陳燈 劉楊

摘 ?要：“數(shù)學(xué)模型思想”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》新增的核心概念之一，文章就課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)的內(nèi)涵進行理解，嘗試提出一些培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)的途徑和策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型;教育價值;策略

一、“數(shù)學(xué)模型”的含義

數(shù)學(xué)建模，即把在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的煩瑣知識點以及解決問題中的實際問題進行提煉、總結(jié)，抽象為數(shù)學(xué)模型、求出模型的解、驗證模型的合理性，最終形成解決問題的模型這一過程就是“數(shù)學(xué)建?！?。張奠宙教授認(rèn)為：“廣義地講，數(shù)學(xué)中各種基本概念和基本算法，都可以叫作數(shù)學(xué)模型。加減乘除都有各自的現(xiàn)實原型，它們都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實原型作為背景抽象出來的。但是，按通行的比較狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)和數(shù)學(xué)關(guān)系的結(jié)構(gòu)才可稱為數(shù)學(xué)模型。例如，平均分派物品的數(shù)學(xué)模型是分?jǐn)?shù);元角分的計算模型是小數(shù)的運算;1000人的學(xué)校里一定有兩個人一起過生日，其數(shù)學(xué)模型就是抽屜原理”。數(shù)學(xué)模型是運算定律、數(shù)學(xué)符號以及數(shù)學(xué)式子對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的簡化描述，是在知識本質(zhì)理解的基礎(chǔ)上，加以抽象、概括后，進而用簡化的數(shù)學(xué)符號和語言描述出相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

二、“數(shù)學(xué)模型”的教育價值

（一）數(shù)學(xué)建模有利于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的價值和作用

數(shù)學(xué)建模為學(xué)生創(chuàng)造主動學(xué)習(xí)的契機，開啟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新方式，經(jīng)歷綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強對數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的理解;讓學(xué)生深刻體會數(shù)學(xué)與日常生活以及其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生在解決實際問題中體會到數(shù)學(xué)的價值與作用，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣得以激發(fā)，從而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。

數(shù)學(xué)模型與知識本質(zhì)是一種反映與被反映的關(guān)系，知識本質(zhì)中包含著許多瑣碎的、零散的知識點，這些知識點相互影響而且呈現(xiàn)著錯綜復(fù)雜的關(guān)系，通過總結(jié)、歸納構(gòu)建模型。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型也就是簡化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的知識點，舍棄無關(guān)的、瑣碎的知識，把主要知識點加以純化，讓知識本質(zhì)得以聯(lián)系，即梳理出主要知識點的關(guān)系，首先必須對原始知識做必要的、適度的簡化假設(shè)，而后運用相關(guān)數(shù)學(xué)分析的方法，用簡化的數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號對知識本質(zhì)的聯(lián)系進行描述。數(shù)學(xué)模型可以提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識清晰、準(zhǔn)確的認(rèn)識和理解，對數(shù)學(xué)的表達(dá)和交流提供更加有效的途徑，也為解決數(shù)學(xué)問題提供重要的工具。

（二）數(shù)學(xué)建模有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的改善

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并不是單純地解決數(shù)學(xué)問題，它是一個具有邏輯性的、綜合性的過程，它具有過程性、搜索性、活動性、問題性等特點，有利于改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型過程中，用到的學(xué)習(xí)方式通常有：信息技術(shù)輔助學(xué)習(xí)方式、開放式學(xué)習(xí)方式、合作式學(xué)習(xí)方式、小課題學(xué)習(xí)方式。

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是研究人類社會實際問題和自然界的一般方法，也是數(shù)學(xué)理論研究的一種經(jīng)典方法，數(shù)學(xué)模型思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)建模一般按以下幾步進行：第一步，對知識本質(zhì)進行分析、概括，建立起連接知識本質(zhì)的模型;第二步，對相關(guān)數(shù)學(xué)模型進行推理和演算，根據(jù)已知的數(shù)據(jù)或條件對模型求解，進而求得數(shù)學(xué)模型的解;第三步，把所得的解代入數(shù)學(xué)模型，進一步驗算數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建?；顒邮怯蓭讉€人組成的小組來開展的，大家密切配合，集思廣益，取長補短，分工合作，可以激發(fā)學(xué)生共同討論問題，集體公關(guān)的協(xié)作精神，并利用集體的智慧選擇最佳方案。

