張范輝

摘 ?要：“智”一般指人們認(rèn)識(shí)世界的能力，教學(xué)中就是對(duì)主體對(duì)象——兒童——思維水平的概括。數(shù)學(xué)是理科，“理”特指數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵本質(zhì)，是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與思想的概括，指教學(xué)的載體對(duì)象知識(shí)。教學(xué)改革的有效性取決于對(duì)主客體這樣的客觀要素認(rèn)識(shí)與優(yōu)化程度，只有在兩者的互孕互促互化中，數(shù)學(xué)教學(xué)才能生動(dòng)創(chuàng)造、開(kāi)放凝聚，走向美的境界。

關(guān)鍵詞：智慧;自由;理性;小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

教育如農(nóng)事。農(nóng)民的價(jià)值在田野，教師的價(jià)值在課堂。農(nóng)事需深耕，教育需改革?！罢n改”首先需“改課”，教無(wú)定法、“我的課堂我做主”可以讓教師有足夠的自主權(quán)，改變教學(xué)理念，重組知識(shí)結(jié)構(gòu)、變更呈現(xiàn)方式等，從而可以走向“形散”。形散意味著教學(xué)思想靈動(dòng)、思維觸角自由，可以探摸更遠(yuǎn)的地方，引領(lǐng)兒童自由發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造。教師們常說(shuō)的“智”就是人們認(rèn)識(shí)世界的能力，在教學(xué)中就是對(duì)學(xué)習(xí)主體——兒童——思維水平的概括。

但“形散”也并非信馬由韁，教無(wú)定法之下，卻有常法，貴在得法，這里的“法”自然首先是方法，更深的理解還應(yīng)是方向，貴在有明確的方向，鮮明導(dǎo)向之中尋求合理的方法。形散中透著神聚，神聚意味著數(shù)學(xué)課堂主題內(nèi)核明朗、思維路徑清晰、教學(xué)結(jié)構(gòu)合理、思想蘊(yùn)涵澄明，在自由創(chuàng)造中有明確的方向，這個(gè)方向就是思維的錘煉、素養(yǎng)的提升、理性的形成，誠(chéng)如史寧中教授所說(shuō)，“判斷數(shù)學(xué)基本思想的原則有兩個(gè)，第一是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展所必須依賴的那些思想，第二是學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具有的基本思維特征”，這個(gè)思維特征就是數(shù)學(xué)“理性”，這也就是人們常說(shuō)的數(shù)學(xué)是理科，而不同于語(yǔ)文等其他學(xué)科的思維特征，“理”就是對(duì)學(xué)習(xí)載體——數(shù)學(xué)學(xué)科——知識(shí)與思想的概括。

有效的教學(xué)改革必立足于客觀要素的優(yōu)化。著眼教學(xué)中主體之“智”和載體之“理”的客觀對(duì)象，把數(shù)學(xué)知識(shí)冰冷的學(xué)術(shù)形態(tài)不斷轉(zhuǎn)化為火熱的教學(xué)形態(tài)，創(chuàng)造出師生理解、內(nèi)化知識(shí)的一段段美麗的學(xué)習(xí)時(shí)光。

一、智理互孕，教學(xué)要利于學(xué)生有新發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)是客觀性地存在，還是人類觀念性地存在？綿延千年的“心實(shí)之爭(zhēng)”讓人們擁有了不同的思考視角與深刻的洞察眼光。爭(zhēng)辯的過(guò)程也就是主體的思考之智與載體的知識(shí)之理互孕互長(zhǎng)的過(guò)程，這樣的爭(zhēng)辯也就讓“內(nèi)心的法則”與“頭頂?shù)男强铡倍汲蔀槟軌蛘鸷承撵`的理性力量。

如何看待數(shù)學(xué)知識(shí)的眼光，能夠帶來(lái)教學(xué)方法的轉(zhuǎn)變？很多人認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)客觀冰冷，高度的抽象性與邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性容不得半點(diǎn)質(zhì)疑、半點(diǎn)虛假，似乎只有呈現(xiàn)冰冷才是理性真正的面貌。以至于感性的、活潑的兒童在進(jìn)行四則混合運(yùn)算中，多次犯錯(cuò)而不能糾偏的情況下，詢問(wèn)老師“干嗎非得要先乘除后加減”。是啊，冰冷的規(guī)定背后到底有著怎樣火熱的思考？一段時(shí)間讓筆者迷惑德國(guó)數(shù)學(xué)家格奧爾格·康托爾曾說(shuō)“數(shù)學(xué)的本質(zhì)就在于它的充分自由”，其思想意義是怎樣的？數(shù)學(xué)的概念、符號(hào)難道真的就是這樣枯燥么，就不能天馬行空么？

