郭婭娟 王茜 周揚

摘 ?要：數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)學(xué)科形成與發(fā)展的基礎(chǔ)，不僅是溝通現(xiàn)實的橋梁，也是公民應(yīng)當(dāng)具備的基本素養(yǎng)之一。文章重點探討在小學(xué)階段，借助數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，在日常課堂教學(xué)實踐中感受數(shù)學(xué)抽象，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象;小學(xué)數(shù)學(xué);概念;課堂實踐;培養(yǎng)策略

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（簡稱《標(biāo)準(zhǔn)2011》）中給出了10個數(shù)學(xué)課程核心概念，與數(shù)學(xué)抽象密切相關(guān)的涵蓋了：數(shù)感、符號意識、空間觀念、運算能力、模型思想和應(yīng)用意識。當(dāng)前我國數(shù)學(xué)抽象研究較為單一，將數(shù)學(xué)抽象與素養(yǎng)培養(yǎng)的結(jié)合研究甚少，因此對一線的數(shù)學(xué)教師而言，尤其在實踐領(lǐng)域具有很大的研究空間。

一、對“數(shù)學(xué)抽象”“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”及培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”的理解

“數(shù)學(xué)抽象”在《數(shù)學(xué)辭?！さ诹怼分薪缍閿?shù)學(xué)哲學(xué)的基本概念，定義為“抽取出同類數(shù)學(xué)對象的共同的、本質(zhì)的屬性或特征，舍棄其他非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程”。

“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”的明確是在教育部《普通高中課程方案（2017版）數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，作為6個學(xué)科核心素養(yǎng)的第一位出現(xiàn)。其給出的定義是：“數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)?！?/p>

培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”在小學(xué)階段，就要借助課堂教學(xué)這一固定時間，利用教材中充分呈現(xiàn)“數(shù)學(xué)抽象”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，加強學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象意識的培養(yǎng)，從而真正內(nèi)化形成素養(yǎng)。

這三者之間既相互區(qū)別，又相互聯(lián)系。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的基礎(chǔ)內(nèi)容與理論支撐，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)會助推數(shù)學(xué)抽象的未來發(fā)展。

二、培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”的教育價值

（一）有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)有助于促進學(xué)生認(rèn)知思維的發(fā)展，更指向教育的本質(zhì)“育人”的目標(biāo)。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)概念抽象的過程，通過創(chuàng)設(shè)的情景化活動、直觀的手段，借助生活經(jīng)驗，有根據(jù)有條理地思考，以及對概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)整理，都將會對概念有更加本質(zhì)的理解及掌握。認(rèn)知思維作為學(xué)生能判斷會選擇，能理解會反思，能總結(jié)會歸納的學(xué)習(xí)方式，為未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了堅實基礎(chǔ)，為其可持續(xù)發(fā)展提供了前提條件。

（二）為學(xué)生更好適應(yīng)未來生活提供支撐

布魯納認(rèn)為“任何學(xué)習(xí)行為的首要目的，在于它將能為我們服務(wù)，學(xué)習(xí)不但應(yīng)該把我們帶往某處，而且還應(yīng)該讓我們?nèi)蘸笤倮^續(xù)前進時更為容易?！泵鎸ξ磥砩鐣尸F(xiàn)出高度的信息化和數(shù)字化，背后一定是具有高級的數(shù)學(xué)抽象算法做支撐。那么面對未來生活，紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實場景、數(shù)以萬計的大數(shù)據(jù)信息，就更需要學(xué)生擁有良好知識的更新能力和創(chuàng)新能力，要更擅長概括、提煉現(xiàn)實中的問題，抽象地去多方面開辟自己思考問題的角度，并且從已知因素中發(fā)現(xiàn)新的線索，借助數(shù)學(xué)將事物的發(fā)展抽象化，提升預(yù)測的精確度，適應(yīng)世界的發(fā)展變化。

（三）深入研究能加速教師的專業(yè)化成長

教學(xué)研究作為教師專業(yè)化成長的重要手段，通過課堂實踐，有意識地去挖掘培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”的教學(xué)典型案例，主動探索背后的教學(xué)規(guī)律，研磨課堂組織形式以及實踐的效果，再用研究出的具體化、可操作化的方式用于指導(dǎo)新的教學(xué)實踐。如此循環(huán)往復(fù)，對“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”培養(yǎng)的課堂實踐研究，也是提升教師自身“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”的水平的過程，也會促進教師自身專業(yè)化水平發(fā)展。

三、借助數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”的課堂實踐策略

數(shù)學(xué)概念作為反映數(shù)量之間關(guān)系以及空間形式的特定數(shù)學(xué)思維形式，與數(shù)學(xué)抽象思維過程密不可分，形成數(shù)學(xué)概念的過程就是完整經(jīng)歷“數(shù)學(xué)抽象”的過程。在小學(xué)階段，大量用“不完全歸納”得出的概念定義，就更充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)高度“抽象”性，借助課堂上對小學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，通過對數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)認(rèn)識、理解和應(yīng)用，在頭腦中形成數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓其思維從形象思維逐漸過渡到抽象邏輯思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)就水到渠成。

