王群　李嘯

摘要：蘇教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)口算、估算”是小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的基礎(chǔ)課例，很多教師在執(zhí)教本節(jié)課時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生已經(jīng)掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的口算方法，于是教師在教學(xué)時(shí)容易直接拋出計(jì)算方法便進(jìn)入練習(xí)環(huán)節(jié)。此舉無法讓學(xué)生充分經(jīng)歷算理的體驗(yàn)過程，無法落實(shí)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。教師采用“漸進(jìn)式”教學(xué)策略，通過層次性教學(xué)設(shè)計(jì)，引發(fā)、維持并促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，從而較好地幫助學(xué)生理解算理、掌握算法，并學(xué)會(huì)靈活地運(yùn)用新知。

關(guān)鍵詞：“漸進(jìn)式”;運(yùn)算教學(xué);思維課堂

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，讓學(xué)生具備數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)。由此可見，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的落腳點(diǎn)。由于數(shù)學(xué)思維的有序性及內(nèi)隱性特征，教學(xué)活動(dòng)須遵循數(shù)學(xué)思維的一般規(guī)律，由簡入繁，層層遞進(jìn)地展開，體現(xiàn)出循序漸進(jìn)的教學(xué)特點(diǎn)（以下簡稱“漸進(jìn)式”）。本文以蘇教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》三年級(jí)下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)口算、估算”的教學(xué)為例，用“漸進(jìn)式”教學(xué)策略說明在運(yùn)算教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的思維。

一、“漸進(jìn)式”教學(xué)策略的基本內(nèi)涵

“有序性”及“層次性”是思維活動(dòng)的核心特征。以兒童思維為例，它具有獨(dú)特的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律，而數(shù)學(xué)學(xué)科又具備高度抽象性和邏輯性。因此，“漸進(jìn)式”教學(xué)策略要求教師遵循兒童思維循序漸進(jìn)的規(guī)律，精心設(shè)計(jì)、組織教學(xué)，旨在引導(dǎo)其經(jīng)歷自主建構(gòu)的學(xué)習(xí)過程，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的優(yōu)化和提升。

另一方面，“漸進(jìn)式”也是一種學(xué)習(xí)方式。它是指學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體，通過觀察操作、合作交流、歸納辨析等層次性活動(dòng)來激活并提升思維的認(rèn)知方式，有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)“四能”，形成積極樂觀的數(shù)學(xué)情感。

二、“漸進(jìn)式”運(yùn)算教學(xué)的實(shí)施途徑

（一）借助直觀模型，構(gòu)筑運(yùn)算的思維載體

一般來說，兒童思維具有直觀形象的特征，因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要從他們的基本經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，將舊知鋪墊與情境創(chuàng)設(shè)巧妙融合，借直觀模型，構(gòu)筑運(yùn)算思維的載體，在直觀思維的“生長點(diǎn)”處培育抽象思維。

【片段1】創(chuàng)設(shè)情境：熊大和熊二在森林里種了一些果樹。每行2棵，有10行，一共要種多少棵樹苗？

師設(shè)問：根據(jù)題中的已知條件和所求問題，你能列出怎樣的算式？（如圖1所示）

生回答：2×10=20（棵）

師追問：為什么用乘法？

生明確：表示2個(gè)十是多少，用乘法來計(jì)算。

師出示課件，將10棵樹苗圈成一圈。（如圖2所示）

師小結(jié)：求2個(gè)十是多少用乘法計(jì)算。

師：結(jié)合計(jì)數(shù)器來看，這一個(gè)珠子應(yīng)該撥在哪一位上？（如圖3所示）創(chuàng)設(shè)情境：他們覺得蘋果真好吃，于是又種了一些，看！你還了解到什么？該怎么列式？（如圖4所示）

生：12×10。

師追問：為什么也用乘法？

生明確：求12個(gè)十是多少，也用乘法計(jì)算。

師揭題：今天我們的研究從12乘10開始，學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)。

評(píng)析：理解算式意義是形成算理的根本前提。在學(xué)生掌握2×10的意義時(shí)，需從直觀形象出發(fā)逐步進(jìn)行抽象概括。首先觀察情境圖，樹苗以10棵為單位呈現(xiàn)，學(xué)生初步形成10個(gè)“一”是一個(gè)整體的表象;接著借助計(jì)數(shù)器，這個(gè)整體被進(jìn)一步抽象為1個(gè)“十”。課堂上通過對(duì)計(jì)數(shù)單位形成過程的重演，讓學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位的優(yōu)化有直觀的感知，進(jìn)而理解12×10表示12個(gè)十的內(nèi)涵，為后續(xù)探索12×10的算理孕伏，促進(jìn)抽象思維的孵化。

（二）創(chuàng)設(shè)探究空間，推進(jìn)運(yùn)算的思維優(yōu)化

“漸進(jìn)式”運(yùn)算教學(xué)是以培養(yǎng)和優(yōu)化學(xué)生思維為目的，這必然要求課堂有充分的“留白”供學(xué)生自由揮灑，這也要求教師能有條不紊地創(chuàng)設(shè)探究空間，使學(xué)生在自主操作中建構(gòu)，讓思維在觀察辨析中優(yōu)化，由淺入深地促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力的提升。

