丁 科 ，鄧宇龍 ，肖運(yùn)蔚

(1. 中南林業(yè)科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410004；2. 中南林業(yè)科技大學(xué) 工程流變學(xué)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410004；3. 湖南建工集團(tuán) 裝飾工程有限公司，長沙 410004)

隨著時(shí)間的推移，大部分結(jié)構(gòu)在使用過程中會出現(xiàn)不同程度的損傷，尤其是一些結(jié)構(gòu)經(jīng)常在超負(fù)荷的情況下服役，造成了構(gòu)件或部分結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷﹒縱使在正常使用情況下，隨著服役年限的增加，結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度也會有所下降，當(dāng)損傷達(dá)到一定程度時(shí)可導(dǎo)致結(jié)構(gòu)完全破壞﹒因此，及時(shí)對結(jié)構(gòu)進(jìn)行檢測和診斷，確定其損傷出現(xiàn)的位置以及損傷的程度，對于維護(hù)和確保結(jié)構(gòu)安全可靠是非常必要的﹒

結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷的根本原因在于組成結(jié)構(gòu)的構(gòu)件局部強(qiáng)度或剛度降低和質(zhì)量損失，其在結(jié)構(gòu)動力特性參數(shù)上的表現(xiàn)是結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)發(fā)生了改變﹒因此，可以根據(jù)系統(tǒng)的動態(tài)特性參數(shù)來對結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷定位﹒通?？梢愿鶕?jù)頻率、振型、模態(tài)應(yīng)變能、剛度矩陣、柔度矩陣、頻響函數(shù)、傳遞函數(shù)等參數(shù)來定位損傷位置﹒如Cawley[1]曾經(jīng)利用結(jié)構(gòu)損傷前后頻率的變化來確定損傷位置；Yuen[2]根據(jù)結(jié)構(gòu)損傷前后振型與特征值的比值來分析懸臂梁的損傷位置；張勇等[3]認(rèn)為曲率模態(tài)的微分對結(jié)構(gòu)損傷有較高的敏感性；Stutz 等[4]根 據(jù)響應(yīng)面模型和柔度矩陣，運(yùn)用粒子群優(yōu)化方法來求解損傷識別逆問題；鄭飛等[5]基于單元模態(tài)應(yīng)變能變化率提出了多位置損傷診斷的組合方法；張龍[6]以塑性率作為損傷參數(shù)來分析鋼筋混凝土框架損傷程度﹒

小波變換是在傅立葉變換(Fourier transform)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，克服了其不能作局部分析的不足，廣泛地應(yīng)用于圖像處理、語音識別、偏微分方程求解、故障診斷等方面﹒近20 年來，利用小波變換對信號奇異性處理的優(yōu)點(diǎn)，使其被逐步應(yīng)用到土木工程結(jié)構(gòu)損傷檢測中﹒郭健[7]分析了小波包能量特征提取方法，并通過耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法對損傷特征信息進(jìn)行融合用以確定損傷位置；管德清等[8]曾對運(yùn)用小波變換對單層平面框架結(jié)構(gòu)的應(yīng)變模態(tài)進(jìn)行處理，判斷框架裂縫位置；李洪泉等[9]運(yùn)用小波變換的尺度函數(shù)來判斷結(jié)構(gòu)損傷；Magdalena[10]的研究表明梁高階模態(tài)的小波變換對損傷具有較高的敏感性；楊佑發(fā)等[11-12]基于構(gòu)件損傷后固有頻率的一、二階靈敏度矩，通過混合迭代算法識別損傷位置；楊海鳴等[13]根據(jù)小波模極大值分布圖來確定結(jié)構(gòu)的損傷位置；鞠彥忠等[14]將小波去噪和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合進(jìn)行框架結(jié)構(gòu)的損傷識別﹒

本文主要考慮運(yùn)用小波變換對2 層框架結(jié)構(gòu)的曲率模態(tài)進(jìn)行處理，并分析不同工況下其對框架結(jié)構(gòu)損傷的識別能力﹒

1 小波變換基本理論

小波變換是20 世紀(jì)80 年代發(fā)展起來的一種數(shù)據(jù)處理工具﹒1981 年法國學(xué)者M(jìn)orlet 基于群論思想首次提出小波分析這一概念并成功運(yùn)用在地質(zhì)數(shù)據(jù)分析，由此引起了其他學(xué)者的廣泛關(guān)注和研究﹒1985 年，Meyer 提出了光滑的小波正交基；1986 年，Lemarie 在Meyer 的指導(dǎo)下提出了多尺度分析思想；1988 年，Daubechies 提出一系列具有緊支集的光滑正交小波基﹒此后，在Mallat 多分辨分析基礎(chǔ)上形成了快速小波算法，加快了小波變換在實(shí)際中的應(yīng)用﹒

則稱 Ψ (t)為小波母函數(shù)﹒引入伸縮和平移因子后，小波母函數(shù) Ψ (t)可以寫為：

其逆變換為：

工程中常用于損傷識別的小波函數(shù)有：Daubechies 系列小波、Morlet 小波、Symlets 系列小波、Meyer 小波等﹒

2 多層平面框架結(jié)構(gòu)損傷分析

多層平面框架結(jié)構(gòu)作為一個(gè)離散的多自由度的系統(tǒng)，其自由振動方程為：

式(6)表示系統(tǒng)無阻尼時(shí)的自由振動方程﹒運(yùn)用有限元分析軟件，可以獲取結(jié)構(gòu)的各階振型；然后根據(jù)中心差分公式，可以得到第r 階振型在第i個(gè)結(jié)點(diǎn)處的模態(tài)曲率：

