陳 懇，魏藝君，程思潔，魏倩文，丁 戈

（1.南昌大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 南昌 330031；2.國網(wǎng)江西省電力公司上饒供電公司，江西 上饒 334000）

LR、LDU、CU三角分解法［1-6，15-17］與因子表法的計(jì)算原理類似，均用于常系數(shù)線性方程AX=F中的求解。由于因子表法和各種分解法計(jì)算過程不同，其計(jì)算效率和計(jì)算速度有所不同，然而因子表法和各種分解法的計(jì)算過程或計(jì)算方式均存在不合理情況。如因子表法中元素計(jì)算一般采用按行消元、逐行規(guī)格化［1-3］，而各種分解法是按從左上角到右下角計(jì)算因子陣元素或以按行方式從左到右計(jì)算各行元素［1-4］，這些計(jì)算方式均無法應(yīng)用對稱矩陣元素本身的特點(diǎn)；因子表法中是形成因子表后再將對角元素取倒，可提高回代過程計(jì)算速度，但對其前代計(jì)

算速度沒有幫助，各種分解法中未考慮對角元素取倒，前代和回代計(jì)算速度均受影響［14-15］；因子表法中所有元素存放在同一個數(shù)組，便于應(yīng)用元素之間關(guān)系，而各種分解法中由于各因子陣元素分別存放在不同數(shù)組中，根本無法利用和展示元素間的對應(yīng)關(guān)系；因子表法無中間矩陣，可直接完成前代和回代計(jì)算，各種分解法需通過中間矩陣W或W和H完成前代和回代計(jì)算；因子表法和各種分解法均需依賴消元計(jì)算公式或元素計(jì)算公式完成計(jì)算等。上述問題均不利于計(jì)算過程優(yōu)化和程序編寫，更不利于計(jì)算速度提高。

CU分解法比LR、LDU分解法的文獻(xiàn)介紹和應(yīng)用均較少［1-6］。但實(shí)際上，CU分解法的計(jì)算過程類似于按行消元、逐行規(guī)格化的高斯消元法［4］，且其計(jì)算速度與LR、LDU分解法相比有明顯優(yōu)勢［16］。然而，由于CU分解法中C、U陣元素分開存放、元素計(jì)算需依靠計(jì)算公式、沒有考慮對稱矩陣的特點(diǎn)及對角元取倒，其計(jì)算效率遠(yuǎn)未達(dá)到最佳。文獻(xiàn)［17］的快速CU分解法雖計(jì)算速度有一定程度提高，但仍然遠(yuǎn)未達(dá)到其應(yīng)有的計(jì)算效率，而文獻(xiàn)［18］只是擴(kuò)展了CU分解法的應(yīng)用范圍，對計(jì)算速度提高無幫助。

本文針對CU分解法中存在的問題及其計(jì)算過程的特點(diǎn)，提出對稱CU分解法，其中包括：用可展示各元素之間關(guān)系的CU合成陣同時存放c、u元素；用四角規(guī)則按行分步計(jì)算u元素而無需應(yīng)用元素計(jì)算公式，直接根據(jù)對稱性按列賦值得到c元素而無需計(jì)算；對對角元素提前取倒以減少除法計(jì)算等。將因子表法、CU分解法、對稱CU分解法用于計(jì)算極坐標(biāo)PQ分解法潮流，并比較其計(jì)算速度。

1 CU分解法及其存在的問題

CU分解法將系數(shù)矩陣A分解為下三角矩陣C和單位上三角矩陣U的乘積，即A=CU。需三個數(shù)組分別存放A、C、U陣元素，元素之間關(guān)系不清。其元素計(jì)算順序?yàn)閏元素按行、u元素按列或均按行方式根據(jù)式（1）～（2）每次計(jì)算一個完整的c或u元素。

