為（不計(jì)重力）（ ）

圖5

【方法一】解析法：

如圖6 所示，設(shè)入射點(diǎn)為A，AC 平行于ab，穿出磁場(chǎng)的點(diǎn)為B，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓心為O，過B 點(diǎn)作垂線與AC 相交于C點(diǎn)。由題意可知，粒子射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)的夾角為60°，所以圓心角就為60 °，即∠ABO 為等邊三角形，∠BAC=30°。由直角三角形ABC 可得=R，所以帶電粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r=R。由，解得，故B 正確。

圖6

【方法二】幾何作圖法：

如圖7 所示，作入射速度的垂線即為軌跡圓心所在直線。保證偏轉(zhuǎn)角為60°和軌道半徑r 不變，用60°的三角板和圓規(guī)標(biāo)準(zhǔn)地畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡并確定軌跡圓心的位置O。用刻度尺就可以直接測(cè)出r=R，再由qvB=，解得，故B 正確。

圖7

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，關(guān)鍵點(diǎn)在于畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡并確定圓心位置，而找出軌道半徑r 與圓形磁場(chǎng)半徑R 的關(guān)系是本題的難點(diǎn)。我們可以用上述兩種方法求解。方法一需要幾何證明后，再計(jì)算得出r=R，要求學(xué)生數(shù)學(xué)功底扎實(shí)。方法二首先通過60°的三角板和圓規(guī)幾何作圖確定圓心位置，再用直尺快速巧妙地測(cè)量出r=R，省略了數(shù)學(xué)運(yùn)算，提高了解題效率。

近年高考對(duì)學(xué)生物理核心素養(yǎng)的考查越來越多，這就要求學(xué)生學(xué)會(huì)正確地建立物理模型，然后應(yīng)用科學(xué)的思維與方法，利用幾何作圖把復(fù)雜抽象的物理問題簡(jiǎn)單直觀化。這不僅能大大降低解題難度，提高解題的準(zhǔn)確率，還可以在潛移默化中培養(yǎng)和提升學(xué)生的物理核心素養(yǎng)。