【片段2】教師提出問題：12乘10等于多少？該怎么算？教師根據(jù)學(xué)生的算法，酌情板書：先算12乘1，再在末尾添0。

師啟發(fā)：為什么可以直接添0？

生明確：用一個(gè)圓點(diǎn)代替一棵樹，在點(diǎn)子圖上研究12乘10的計(jì)算道理，關(guān)注算法提醒。（如圖5所示）

學(xué)生獨(dú)立思考后交流，側(cè)重歸納如下計(jì)算思路。

生1 ：10×10=100，2×10=20，100+20=120（如圖6所示）。

教師結(jié)合點(diǎn)子圖引導(dǎo)：這一部分是幾個(gè)十？加上20是幾個(gè)十？

生2：把12分成6和6，6×10=60，60+60=120。

教師結(jié)合點(diǎn)子圖引導(dǎo)：幾個(gè)十是60，乘2還是幾個(gè)十？

生3：12乘10就表示12個(gè)十，是120。

板書：12×10? →12 個(gè) 十

對(duì)比分析：這些方法有什么共同的地方？

學(xué)生反饋小結(jié)：都轉(zhuǎn)化為12個(gè)十來計(jì)算。

比較優(yōu)化：哪種方法能直接看出12個(gè)十？

生明確：1個(gè)十、1個(gè)十地圈，能將12乘10直接轉(zhuǎn)化為12個(gè)十來計(jì)算。

回顧研究過程：12乘10最終被轉(zhuǎn)化為12乘1個(gè)十，計(jì)數(shù)器的十位該撥幾個(gè)珠子？

生1：12個(gè)珠子，表示12個(gè)十。

生2：也就是120。

評(píng)析：“漸進(jìn)式”運(yùn)算教學(xué)的過程，是學(xué)生在自身需求發(fā)展中的自主建構(gòu)過程。這就要求教師給予充分的空間，使學(xué)生在操作體驗(yàn)中逐步完成思維的發(fā)展過程，在不露痕跡中理解算理，形成算法。在探索12×10的算理時(shí)，教師不應(yīng)過早抽象出最優(yōu)算法，而應(yīng)讓學(xué)生先“退”回思維起點(diǎn)，用已有認(rèn)知解決新問題，充分暴露學(xué)生的原生態(tài)思維。而后再組織學(xué)生在觀察、分析、比較、歸納、推理等教學(xué)活動(dòng)中“進(jìn)”到思維深處。在探究、優(yōu)化過程中，學(xué)生體會(huì)到計(jì)數(shù)單位的結(jié)構(gòu)化特征，實(shí)現(xiàn)抽象思維的銳化。

（三）促進(jìn)認(rèn)知沖突，理清運(yùn)算的思維邏輯

根據(jù)皮亞杰心理發(fā)展理論，學(xué)生形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有一定的穩(wěn)定性，但教師引入的情境若已超出學(xué)生的原認(rèn)知系統(tǒng)，且學(xué)生間認(rèn)知水平存在差異，這必然會(huì)導(dǎo)致一系列認(rèn)知沖突的產(chǎn)生。因此，“漸進(jìn)式”運(yùn)算教學(xué)要求學(xué)生不斷與外界充分交互，吸納新圖式;而教師則需充分放大認(rèn)知沖突，提供支架，幫助學(xué)生在“憤悱”間理清運(yùn)算的思維邏輯，聚焦思維的裂變和升華。

【片段3】導(dǎo)入新情境：摘好的蘋果都裝在同樣大的筐里，足足有60 筐，熊大邀請(qǐng)了200多名小動(dòng)物參加派對(duì)，如果每個(gè)小動(dòng)物分一個(gè)蘋果夠不夠分？還需要知道什么？

生1：每筐蘋果的個(gè)數(shù)，然后乘以60。

生2：每筐蘋果的個(gè)數(shù)可能不一樣。

師追問：那該怎么辦？

生3：數(shù)一數(shù)每筐的個(gè)數(shù)，然后相加。

生4：那太麻煩了。其實(shí)，每筐里的蘋果數(shù)都差不多，有的比30多一點(diǎn)，有的比30少一點(diǎn)，我們可以把每筐蘋果的個(gè)數(shù)看作 30 個(gè)來估算。

教師組織學(xué)生獨(dú)立解答，并酌情板書：60×30=1800（個(gè)）。生明確：雖然估算的總個(gè)數(shù)與實(shí)際情況有差異，但能反映蘋果個(gè)數(shù)的大致情況。