式（1）～式（2）表明，c、u元素計(jì)算過程復(fù)雜，不適合編程，且無論采用c元素按行、u元素按列或均按行方式都無法實(shí)現(xiàn)c、u元素對稱計(jì)算。此外，式（2）中用cii元素做除數(shù)，勢必影響C、U因子陣前代過程計(jì)算速度。

對方程AX=F進(jìn)行CU分解時需將對原方程的求解轉(zhuǎn)換分別對CW=F和UX=W二個方程求解，W陣前代和X陣回代過程分別展開如式（3）～（4）。

式（3）中求取W陣也始終用cii元素做除數(shù)，同樣影響形成C、U因子陣后對后續(xù)F陣前代過程的計(jì)算速度。

2 合成陣及元素的拆分和分步計(jì)算

要解決CU分解法中上述問題，首先要建立可清晰地體現(xiàn)c、u元素關(guān)系的CU合成陣。以四階A44陣為例，由于A44=C44U44，根據(jù)式（1）～（2）可將C44、U44陣與A44陣元素關(guān)系均在CU合成陣中展示如式（5）。如式（5）。由于C陣中對角元素為cii，U陣中對角元素為1，而式（5）人為地將C、U陣合在一起，沒有U陣對角元素，因此CU合成陣與A陣之間并不滿足數(shù)學(xué)關(guān)系，但并不影響前代和回代計(jì)算。此外CU合成陣可直接在A陣數(shù)組中形成，而無需再占用其它數(shù)組。

根據(jù)式（5）可看出以下幾點(diǎn)：①計(jì)算c、u元素可看成是分步對其所在行左側(cè)的c元素進(jìn)行類似含規(guī)格化的按列消元，計(jì)算完成后u元素均要除以所在行的對角元素cii。②對稱矩陣中c、u元素是按cii比例對稱。③假設(shè)分步計(jì)算中未完成計(jì)算的元素為計(jì)算第i行uij元素的前一步元素，其除以對角元素cii后得uij元素，此時的元素就是與其對應(yīng)的cji元素。因此可在得到元素后，將其直接賦值給對應(yīng)的cji元素，從而省去所有下三角cji元素的計(jì)算。④對cji元素賦值后，將元素除以對角元素cii可得uij元素。因此利用式（5）不但可拆分、并分步計(jì)算c、u元素，還可利用c、u元素的比例對稱關(guān)系而大大簡化計(jì)算，從而提高計(jì)算速度。

由于計(jì)算uij元素的最后一步均為用元素除以所在行的對角元素cii，導(dǎo)致程序中大量除法運(yùn)算而影響分解速度。因此可在最后計(jì)算第i行的uij元素前先將cii元素取倒，再將元素賦值給對應(yīng)的cji元素，然后用（1／cii）乘以元素得到uij元素，從而幾乎可免去除法運(yùn)算。

因此可將式（5）的合成陣寫成式（6）。與因子表法中形成因子表后再將對角元取倒、僅省略其回代計(jì)算過程的除法運(yùn)算方式相比，本方法可幾乎完全省略前代和回代計(jì)算過程的全部除法運(yùn)算，而式（2）～（3）的計(jì)算方式很難消除除法運(yùn)算。

將式（1）～ （2）的計(jì)算式拆分為式（7）～ （10）。

此時式（7）～（10）已經(jīng)將式（1）～（2）每次計(jì)算一個完整的c或u元素的方式拆分成僅對對角元素和上三角元素cii元素的分步計(jì)算，計(jì)算出元素直接賦值得到cji元素，再對元素除以所在行的對角元素cii得到uij元素。根據(jù)式（7）～（10）中c、u元素的拆分，和式（6）元素的分步計(jì)算，不但可實(shí)現(xiàn)c、u元素的對稱計(jì)算，還可省略大量的除法運(yùn)算，式（3）中的除法運(yùn)算也可免去。

