江西省南昌市鐵路第一中學(xué) (330002) 章建榮江西省南昌市第十五中學(xué) (330039) 龍光鵬

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的研究對(duì)象，函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等基本性質(zhì)有著廣泛的研究?jī)r(jià)值和運(yùn)用價(jià)值.在高中人教版教材中介紹了用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等.但是對(duì)于函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性沒(méi)有給予討論.那么原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的對(duì)稱(chēng)性具有怎樣的性質(zhì)呢？本文通過(guò)幾個(gè)相關(guān)定理，演繹運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和微積分知識(shí)研究原函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性.與此同時(shí)，利用這些性質(zhì)創(chuàng)編了一些相關(guān)試題加以應(yīng)用.

為了本文的敘述方便，文中函數(shù)f(x)是函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)，且F(x)與f(x)均為連續(xù)的初等函數(shù).一般地，認(rèn)為函數(shù)f(x)與F(x)的定義域?yàn)镽.

1.奇偶性

命題1 若函數(shù)F(x)為奇函數(shù)，則f(x)為偶函數(shù).

證：因?yàn)镕(x)為奇函數(shù)，所以F(-x)=

-F(x)，等式兩邊分別求導(dǎo)得到-F′(-x)=

-F′(x)，則F′(-x)=F′(x)，即f(-x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).

命題2 若函數(shù)F(x)為偶函數(shù)，則f(x)為奇函數(shù).

證：因?yàn)镕(x)為偶函數(shù)，所以F(-x)=F(x)，等式兩邊分別求導(dǎo)得到-F′(-x)=F′(x)，即

-f(-x)=f(x)，所以f(x)為奇函數(shù).

命題3 若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則F(x)為偶函數(shù).

命題4 若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且F(0)=0，則F(x)為奇函數(shù).

2.推廣探究

命題5 若函數(shù)F(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱(chēng)，則f(x)關(guān)于直線x=a軸對(duì)稱(chēng).

證：因?yàn)楹瘮?shù)F(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱(chēng)，則F(x)+F(2a-x)=2b，等式兩邊進(jìn)行求導(dǎo)得出F′(x)-F′(2a-x)=0，則F′(x)=F′(2a-x)，即f(x)=f(2a-x)，故f(x)關(guān)于直線x=a軸對(duì)稱(chēng).

命題6 若函數(shù)F(x)關(guān)于直線x=a軸對(duì)稱(chēng)，則f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱(chēng).

證：因?yàn)楹瘮?shù)F(x)關(guān)于直線x=a軸對(duì)稱(chēng)，則F(x)=F(2a-x)，等式兩邊求導(dǎo)得出F′(x)=

-F′(2a-x)，則F′(x)+F′(2a-x)=0，即f(x)+f(2a-x)=0，所以f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱(chēng).

命題7 若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱(chēng)，則F(x)關(guān)于直線x=a軸對(duì)稱(chēng).

命題8 若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a軸對(duì)稱(chēng)，且F(a)=b，則F(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱(chēng).

3.命題舉隅

例1 已知偶函數(shù)f(x)滿足f(1)=2，f′(1)=1，則曲線y=f(x)在x=-1處的切線方程為.

解析：因f(x)為偶函數(shù)，f(1)=2，所以f(-1)=2，則函數(shù)f′(x)為奇函數(shù)，又因?yàn)閒′(1)=1，所以f′(-1)=-f′(1)=-1，則切線方程為x+y-1=0.

例2 已知函數(shù)f(x)滿足，對(duì)任意的x∈R，都有f(-x)=-f(x)，且x≥0時(shí)，f′(x)>0，則( ).

A.當(dāng)x<0時(shí)，xf′(x)>0

B.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)f′(x)<0

C.當(dāng)x<0時(shí)，xf(x)<0

D.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>f′(x)

解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x)，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f′(x)為偶函數(shù)，又因?yàn)閤∈R，則f(0)=0，又因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，則x>0時(shí)，f(x)>f(0)=0，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)>0.故選B.

例3 已知偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱(chēng)，則f′(2)+f′(4)=.

解析:因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù)，則f′(x)為R上的奇函數(shù)，則f′(0)=0，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f′(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，則f′(2)=f′(0)=0，且f′(x)的周期為4，則f′(4)=f′(0)=0，則f′(2)+f′(4)=0.

例4 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(1)=0，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(1-x)=f′(1+x)，則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2020)=.

解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)=0，又因?yàn)閒(1)=0，導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(1-x)=f′(1+x)，則函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，則f(x)的周期為2，即f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2020)=0.

探究教材外的一些性質(zhì)，并嘗試編創(chuàng)一些試題，是非常有益的和必要的.同時(shí)，我們還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生自主或合作的方式進(jìn)行類(lèi)似的探究，有助于提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).