（三）數(shù)學(xué)建模有利于學(xué)生理解、掌握知識的本質(zhì)

學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程中多種能力都能得以提升，學(xué)生在活動過程中理解、掌握有關(guān)知識、技能，有利于學(xué)生理解、掌握知識的本質(zhì)，感悟模型思想的本質(zhì);使學(xué)生更有思想、方法，積累一些活動經(jīng)驗，在幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識，其情感態(tài)度（如興趣、自信心、科學(xué)態(tài)度等）也得以提升。

學(xué)生在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的活動中，其對數(shù)學(xué)思想方法的理解也更深一層，學(xué)生調(diào)動原有的知識經(jīng)驗嘗試解決新問題，就是同化新知識并構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模式的過程，在做數(shù)學(xué)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)、交流數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)的過程中，原有的知識儲備在學(xué)生的主動調(diào)用下得到進一步理解，并主動將各部分知識加以聯(lián)想整合，原本獨立的知識體系在這一過程中也變得更加完整，進而統(tǒng)一。

三、培養(yǎng)小學(xué)生“數(shù)學(xué)模型”素養(yǎng)的策略

作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一個重要數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)工具，“數(shù)學(xué)建模”不僅是對現(xiàn)實中的某一特定數(shù)學(xué)對象和規(guī)律進行分析與展示，還能在此基礎(chǔ)上開展一些必要的假設(shè)與簡化，以此來形成一種獨到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，同時該教學(xué)手段也能夠有效地提升小學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（一）理解知識本質(zhì)，樹立建模意識

1. 挖掘課本素材，激發(fā)建模意識

數(shù)學(xué)教育思想在新的教育形勢下也悄然發(fā)生著改變，由此新的教材內(nèi)容教學(xué)方法以及數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的制定也得以更改。例如在教學(xué)《雞兔同籠》時，教師首先可以讓學(xué)生用列表法解答問題，同時讓學(xué)生體會當(dāng)數(shù)量很多的時候用列表法有一定的局限性。這時順勢出示假設(shè)法，把雞假設(shè)成兔子，這樣建立模型時學(xué)生就比較容易接受。在教學(xué)“雞兔同籠”這一經(jīng)典課例中，教師一般都是引導(dǎo)學(xué)生以“雞”或“兔”的角度來思考，通常先假設(shè)都是兔子，待學(xué)生解釋清楚這種方法的步驟，又可以讓學(xué)生假設(shè)全部都是雞來解決這道題。經(jīng)過這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)不管是假設(shè)都是兔子，還是假設(shè)都是雞，我們的數(shù)學(xué)模型都是一樣的，讓學(xué)生感受基本的數(shù)學(xué)模型。

2. 溝通知識運用，增強應(yīng)用意識

數(shù)學(xué)應(yīng)用已成為廣大數(shù)學(xué)教育工作者的共識，數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的改革，呼喚數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)質(zhì)量。例如“長方形的周長”教學(xué)，長方形的周長公式是長與寬的和乘2，而在學(xué)生初次學(xué)習(xí)長方形周長時部分學(xué)生習(xí)慣用“長×2加寬×2”，這種普遍情況主要是由于學(xué)生對長方形的特征理解不深刻造成的。教師可以借助實物以及圖形來輔助學(xué)生理解長方形模型，充分理解長方形的四條邊可以分為兩組，每組分別為一條長和一條寬，要求長方形的周長只需求出一組長和寬的和，再乘2。從長方形的特征本質(zhì)去理解長方形周長公式，在理解知識的過程中逐步樹立建模意識，隨著學(xué)生理解能力的提升，教師應(yīng)對學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識有更高的要求，提升數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)。