3 四角規(guī)則及對稱CU分解法

3.1 CU分解法中應(yīng)用四角規(guī)則

先不考慮矩陣對稱性進(jìn)行傳統(tǒng)CU分解。假設(shè)c、u元素分步計(jì)算過程為：┄c?、u′?→c″、u″→c′、u′→c、u，當(dāng)對n階對稱的CU合成陣完成了其第k行以上和第k列及以左c、u元素的分步計(jì)算，將繼續(xù)對第k行及以下和第k列以右的c、u元素繼續(xù)分步計(jì)算時所對應(yīng)的CU合成陣的簡化矩陣如式（11）。為簡化分析，同時給出傳統(tǒng)法中式（11）和對稱法中式（12）相關(guān)元素定義如下：

cii（1／cii）：對角元素（對稱法取倒所得）；

u′i，i+1、u′ip、u′in（ui，i+1、uip、uin）：交叉元素（傳統(tǒng)法除以對角元素所得，對稱法乘以對角元素倒數(shù)所得），對角元素同行以右；

ci+1，i、cpi、cni（ai+1，i、api、ani）：消元元素（對稱法賦值前），對角元同列以下；

c?i+1，i+1～u?i+1，n、c?p，i+1～u?pn、c?n，i+1～u?nn（c″i+1，i+1～u″i+1，n、c″p，i+1～u″pn、c″n，i+1～u″nn）：計(jì)算元素的前值或新值（中間值或終值，僅給出傳統(tǒng)法的狀態(tài)），消元元素所在行與交叉元素ui，i+1、uip、uin所在列的交互點(diǎn)。

如將式（1）～（2）改寫成分步計(jì)算，則其文字表述為：“以對角元素為參考元素，計(jì)算元素的新值c″ij（u″ij）=其前值c?ij（u?ij）-消元元素c＊i×交叉元素ui＊”。

因此在計(jì)算計(jì)算元素的新值前，先將所有交叉元素u′ij元素除以其所在行對角元素cii得uij元素。再參照式（11）根據(jù)該文字表述可直接寫出相應(yīng)計(jì)算元素c″i+1，i+1～u″i+1，n、c″p，i+1～u″pn、c″n，i+1～u″nn該步的計(jì)算結(jié)果。

上述計(jì)算結(jié)果表明用合成陣計(jì)算c、u元素時，每次與計(jì)算有關(guān)的四個元素均在矩形的四個角上，因此將其稱為四角規(guī)則。四角規(guī)則的計(jì)算結(jié)果與式（1）～（2）完全相同，因此根據(jù)CU合成陣可無需式（1）～（2）而直接用四角規(guī)則以類似“逐行規(guī)格化，按列消元”的方式計(jì)算CU合成陣的所有元素。這種計(jì)算方式使CU分解過程極為簡單直觀，特別利于程序編寫。

式（11）計(jì)算過程表明，由于未利用c、u元素的比例對稱關(guān)系uik=cki／cii分步計(jì)算c、u元素，因此必須計(jì)算所有c、u元素。這與式（1）～（2）的計(jì)算過程幾乎完全相同，只是將式（1）～（2）每次計(jì)算一個完整c或u元素變成分步計(jì)算，對計(jì)算速度提升影響不大。

3.2 對稱CU分解法中應(yīng)用四角規(guī)則

考慮矩陣對稱性進(jìn)行對稱CU分解的CU合成陣簡化矩陣如式（12），與式（11）相比，所有下三角元素ai+1，i、api～ap，p-1、ani～an，n-1等均未進(jìn)行任何計(jì)算，仍為A陣值。式（12）的計(jì)算過程可分為二步：

（1）將第i行元素u′i，i+1、u′ip、u′in對應(yīng)賦值給第i列的ai+1，i、api、ani得消元元素ci+1，i、cpi、cni；將對角元素cii取倒；分別乘以u′i，i+1、u′ip、u′in得ui，i+1、uip、uin；對第i列ci+1，i、cpi、cni消元，僅計(jì)算消元元素所在行的對角元素和上三角元素c″i+1，i+1～u″i+1，n、c″pp～u″pn、c″nn等，此時所計(jì)算的元素遠(yuǎn)比式（11）中少。計(jì)算完成后，除c″i+1，i+1=ci+1，i+1為終值外，其余元素仍然均為未完成計(jì)算的中間值，而所有的下三角元素ap，i+1～an，i+1、anp等仍為A陣值。