最簡(jiǎn)單的自然數(shù)“1”是生來(lái)就這么規(guī)定的么？為何楔形文字、羅馬文字中的“1”不是這樣的呢？史寧中教授曾說(shuō)，如果歷史可以重來(lái)，今天的數(shù)學(xué)還是這個(gè)樣子么？史教授自己的回答是，大概除了1加1等于2這樣的運(yùn)算法則不變，其他的幾乎全部可以改變?！?”本身并不存在，作為抽象符號(hào)表達(dá)，首先是想象與演變的結(jié)果。隨著人們的智慧創(chuàng)造，不斷被賦予了新的內(nèi)涵，越來(lái)越具備了更深的思想。創(chuàng)造出的“1”，從開(kāi)始僅僅表示的一個(gè)物體，繼而成為一個(gè)整體、一個(gè)單位，從計(jì)數(shù)到測(cè)度，從有限到無(wú)限，其中所蘊(yùn)含著的巨大創(chuàng)造性與思想性，每每讓人嘆為觀止?！兜赖陆?jīng)》言“道生一”，從中可以感悟到“1”的創(chuàng)造是如此玄妙，以“道”字道出無(wú)法言傳的玄妙。德國(guó)數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克爾曾說(shuō)：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其他都是人造的?！惫P者想克羅內(nèi)克爾要表達(dá)的應(yīng)該是：上帝創(chuàng)造了一，然后由人創(chuàng)造出了二、三以及其他。

最基本的圖形“點(diǎn)”，按《幾何原本》的說(shuō)法，“點(diǎn)是沒(méi)有部分的”，意味著點(diǎn)除了位置之外什么都沒(méi)有，按此定義，哪里能找到點(diǎn)？用筆畫(huà)在紙上的點(diǎn)就是數(shù)學(xué)上的點(diǎn)了么？眼中看到的點(diǎn)就是真正意義的點(diǎn)了么？再細(xì)尖的筆，把點(diǎn)畫(huà)到紙上，就已偏離點(diǎn)的本意了，因?yàn)檫@是面，只不過(guò)看上去很小而已，但面對(duì)它，我們都會(huì)清楚地認(rèn)為這是一個(gè)點(diǎn)。測(cè)量的常識(shí)就是首先把所測(cè)量物體的兩端看作兩個(gè)點(diǎn)：測(cè)量線段的長(zhǎng)度，把線段的兩端看作兩個(gè)點(diǎn);測(cè)量?jī)沙堑木嚯x，我們常把兩城作為兩個(gè)點(diǎn);測(cè)量地球到月球的距離，我們把地球與月球看作兩個(gè)點(diǎn)……這時(shí)，點(diǎn)早已是一種想象。“抽象的前提是想象”，這般一看，數(shù)學(xué)還冰冷么？還客觀么？但這般想象毫不妨礙純粹的思考。點(diǎn)動(dòng)成線，線無(wú)粗細(xì)、無(wú)顏色，但我們同樣用各種筆畫(huà)出繽紛的、不是線的線，在豐富的想象之中進(jìn)行著嚴(yán)格的定義。線動(dòng)成面，面動(dòng)成體……人們運(yùn)用想象與推理的智慧，構(gòu)建了完整的圖形知識(shí)體系，嚴(yán)絲合縫，嚴(yán)密理性。

“1”與“點(diǎn)”作為數(shù)與形的兩個(gè)最基本概念，其誕生與發(fā)展的過(guò)程，就是人們的智慧創(chuàng)造與知識(shí)的理性內(nèi)涵不斷生發(fā)、生長(zhǎng)的過(guò)程。數(shù)學(xué)所研究的數(shù)量關(guān)系、空間形式都是智理互孕、互生互長(zhǎng)的結(jié)果，豐富而又有秩序，一切都井井有條、合理美妙，經(jīng)由不斷的抽象與推理，最終構(gòu)成了嚴(yán)謹(jǐn)理性的數(shù)學(xué)體系。如此，解讀康托爾表述數(shù)學(xué)的本質(zhì)是自由，其內(nèi)在含義不僅是數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中所展現(xiàn)出的“自由創(chuàng)造”，更為重要的是，數(shù)學(xué)在尋求其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐瑫r(shí)，表現(xiàn)出極大的開(kāi)放性和創(chuàng)造性。那么，教學(xué)就遵循著這樣的規(guī)律去創(chuàng)造和開(kāi)發(fā)吧，讓兒童擁有新眼光，善于新發(fā)現(xiàn)。