評(píng)析：教學(xué)時(shí)，教師先出示不完整的問題情境，圍繞“夠不夠分”展開。由于學(xué)生的思維存在定勢，他們必然會(huì)想到用每筐個(gè)數(shù)乘60筐來求總數(shù)。之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)推想：由于每筐蘋果的個(gè)數(shù)可能不一樣，所以要把結(jié)果逐一相加，但這樣很麻煩。于是，認(rèn)知沖突自然產(chǎn)生。通過認(rèn)知沖突和教師引導(dǎo)，學(xué)生對(duì)估算價(jià)值及策略有了更深層次的理解，也讓思維層次更加清晰明朗，提升了思維的邏輯性。

（四）設(shè)立練習(xí)層次，深化運(yùn)算的思維實(shí)踐

根據(jù)加涅的信息加工學(xué)習(xí)理論，技能的學(xué)習(xí)是建立在認(rèn)知基礎(chǔ)之上的累積過程。學(xué)生在接收外界信息時(shí)，需要伴隨感知各種刺激元，讓知識(shí)和技能的存儲(chǔ)由表及里地逐步滲透。因此，“漸進(jìn)式”運(yùn)算教學(xué)在設(shè)計(jì)練習(xí)環(huán)節(jié)時(shí)，也應(yīng)當(dāng)考慮將各種刺激元進(jìn)行有層次的排列組合，從而幫助學(xué)生在充分理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，并學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用。而這一過程，恰是將內(nèi)隱的思維通過外顯的實(shí)踐方式推進(jìn)至縱深處。

【片段4】1.觀察對(duì)比，融“理”通“法”。

師：（出示幾組算式，讓學(xué)生說算理，師借機(jī)板書）

15×10? ? ?15乘1個(gè)十是150。

24×10? ? ?24乘1個(gè)十是240。

□□×10

生明確：在末尾直接添0來算，表示幾十幾個(gè)十。

13×20? ? ?13乘2個(gè)十是260。

14×20? ? ?14乘2個(gè)十是280。

□□×□0

提示：觀察這些算式，發(fā)現(xiàn)了什么？

明確算理：兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)都轉(zhuǎn)化為幾十幾個(gè)十來算。

掌握算法：把0前面的數(shù)先乘，有幾個(gè)0就在積的末尾添幾個(gè)0。

2.題組訓(xùn)練，鞏固算法。

32×10? ?10×55? ?30×80

70×20? ?30×70? ?60×90

20×50? ?20×90? ?50×90

3.游戲感知，完善建構(gòu)。

摘蘋果游戲：選出乘積末尾有兩個(gè)0的算式，男、女生各派一名代表上臺(tái)PK，最后同桌相互進(jìn)行游戲。

4.生活應(yīng)用。

創(chuàng)設(shè)情境：（出示一篇文章）如果每分鐘讀150個(gè)字，3分鐘能讀完嗎？

評(píng)析：此環(huán)節(jié)的練習(xí)設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了“漸進(jìn)式”運(yùn)算教學(xué)的層次藝術(shù)?？v觀整體設(shè)計(jì)，前兩道練習(xí)題主要鞏固算理，掌握運(yùn)算技能;后兩題主要將口算和估算技能運(yùn)用到實(shí)踐中，加強(qiáng)知識(shí)結(jié)構(gòu)化。就每道練習(xí)題設(shè)計(jì)而言，也具備層次性特征。先借題組分析歸納，幫助學(xué)生建立清晰的靜態(tài)表象，再通過游戲活動(dòng)將知識(shí)外化為技能，從而形成穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)表象，最后進(jìn)行綜合運(yùn)用。這樣的設(shè)計(jì)，由“扶”到“放”，讓學(xué)生的思維在循序漸進(jìn)的實(shí)踐中逐步走向深化。

三、“漸進(jìn)式”思維課堂的形成與發(fā)展

綜上所述，“漸進(jìn)式”運(yùn)算教學(xué)不僅要引導(dǎo)運(yùn)算思維的發(fā)生，還需維持思維發(fā)展并促其深化。而以“漸進(jìn)”為特征的思維課堂，不僅需要教師層次分明的設(shè)計(jì)，更需要學(xué)生充分的思維投入。在“漸進(jìn)式”課堂中，循序漸進(jìn)不僅是教學(xué)推手，更是發(fā)展學(xué)生思維，培育其核心素養(yǎng)的關(guān)鍵策略。

更進(jìn)一步地，“漸進(jìn)式”思維課堂是以尊重生命規(guī)律為基，精心設(shè)計(jì)遞進(jìn)式認(rèn)知活動(dòng)的數(shù)學(xué)課堂。經(jīng)過循序漸進(jìn)式教學(xué)的熏陶和浸潤，學(xué)生在潛移默化中掌握知識(shí)技能，學(xué)生的思維在無痕處延展漫溯。而“漸進(jìn)式”的教學(xué)過程不僅僅是引領(lǐng)建模的過程，也是利用模型深入探究的過程，更是緊扣原始經(jīng)驗(yàn)自我建構(gòu)的過程。在這個(gè)過程中，教師充當(dāng)組織者和引導(dǎo)者，學(xué)生成為課堂的主人，學(xué)生的思維引領(lǐng)課堂教學(xué)的流程與節(jié)奏。

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（責(zé)任編輯：韓曉潔）