第1 步：運(yùn)用有限元分析軟件計(jì)算模型結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型﹒對于實(shí)際結(jié)構(gòu)，可以通過儀器測量其前幾階固有頻率和振型﹒

第2 步：根據(jù)公式(7)對振型進(jìn)行計(jì)算，得到其模態(tài)曲率﹒

第3 步：選擇適當(dāng)?shù)男〔愋秃头纸鈱訑?shù)，運(yùn)用連續(xù)小波變換對模態(tài)曲率進(jìn)行分析，根據(jù)變換后的小波分解系數(shù)判斷結(jié)構(gòu)的損傷位置﹒

圖1 平面2 層框架結(jié)構(gòu)模型

如圖1 所示，有一2 層平面框架結(jié)構(gòu)，第1 層層高5 m，第2 層層高4 m，跨度為12 m﹒取混凝土強(qiáng)度等級為C25，梁柱橫截面均為矩形，其橫截面寬度 b= 0.2 m ，高度 h= 0.3 m，材料彈性模量 E = 3.1 ×1 04MPa，泊松比 μ = 0.2，密度ρ = 2 500 kg/m3﹒取單元長度為10 mm，采用平面剛架單元對該框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析﹒現(xiàn)假設(shè)該平面框架結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷，損傷情況如表1 所示﹒

工況一：左邊立柱AG 距A 點(diǎn)2 m、7 m 處，右邊立柱BH 距B 點(diǎn)6 m 處，橫梁GH 距G 點(diǎn)1 m處，橫梁CD 距C 點(diǎn)9 m 處共5 處發(fā)生損傷，損傷情況如表1 所示﹒運(yùn)用自編的分析軟件，得到其前八階振型，如圖2 所示﹒

表1 框架損傷情況

圖2 工況一下框架結(jié)構(gòu)的振型

根據(jù)公式(6)計(jì)算各階振型的曲率，基于Matlab 平臺編制程序?qū)Ω麟A模態(tài)曲率進(jìn)行連續(xù)小波變換，本文的小波函數(shù)為db3 小波，分解層數(shù)為15 層，圖3 所示為圖2 八階模態(tài)的處理結(jié)果﹒

由圖3 可以看出，損傷位置處的小波變換系數(shù)存在不同程度的模極大值﹒然而，也有部分模態(tài)的損傷位置不明顯，如圖3a)中一階模態(tài)的小波變換在2#、3#損傷位置不明顯；圖3f)中第六階模態(tài)的小波變換在1#損傷位置不明顯﹒故在實(shí)際檢測中，需要得到結(jié)構(gòu)的多階模態(tài)，綜合考慮各階模態(tài)的小波變換系數(shù)模極大值﹒

工況二：結(jié)構(gòu)發(fā)生2 處損傷，分別為右邊立柱BH 距B 點(diǎn)7 m 處損傷35%，橫梁GH 距G 點(diǎn)3 m 處損傷30%﹒根據(jù)公式(6)計(jì)算了前八階振型的曲率，然后對各階模態(tài)曲率運(yùn)用db3 小波進(jìn)行15層小波分解﹒圖4為該平面框架在工況二時(shí)前八階模態(tài)曲率的小波變換系數(shù)﹒由圖4 可知，八階模態(tài)的小波變換系數(shù)在損傷位置處均存在不同程度的模極大值﹒因此，可以根據(jù)小波變換系數(shù)確定損傷的位置﹒

工況三：結(jié)構(gòu)發(fā)生1 處損傷，為右邊立柱BH距B 點(diǎn)3 m 處，損傷40%﹒運(yùn)用有限元分析軟件計(jì)算其前八階振型后根據(jù)(6)式計(jì)算其各階振型的曲率，對各階模態(tài)曲率采用db3 小波進(jìn)行10層連續(xù)小波分解﹒圖5 為前八階模態(tài)曲率的第10層小波變換結(jié)果﹒由圖5 可看出，前八階模態(tài)曲率的小波變換系數(shù)在損傷位置均存在模極大值﹒

圖3 工況一下框架振型的小波變換結(jié)果

圖4 工況二下框架振型的小波變換結(jié)果

圖5 工況三下框架振型的小波變換結(jié)果

綜合3 種情況可知：框架結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時(shí)，通過對振型的曲率模態(tài)進(jìn)行小波變換，可以根據(jù)變換系數(shù)的模極大值來定位結(jié)構(gòu)損傷的位置，但模極大值的大小與損傷程度的對應(yīng)關(guān)系不確定﹒

4 結(jié)論

1)運(yùn)用db3 小波對框架結(jié)構(gòu)模態(tài)曲率進(jìn)行15層連續(xù)小波分解，其小波分解系數(shù)模極大值準(zhǔn)確指示了框架結(jié)構(gòu)損傷的位置﹒

2)當(dāng)損傷位置處于某階振型的平衡位置時(shí)，其小波變換系數(shù)對損傷位置的確定不明顯，通常為了增加損傷位置判斷的準(zhǔn)確性，需要前面二、三階的振型數(shù)據(jù)﹒

3)結(jié)構(gòu)損傷程度的確定是一個(gè)難題，不能根據(jù)小波變換系數(shù)模極大值來確定損傷程度﹒因此，進(jìn)一步討論其它指標(biāo)來確定結(jié)構(gòu)損傷的程度是必要的﹒