二、智理互促，教學(xué)要利于思維有新發(fā)展

數(shù)學(xué)起源于以認(rèn)識(shí)世界為目的的哲學(xué)，必然具有認(rèn)識(shí)世界所需的方法論。兒童數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的顯要標(biāo)志是解決問(wèn)題的思維與方法，而這也就是認(rèn)識(shí)世界的方法論視角。

明理能生智。“運(yùn)算能力”的培養(yǎng)上，在理解運(yùn)算的基本知識(shí)、理清數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)上，能夠抓關(guān)鍵、靈變換、簡(jiǎn)過(guò)程、優(yōu)運(yùn)算，生發(fā)出驚艷的智慧之花。對(duì)于如64+72×8這樣的計(jì)算，如果以基礎(chǔ)算法，先乘后加，按步計(jì)算得結(jié)果。但如果能對(duì)數(shù)理理解清晰，則會(huì)生發(fā)64+9×8×8，得到64+9×64，進(jìn)而得到10個(gè)64是640的巧妙算法。顯然在這過(guò)程中，需要的是數(shù)感、口算水平以及對(duì)乘法分配律算理的深入理解，對(duì)于數(shù)理的透徹理解，捕捉住隱匿聯(lián)系，促進(jìn)方法活用，顯現(xiàn)優(yōu)化的計(jì)算能力，這就是思維水平的提升，形成智慧火花。

“空間能力”的培養(yǎng)上，在理解圖形的基本概念、掌握?qǐng)D形間相互關(guān)系基礎(chǔ)上，能夠靈活變換、簡(jiǎn)約過(guò)程。

面對(duì)如圖1的陰影部分面積計(jì)算的問(wèn)題，按常規(guī)計(jì)算辦法，陰影部分的面積應(yīng)是用梯形的面積去掉空白部分三角形的面積，即（9+14）×11÷2-9×11÷2。但細(xì)察發(fā)現(xiàn)，陰影部分的兩個(gè)三角形等高，如圖2所示，可以把陰影的兩個(gè)三角形轉(zhuǎn)化為一個(gè)大三角形，直接由14×11÷2得到最后的結(jié)果。這是對(duì)平行線的性質(zhì)、等底等高三角形的面積相等等圖形之理明晰的基礎(chǔ)上，生發(fā)出的巧妙方法。優(yōu)化的方法中，我們可以看到，由各圖形面積計(jì)算的方法（認(rèn)知），分析圖形間的聯(lián)系（明理），形成判斷、運(yùn)用策略、優(yōu)化方法、發(fā)展思維（成智）。

從這里的數(shù)與形的兩個(gè)案例中，我們可以感悟到，數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在之理的透徹理解，優(yōu)化方法策略，促進(jìn)思維發(fā)展、智慧生發(fā)。

反之，人們的智慧提升又進(jìn)一步促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展。幾何學(xué)發(fā)展歷程，從歐式幾何的概念必須建立于現(xiàn)實(shí)常識(shí)到非歐幾何概念建立于邏輯公理，甚至有些概念有悖于人們對(duì)熟知世界的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)的自由表現(xiàn)掙脫了現(xiàn)實(shí)的束縛，人類的思想可以無(wú)限制、無(wú)邊界的向外拓展，但無(wú)界的思想?yún)s有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫛Ｈ缃駧缀螌W(xué)的概念、結(jié)論早已與是否符合客觀實(shí)際無(wú)關(guān)，只要它符合邏輯推理。這就是典型的人的智慧促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，目前看，不管數(shù)學(xué)的發(fā)展如何分支，但數(shù)學(xué)整體一致，結(jié)果相互協(xié)調(diào)，蘊(yùn)含著真理的內(nèi)涵。

三、智理互化，教學(xué)需啟迪心智新成長(zhǎng)

和所有知識(shí)一樣，數(shù)學(xué)知識(shí)是人所創(chuàng)造的，必將帶著人文的底色。一方面，是人創(chuàng)造了數(shù)學(xué)知識(shí)，經(jīng)過(guò)不斷遴選形成較為完善的學(xué)科體系，構(gòu)成學(xué)生學(xué)習(xí)成長(zhǎng)的載體，數(shù)學(xué)知識(shí)凝結(jié)著人類的智慧、思想與精神。另一方面，形成的數(shù)學(xué)學(xué)科又以獨(dú)特的內(nèi)涵思想、理性力量重塑人的自身。這樣的主體之“智”與載體之“理”互化就體現(xiàn)了人文的兩個(gè)維度，即以人創(chuàng)文，文以化人。數(shù)學(xué)化人的角度是獨(dú)特的、理性的，帶著生動(dòng)、深刻的意味。

