胡夢(mèng)倩　楊付貴

摘? 要：類比作為一種常見(jiàn)而重要的思維方法和推理方法，在數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展長(zhǎng)河中占有舉足輕重的地位，我認(rèn)為在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解析幾何的過(guò)程中，這一方法也顯得尤為關(guān)鍵。本文通過(guò)對(duì)比平面解析幾何和空間解析幾何中相關(guān)的知識(shí)體系及有關(guān)的應(yīng)用，用類比的思維解決解析幾何的問(wèn)題，通過(guò)類比的方法，把相對(duì)抽象的解析幾何具體化、有形化，找出平面解析幾何和空間解析幾何中相似的規(guī)律，使我們可以更高效的得出結(jié)論。本文將通過(guò)直線方程與平面方程的類比、平面問(wèn)題與空間問(wèn)題的類比和同一方程在不同的解析幾何中的圖形類比來(lái)體現(xiàn)類比思維在解析幾何中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：類比思維;平面解析幾何;空間解析幾何;方程;圖形

一、平面解析幾何的特點(diǎn)

平面解析幾何通常使用二維的平面直角坐標(biāo)系來(lái)研究線與方程。包含以下幾部分：直角坐標(biāo)、直線、曲線與方程、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等一般平面曲線。在解析幾何中，平面給出了坐標(biāo)系，也就是說(shuō)每一個(gè)點(diǎn)都有與之相對(duì)應(yīng)的一對(duì)實(shí)數(shù)坐標(biāo)，平面解析幾何的研究范圍在二維空間平面中。

二、空間解析幾何的特點(diǎn)

與平面解析幾何相類比的來(lái)說(shuō)，空間解析幾何通常使用的是三維的空間直角坐標(biāo)系來(lái)表示的。包含以下幾個(gè)部分：向量代數(shù)、平面及其方程、空間直線及其方程、曲面及其方程以及空間曲線及其方程等。在空間中要表示的每個(gè)點(diǎn)都是以三元有序數(shù)組呈現(xiàn)，比如（x，y，z）?？臻g解析幾何的研究范圍在三維空間中。

這兩種解析幾何的共同特點(diǎn)都是“數(shù)形結(jié)合”、運(yùn)動(dòng)與變化相結(jié)合、直觀與推理相結(jié)合、理論與實(shí)際相結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合。

比如：我們把平面解析幾何中的圓、橢圓、雙曲線、拋物線等一般平面曲線與空間解析幾何中的球面、橢球面、單葉雙曲面和雙葉雙曲面、橢圓拋物面與雙葉拋物面進(jìn)行類比，不難發(fā)現(xiàn)，它們又很多類似之處。

三、直線方程與平面方程的類比（一般方程中變量的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的含義的類比）

直線方程 y=kx+b中x為自變量，y為函數(shù)因變量，k為斜率，表示這條直線的傾斜程度，也是直線和X軸的夾角正切值。b為截距，是直線和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。x=0時(shí)，y的值為b。例如x-y+2=0把這個(gè)式子變?yōu)閥=kx+b的形式，就是y=x+2斜率k=1和x軸夾角的正切值為1，這也就是說(shuō)和x軸的夾角度數(shù)為45度。截距為2，就是說(shuō)當(dāng)x=0時(shí)，y=2，直線和y軸的交點(diǎn)是2，坐標(biāo)表示為（0，2）。

平面方程的一般方程可用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0來(lái)表示。平面方程Ax+By+Cz+D=0中x，y，z的三個(gè)系數(shù)A，B，C組成一個(gè)向量的坐標(biāo)，即n={A，B，C}，它是垂直于該平面的非零向量，稱為該平面的一個(gè)法向量，而這個(gè)方程中的常數(shù)項(xiàng)D，在三維空間坐標(biāo)系中，可以表示為平面的位置（偏移量），平面的法向量（A，B，C）一定，平面的方向就確定了，這時(shí)不同的D值就可以得到一系列平行的平面，當(dāng)D=0時(shí)，平面經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。同時(shí)，D的絕對(duì)值可以表示原點(diǎn)到該平面的距離，也可以理解為影響平面在xyz軸上的截距系數(shù)，D與直線方程中的b可以相類比。

四、平面問(wèn)題與空間問(wèn)題的類比（降維類比）

在解析幾何的問(wèn)題中，類比法多表現(xiàn)為空間問(wèn)題用平面問(wèn)題來(lái)類比推理，多元問(wèn)題用一元問(wèn)題來(lái)類比推理，也叫降維類比。例如，用三元一次不等式的幾何意義可以類比出二元一次不等式的幾何意義，也就是說(shuō)在平面上的直線ax+bx+c=0，這個(gè)二元一次方程把平面分為了兩個(gè)部分，一部分在直線的上方位置，另一部分在直線的下方位置。在空間直角坐標(biāo)系中，我們可以把空間直線上任意一點(diǎn)的第三個(gè)坐標(biāo)看為恒為0，即把這個(gè)空間分為xoy平面之上和xoy平面之下兩個(gè)部分，這樣就可以完全類似的得出它們之間的線性運(yùn)算坐標(biāo)表示以及夾角等計(jì)算公式。

由三角函數(shù)余弦和角公式進(jìn)而聯(lián)想到二面角的大小也是一個(gè)降維類比的例子。兩角和與差的余弦公式cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ也是求二面角大小的“計(jì)算公式”（“三線四角”公式）的一種特例.這種由三角函數(shù)余弦和角公式“降維類比”（也就是三維空間的研究對(duì)象降到二維（或一維）空間中的研究對(duì)象）出二面角大小計(jì)算“通用”公式，只需計(jì)算出同一頂點(diǎn)發(fā)出的三個(gè)線線間角，就能快速求出二面角大小。

五、同一方程在不同的解析幾何中的圖形類比

通常，一個(gè)簡(jiǎn)單的的方程對(duì)應(yīng)在平面上的一條曲線，但不一定如此：方程x=x對(duì)應(yīng)了整個(gè)平面，方程x?+y?=0只對(duì)應(yīng)了（0，0）這一個(gè)點(diǎn)。但在空間解析幾何中，一個(gè)方程通常對(duì)應(yīng)著一個(gè)曲面，而曲線常常是代表兩個(gè)曲面的交集，或是一條參數(shù)方程。

下面舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子：例如x=3在平面解析幾何和空間解析幾何中就代表了不同的圖形。在平面解析幾何中，x=3表示一條垂直于x軸且過(guò)（3，0）點(diǎn)的直線。在空間解析幾何中，x=3表示一個(gè)平行于平面yOz，且過(guò)（3，0，0）點(diǎn)的平面。這里的過(guò)（3，0，0）點(diǎn)的平面可以是由垂直于x軸且過(guò)（3，0）點(diǎn)的直線平行得來(lái)的。由平面到空間，x=3就從原來(lái)表示的一條直線變?yōu)榱吮硎疽粋€(gè)平面，由此我們可以類比推斷，維度提升了一層，相應(yīng)的同一方程所代表的圖形也隨之在維度層面提升了一層。

比如x?-y?=1在平面解析幾何中為一個(gè)二元一次方程，在平面直角坐標(biāo)系中表示的圖形是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線;在空間解析幾何中，應(yīng)用了一個(gè)變量z，而在方程x?-y?=1中沒(méi)有變量z，這就說(shuō)明x?-y?=1在空間解析幾何表示的圖形是母線平行于z軸且在xoy面上的曲線是x?-y?=1且z=0的雙曲線的柱面。

參考文獻(xiàn)

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