（2）將第i+1行元素u″i+1，p、u″i+1，n對應(yīng)賦值給第i+1列ap，i+1、an，i+1得cp，i+1、cn，i+1；將ci+1，i+1取倒；分別乘以u″i+1，p、u″i+1，n得ui+1，p、ui+1，n。然后對第i+1列的cp，i+1、cn，i+1消元，并依此循環(huán)。

式（12）計(jì)算過程表明，如果利用c、u元素比例對稱關(guān)系uik=cki／cii分步計(jì)算c、u元素，則只須計(jì)算相應(yīng)行的對角元素ckk和上三角ukp元素，所有下三角元素cpk是逐列根據(jù)未乘以對角元倒數(shù)的上三角ukp元素對應(yīng)賦值得到。因此對稱CU分解法可省略所有下三角元素計(jì)算，可大大提高計(jì)算速度。

4 算例分析

分別用因子表法、CU分解法、對稱CU分解法求解IEEE-30～-118系統(tǒng)極坐標(biāo)PQ分解法潮流，收斂判據(jù)為ε≤10-5。其中，形成B′陣時考慮參數(shù)r影響，忽略c、k、bT影響，形成B″陣時考慮參數(shù)c、k、bT影響，忽略r影響［8-13］。計(jì)算時間比較如表1所示。

表1 極坐標(biāo)PQ分解法潮流計(jì)算時間比較

t1、t2、t3：因子表法、CU分解法、對稱CU分解法用于極坐標(biāo)PQ分解法潮流的分解過程計(jì)算時間。

t11、t22、t33：因子表法、CU分解法、對稱CU分解法用于極坐標(biāo)PQ分解法潮流的總計(jì)算時間。

根據(jù)表1中可以看出：

（1）CU分解法與因子表法相比，前者分解過程計(jì)算時間和總潮流計(jì)算時間均慢于后者約1%和4%～7%，說明因子表法求解常系數(shù)方程更具優(yōu)勢。

（2）對稱CU分解法與因子表法相比，前者分解過程計(jì)算時間和總潮流計(jì)算時間均快于因子表法約23～50%和2%～19%，說明對稱CU分解法遠(yuǎn)優(yōu)于因子表法。

（3）對稱CU分解法與CU分解法相比，前者分解過程計(jì)算時間和總潮流計(jì)算時間均快于因子表法約24～50%和6%～25%，同樣說明對稱CU分解法遠(yuǎn)優(yōu)于因子表法。

5 結(jié)論

通過針對CU三角分解法中元素對應(yīng)關(guān)系不清、對角元素運(yùn)算處理不當(dāng)、元素計(jì)算過程固化且需用計(jì)算公式、程序編寫效率低、計(jì)算速度不理想等問題，提出對稱CU三角分解法。新方法引入CU合成陣；拆分c、u元素計(jì)算過程，并用四角規(guī)則分步計(jì)算對角元素和上三角元素而無需計(jì)算公式，下三角元素直接賦值而無需計(jì)算；改變對角元素的運(yùn)算方式以免去除法運(yùn)算。新方法大大簡化了CU三角分解法的計(jì)算過程、幾乎免去了程序中的除法計(jì)算，并可大大提高程序編寫效率。將新方法、因子表法和CU三角分解法用于求取IEEE-30～-118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的極坐標(biāo)PQ分解法潮流，無論是分解過程還是整個潮流計(jì)算時間，新方法的計(jì)算速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于后者。新方法同樣可用于各工程領(lǐng)域常系數(shù)方程的快速求解。