對(duì)于用“數(shù)手指”輔助做算術(shù)題，較多小學(xué)低年級(jí)的教師認(rèn)為不可取，他們認(rèn)為這種方法可能對(duì)孩子的計(jì)算造成心理上的“手指依賴”，從而導(dǎo)致淺于數(shù)理分析、弱于口算技能，不利于培養(yǎng)孩子的數(shù)感，因而在一開(kāi)始即嚴(yán)格按照數(shù)的分合等來(lái)開(kāi)展算術(shù)教學(xué)，同時(shí)不允許學(xué)生“數(shù)手指”。但對(duì)于心智發(fā)展稍微延后的兒童，與其限制造成的躲躲閃閃、欲“數(shù)”還休，還不如科學(xué)地利用好天然“工具”來(lái)更好地進(jìn)行計(jì)算。從一開(kāi)始的“掰手”數(shù)指進(jìn)行計(jì)算，即邊掰手指，邊看邊數(shù)完成算術(shù)運(yùn)算;逐步到“背手”數(shù)指進(jìn)行計(jì)算，即把小手放在自己的背后，可伸撥手指，通過(guò)思考而不是直接看著手指幫助完成運(yùn)算;最后“想手”數(shù)指進(jìn)行計(jì)算，即在自己的腦海中形成“手指表象”來(lái)完成算術(shù)運(yùn)算。這三個(gè)階段也正是孩子經(jīng)歷從具象到表象，再到抽象的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程中，還可以通過(guò)“5”這一數(shù)字滲透初步的“整體”意識(shí)。

人生各有差異，這是客觀的，也是這個(gè)世界豐富多彩的原因。運(yùn)算結(jié)果雖一致，但過(guò)程方法各不同。在不同的過(guò)程中尋求啟迪心智成長(zhǎng)的普遍方法。數(shù)學(xué)化理成智的過(guò)程是獨(dú)特的，從直觀到抽象，從特殊到一般，啟迪智慧，發(fā)展心智。

面積和長(zhǎng)度、角度、體積一樣，除了測(cè)量對(duì)象的維度不同，其“確定單位、測(cè)量對(duì)象、得到結(jié)果”的思維本質(zhì)是一樣的。長(zhǎng)度的測(cè)量，是用一段規(guī)定的、已知的單位長(zhǎng)度去不重疊地依次測(cè)量多次，然后把所量的幾段長(zhǎng)度相加得到最后的結(jié)果。與此類似，面積的測(cè)量則是用一塊規(guī)定的、已知的單位面去不重疊地依次覆蓋所要測(cè)量的面，然后相加得到最后的結(jié)果。這樣的先“1”后測(cè)，這樣的“有限可加性”揭示著數(shù)學(xué)測(cè)量的本質(zhì)意義，這個(gè)數(shù)以多少為合適、用哪個(gè)單位作表征，說(shuō)到底只不過(guò)是根據(jù)測(cè)量所要解決什么樣的問(wèn)題而定。如此“定單位、去測(cè)量、得結(jié)果”的測(cè)量意識(shí)、認(rèn)知與能力就是人們生存、生活的一種基本素養(yǎng)，成為觀察與認(rèn)識(shí)世界的普適眼光與解決問(wèn)題的基本能力，這也就是為什么要人人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、人人都要具備基本數(shù)學(xué)眼光的道理所在。數(shù)學(xué)化理成智的視角是普適的，心智的成長(zhǎng)就是面對(duì)新問(wèn)題時(shí)的方法遷移解決的過(guò)程。

未來(lái)已來(lái)。以不確定性為特征的時(shí)代呼喚創(chuàng)新型人才的要求，我們的應(yīng)答就是基于學(xué)科來(lái)育人、樹(shù)人。華為創(chuàng)始人任正非所言“未來(lái)就在小學(xué)教師的講臺(tái)上”，雷霆之語(yǔ)折射出的是培養(yǎng)什么樣的人、怎樣培養(yǎng)人這樣的本源追問(wèn)。數(shù)學(xué)教師立足課堂主陣地，豐富開(kāi)放的生動(dòng)智慧，嚴(yán)謹(jǐn)普適的深刻理性，教學(xué)過(guò)程體現(xiàn)著華東師范大學(xué)汪曉勤所倡的“知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂(lè)、能力之助、文化之魅、德育之效”。以數(shù)學(xué)之理培育兒童之智，從而讓數(shù)學(xué)教育創(chuàng)造屬于未來(lái)的生命之美。