覃城阜

摘 要 《點(diǎn)集拓?fù)洹肥菙?shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，其對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力有著重要的作用。本文在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上對(duì)《拓?fù)鋵W(xué)》教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化進(jìn)行了探討。

關(guān)鍵詞 點(diǎn)集拓?fù)?教學(xué)內(nèi)容 優(yōu)化

0引言

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的語言，隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)成為對(duì)于一個(gè)國家的發(fā)展至關(guān)重要因素。歷史上在數(shù)學(xué)研究處于領(lǐng)先的國家，在國家綜合實(shí)力上也往往處于領(lǐng)先地位?，F(xiàn)如今，“發(fā)達(dá)國家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求”。美國數(shù)學(xué)家 M·克萊因把數(shù)學(xué)對(duì)于現(xiàn)代社會(huì)的重要性描述為“一個(gè)時(shí)代的總的特征在很大程度上與這個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)活動(dòng)密切相關(guān)”。數(shù)學(xué)對(duì)于國家實(shí)力的提高，對(duì)于國家在高科技領(lǐng)域處于領(lǐng)先地位，對(duì)于國民素質(zhì)的提高都有著重要的作用。李克強(qiáng)總理曾指出 “數(shù)學(xué)特別是理論數(shù)學(xué)是我國科學(xué)研究的重要基礎(chǔ)” ，“無論是人工智能還是量子通信等，都需要數(shù)學(xué)、物理等基礎(chǔ)學(xué)科作有力支撐。我們之所以缺乏重大原創(chuàng)性科研成果，‘卡脖子就卡在基礎(chǔ)學(xué)科上”。拓?fù)鋵W(xué)作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一門重要基礎(chǔ)課，可以說是集數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理之大成者，它從概念出發(fā)演繹出一套邏輯體系，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力的一門重要課程。

正是基于數(shù)學(xué)對(duì)于當(dāng)今社會(huì)發(fā)的重要性，教育部在《普通高中課程方案和語文等課程標(biāo)準(zhǔn)》提出全面培養(yǎng)學(xué)生的“核心素養(yǎng)”，指出“各個(gè)學(xué)科必須達(dá)成正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力，要更多的關(guān)注學(xué)科思想、思維方式等”。另外，2018年教育部發(fā)布了《普通高等學(xué)校本科專業(yè)類國家教育質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱標(biāo)準(zhǔn)），其中對(duì)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)課標(biāo)準(zhǔn)給出了兩套選擇方案：一是把數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率論、數(shù)學(xué)建模（含實(shí)驗(yàn)）、常微分方程、實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、抽象代數(shù)、偏微分方程、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、計(jì)算方法、微分幾何、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)作為核心課程，一是將專業(yè)知識(shí)按照課程分為專業(yè)基礎(chǔ)課、專業(yè)必修課和專業(yè)選修課，其中專業(yè)基礎(chǔ)課程為：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模;專業(yè)必修課各校根據(jù)不同的培養(yǎng)方向，從下列三組課程的至少兩組中選定至少六門課程作為本校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的主干課程：

A組：抽象代數(shù)，微分幾何，拓?fù)鋵W(xué)，初等數(shù)論;

B組：常微分方程，數(shù)學(xué)物理方程，復(fù)變函數(shù)，實(shí)變函數(shù)，泛函分析;

C組：數(shù)理統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)過程，離散數(shù)學(xué)，數(shù)值分析，運(yùn)籌學(xué)，控制論基礎(chǔ)。

我們注意到了這樣一個(gè)細(xì)節(jié)，在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)課程國家質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)制定的過程中，專家就拓?fù)鋵W(xué)課程的課時(shí)安排給出如下建議：綜合性大學(xué)的拓?fù)鋵W(xué)課程為64學(xué)時(shí)，而師范類專業(yè)是72學(xué)時(shí)。我們認(rèn)為這樣的考慮是不無道理的，也顯示了拓?fù)鋵W(xué)對(duì)師范專業(yè)學(xué)生的抽象能力和邏輯推理能力訓(xùn)練起著重要的作用。

在核心素養(yǎng)理念的指導(dǎo)下，近年來全國的高考數(shù)學(xué)題目也越來越多趨向于考察學(xué)生的能力素養(yǎng)。2018年北京市高考數(shù)學(xué)理科卷最后一道題， 就是給出一個(gè)定義，讓學(xué)生從給定的定義出發(fā)去推導(dǎo)出相關(guān)的結(jié)論。

（2018年高考數(shù)學(xué)理科卷第20題）

設(shè)n為正整數(shù)，集合，，對(duì)于集合A中的任意元素和，記

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若，，求和的值;

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意元素，，當(dāng)、相同時(shí)，是奇數(shù);當(dāng)，不同時(shí)，是偶數(shù)。求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值;

（Ⅲ）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素，，，寫出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說明理由。

這道題要求學(xué)生要有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，基本上沒有直接用到高中數(shù)學(xué)所需的知識(shí)，而是要求學(xué)生能夠根據(jù)定義出發(fā)進(jìn)行推理求證。因此，作為培養(yǎng)中學(xué)教師主力軍的地方高師院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)有必要開設(shè)拓?fù)鋵W(xué)課程，充分的訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力和抽象能力，這樣才能夠滿足基礎(chǔ)教育對(duì)教師專業(yè)能力的需求。