（二）設(shè)計數(shù)學(xué)活動，體會建模過程

幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程，教師應(yīng)抓住合適的時機，運用恰當(dāng)?shù)姆绞揭龑?dǎo)學(xué)生參與進來，經(jīng)歷整個構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程，通過觀察、操作、分析、概括等方式，其中最為核心的就是要讓學(xué)生親身經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程，從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生擁有真正的學(xué)習(xí)體驗。例如在教學(xué)《圓柱體積》時，如圖1，學(xué)生首先通過操作、分析以及多媒體教學(xué)軟件等手段的綜合應(yīng)用，理解將一個圓形轉(zhuǎn)化為一個近似長方形，進而溝通將一個圓柱轉(zhuǎn)化為長方體，滲透極限思想，在構(gòu)建圓柱體積公式的數(shù)學(xué)模型這一過程中，通過轉(zhuǎn)化原有的知識經(jīng)驗，實現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)變，從而找到思維策略背后所存在的共同性與差別性，最終構(gòu)建圓柱體積公式這一數(shù)學(xué)模型。這種用以往的舊知識轉(zhuǎn)化出新知識的學(xué)習(xí)方式，是一種數(shù)學(xué)模型搭建過程中的催化劑，也會對小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型進行體驗與提煉，還能幫助與支撐整體的構(gòu)建理性的提升。

（三）利用多種方式，理解數(shù)學(xué)模型

小學(xué)階段的模型思想的教學(xué)，作為學(xué)生建模的初級階段十分重要，應(yīng)當(dāng)抓住合適的時機、利用適當(dāng)?shù)膬?nèi)容、采取合適的方式讓學(xué)生來體驗和感悟模型思想，經(jīng)歷構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程，如教學(xué)：長方形、正方形的周長、面積計算，三角形內(nèi)角和的計算，長方體、正方體的棱長、表面積、體積計算，圓的周長、面積計算。而幾何公式的教學(xué)都以認(rèn)識特征為基礎(chǔ)——從二維圖形到三維圖形，從直邊到曲邊，學(xué)生對于公式的探索都是建立在對構(gòu)成圖形的特征要素的充分認(rèn)知的基礎(chǔ)之上，同時更多地以溝通聯(lián)系為手段——構(gòu)建公式總是要研究長方形、正方形或長方體、正方體的周長、面積、體積與長寬（高）之間的聯(lián)系，研究內(nèi)角和與三個內(nèi)角之間的聯(lián)系，研究圓周長、面積和圓半徑、直徑之間的聯(lián)系，以此形成模型。

（四）借助已有經(jīng)驗，提升建模能力

學(xué)生的生活經(jīng)驗、活動經(jīng)驗是學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型、認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的重要前提，能提供強勁的數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)動力，啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。例如，在教學(xué)“行程問題”時，學(xué)生構(gòu)建行程問題的數(shù)學(xué)模型思想過程中，教師通常運用一段學(xué)生切身經(jīng)歷來喚起學(xué)生的生活記憶：“甲乙兩車同時從A、B兩地相對開出，甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時，幾小時后在距中點40千米處相遇？A、B兩地相距多少千米？”對這個問題，學(xué)生是有一定的生活經(jīng)驗的，首先可以讓學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗用語言描述甲乙兩車的行駛路程是怎樣的，理解“同時、相對、中點”等重要詞語的意思，再通過畫線段或示意圖的方式來表達(dá)甲乙兩車行駛的過程，讓學(xué)生通過畫圖的方式結(jié)合已有的生活經(jīng)驗描述甲乙兩車的行駛路線，最終充分利用已有的生活經(jīng)驗來完成相應(yīng)的數(shù)學(xué)解析。

四、小結(jié)

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程，本質(zhì)就是“數(shù)學(xué)化”的過程，這種“數(shù)學(xué)化”不是抽象的“形而上”的，也不是空洞的“形式化”的，而是站在數(shù)學(xué)的視角去觀察、分析、解決問題。“數(shù)學(xué)建?！爆F(xiàn)已成為新課程改革的一個重要方向和關(guān)鍵性內(nèi)容，教師需要引起高度重視，對數(shù)學(xué)建模策略進行深入研討和總結(jié)歸納。