（一）重現(xiàn)概念形成的感知，借助“數(shù)學(xué)抽象”建立對應(yīng)表象

數(shù)學(xué)概念在小學(xué)教科書中的呈現(xiàn)，雖然經(jīng)過編者的處理變得較為形象直觀，但是本身的抽象性，還是需要我們用情景化的活動過程，在概念形成的過程中，借助反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的圖片、教具的呈現(xiàn)、學(xué)具的操作，為學(xué)生提供豐富典型的感性材料，在頭腦中建立所學(xué)知識的表象，賦予數(shù)學(xué)概念充分的現(xiàn)實意義。

例如《方程的意義》是小學(xué)生認(rèn)知過程中的重大飛躍，是完整概念教學(xué)的體現(xiàn);是在學(xué)生掌握用字母表示數(shù)、表示數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)上，借助天平這一學(xué)具，充分利用具體問題情境和直觀形象的感知活動逐步建立起等式和方程的概念，在大量感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上概括方程的本質(zhì)屬性，將認(rèn)知引向更加抽象概括的水平。再如面對A-B-C=A-（B+C）減法性質(zhì)的理解，將運算順序還原到現(xiàn)實生活，賦予“王老師有A元，購買漢堡用去B元，買冰激凌用去C元”的購物場景，聯(lián)系學(xué)生付錢的生活經(jīng)驗就不難理解了，更為重要的是幫助學(xué)生理解了運算順序規(guī)定的合理性和必要性。

做好概念形成的設(shè)計，讓學(xué)生在體驗中不斷獲得抽象概念的現(xiàn)實表象，降低數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)的“門檻”，減少理解的困難，也要注意處理好關(guān)系，避免始終停留在表象的狀態(tài)。

（二）加深概念同化的理解，對“原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)”再次“抽象”

數(shù)學(xué)概念作為構(gòu)建嚴(yán)密邏輯聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的基本元素，其前后之間的聯(lián)系是密切的，就如“數(shù)”概念的認(rèn)識，就是按照分類、分段有序展開的。

學(xué)生對整數(shù)概念的認(rèn)識，是從“20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識—100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識—10000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識—大數(shù)的認(rèn)識”不斷螺旋上升的，循序漸進地形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。每一個新內(nèi)容的學(xué)習(xí)都要充分借助原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提供學(xué)生用眼觀察、用腦思考、用口表達(dá)、用手操作的機會，不斷經(jīng)歷從單根、整十、整百和整千的數(shù)數(shù)，用計數(shù)器上不同數(shù)位的珠子代替，加深學(xué)生對計數(shù)單位“一”“十”“百”的理解，建立清晰的數(shù)概念，讓學(xué)生獲得系統(tǒng)化的數(shù)概念知識。

同時，借助概念的“同化”，還可對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的再次抽象。例如在認(rèn)識“負(fù)數(shù)”過程中，對這一類生活中雖然見到過，但是無法找到同負(fù)數(shù)相關(guān)聯(lián)的舊知識，就要適當(dāng)在教學(xué)中，拋出“負(fù)數(shù)是真的存在數(shù)嗎？它是如何產(chǎn)生的？”引發(fā)對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的沖突，不僅生動又具有吸引力，完善“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”大大提高課堂教學(xué)效率，再順應(yīng)成為新的理解，充實和完善已有的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)。

（三）辨析概念的本質(zhì)屬性，“感性經(jīng)驗”上升到“理性認(rèn)識”

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，比是非常重要的概念，是學(xué)生針對原本已經(jīng)抽象的數(shù)學(xué)對象（數(shù)量），再深入地研究它們之間的關(guān)系（即數(shù)量與數(shù)量關(guān)系），其研究屬于符號層面的數(shù)學(xué)抽象，具有較高的研究價值。

建立“比”的概念時，不能簡單地把“比”當(dāng)作“兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比”去學(xué)習(xí)，而應(yīng)當(dāng)將其與“除”的概念進行比較，要區(qū)分出為什么在“除法”“分?jǐn)?shù)”之外，還要出現(xiàn)“比”。這一個借助從“倍數(shù)關(guān)系—變化中的不變關(guān)系—用比來代表新的量”不斷辨析概念的本質(zhì)屬性的過程，就是逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的過程，讓學(xué)生從“感性經(jīng)驗”上升到“理性認(rèn)識”，闡明了“不同類量的比例關(guān)系是變量之間的一種函數(shù)關(guān)系”，最終達(dá)成培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的目的。

（四）不同層面概念的推廣，“形象直觀”與“抽象概況”結(jié)合

在課堂實踐中，概念的理解要注意避免通過單一情景就直接得出結(jié)論，也要避免不考慮具體情景，就直接進行形式化的概括。為了更好地引導(dǎo)學(xué)生從多角度思考、多方面探索，感受由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般，由相對具體到相對抽象的過程，常常在概念梳理完畢后的緊跟環(huán)節(jié)“辨析”，通過列舉出不同的正例和反例來判定，深化概念的理解，培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)。

例如在學(xué)習(xí)“三角形內(nèi)角和是180°”之后，除了給出三個角的度數(shù)，判斷是否組成三角形外，還讓學(xué)生解決類似問題“如果一個三角形最小的內(nèi)角是46°，那么按角分類，它是什么三角形？”這一個復(fù)雜的問題情景，也可以促進學(xué)生對抽象概念的真正理解，運用得出結(jié)論。

四、小結(jié)

總之，教師在幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)抽象的同時，讓學(xué)生能從數(shù)學(xué)抽象的角度感受自身素養(yǎng)的提升，從數(shù)學(xué)抽象思維中體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義與重要性，從而使數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)得到完善。