1地方高師院校中《點(diǎn)集拓?fù)洹氛n程的設(shè)置現(xiàn)狀

就廣西區(qū)內(nèi)師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)而言，由于總學(xué)分的減少，加上作為師范類的學(xué)生需要開設(shè)一定量的教師教育類課程，近年來，百色學(xué)院、河池學(xué)院、廣西民族師范學(xué)院、玉林師范學(xué)院、北部灣大學(xué)等地方高師院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)師范專業(yè)都不再開設(shè)拓?fù)鋵W(xué)課程。南寧師范大學(xué)2016級(jí)之前的學(xué)生都是將拓?fù)鋵W(xué)作為專業(yè)限選課開設(shè);自2016級(jí)起，由于師范專業(yè)認(rèn)證等工作的需要，從全局角度出發(fā)決定不再開設(shè)《拓?fù)鋵W(xué)》課程。但是在實(shí)踐過程中我們發(fā)現(xiàn)，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力是非常不利的，對(duì)于部分考研學(xué)生而言沒有經(jīng)過《拓?fù)鋵W(xué)》課程的訓(xùn)練對(duì)于他們迅速的適應(yīng)研究生階段的學(xué)習(xí)也是不利的。因此，從2017 級(jí)又將拓?fù)鋵W(xué)作為專業(yè)選修課程開設(shè)，只要選課學(xué)生人數(shù)達(dá)到30 人就開課。

對(duì)于拓?fù)鋵W(xué)課程的教學(xué)安排，以使用熊金城主編的《點(diǎn)集拓?fù)渲v義》作為參考，我們通過網(wǎng)絡(luò)在線的方式對(duì)地方高師院校拓?fù)鋵W(xué)課程相關(guān)資料進(jìn)行收集。經(jīng)過歸納整理，發(fā)現(xiàn)主要有如下三種教學(xué)方案。第一種方案中該課程占2學(xué)分，共36課時(shí)，主要講授第一至第三章及第五章的內(nèi)容。對(duì)于地方高師院校而言，在學(xué)分有限的情況下，這樣的安排也是較為合理的。第二種方案中該課程占3個(gè)學(xué)分（按照規(guī)定，每個(gè)學(xué)分對(duì)于16-18學(xué)時(shí)），總計(jì)48-54學(xué)時(shí)，具體教學(xué)內(nèi)容為第一章至第七章。第三種方案也是3個(gè)學(xué)分，但教學(xué)內(nèi)容上有所不同，增加了“基本群及其應(yīng)用”這一部分內(nèi)容。采用第一、第三種方案的院校不多，大多數(shù)院校是采用第二種方案。

2點(diǎn)集拓?fù)湔n程具體教學(xué)建議

據(jù)我們對(duì)拓?fù)鋵W(xué)課程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看，若按3學(xué)分計(jì)，每學(xué)分16課時(shí)，則總計(jì)有48課時(shí)。按照我校一直以來的教學(xué)計(jì)劃，授課內(nèi)容為第一章至第七章。就學(xué)生的基礎(chǔ)及接受能力而言，48課時(shí)講完七章的內(nèi)容非常緊張，而且教學(xué)效果不好，很多學(xué)生對(duì)教材的內(nèi)容理解不到位，導(dǎo)致大部分學(xué)生對(duì)點(diǎn)集拓?fù)溥@門課程具有恐懼感，并把這種恐懼感傳給下一個(gè)年級(jí)的學(xué)生，這樣使得很多學(xué)生還沒有開始接上課就主觀排斥該課程。因此，我們認(rèn)為目前地方高師院校開設(shè)這門課程，在學(xué)分無法增加的情況下，應(yīng)適當(dāng)減少教學(xué)內(nèi)容，即將第六章部分內(nèi)容和第七章全部內(nèi)容舍棄，只講第一章到第六章第二節(jié)。具體章節(jié)課時(shí)安排如下。

在上述教學(xué)安排中， 我們將三分之一以上的課時(shí)安排在了第二章，主要原因有兩個(gè)：一是第二章本身的內(nèi)容比較多;二是第二章是整個(gè)點(diǎn)集拓?fù)涞幕A(chǔ)，這里有大量的定義和定理需要學(xué)生去理解和把握?？梢哉f，如果學(xué)生能夠?qū)Φ诙掠斜容^好的把握則于后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)會(huì)相對(duì)容易很多。因此，我們對(duì)第二章的教學(xué)提出如下幾點(diǎn)建議。

2.1充分利用學(xué)生已有的知識(shí)加強(qiáng)學(xué)生知識(shí)的遷移

在第二章的教學(xué)中，我們要充分的挖掘?qū)W生已有的知識(shí)貯備，幫助學(xué)生建立已有知識(shí)與新知識(shí)之間聯(lián)系的橋梁，使得新知識(shí)通過學(xué)生已有知識(shí)順利內(nèi)化， 這樣使得學(xué)生對(duì)抽象知識(shí)的理解和把握更加到位。

在熊金城編寫的教材《點(diǎn)集拓?fù)渲v義》中，拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射就是通過介紹度量空間中的具體情況來引入的。在后續(xù)的內(nèi)容如鄰域、聚點(diǎn)、序列收斂等定義及相關(guān)內(nèi)容的介紹中都可以做這樣的安排，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的信心。如在講授序列收斂的定義時(shí)，可以先回顧數(shù)學(xué)分析中數(shù)列收斂的定義：

定義1：設(shè)是數(shù)列，a為定數(shù)。若對(duì)任意的正數(shù)， 都存在正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)有：，則稱數(shù)列收斂于a。

由于與是等價(jià)的;另外，由的任意性我們可以知道也是任意的。于是我們可以將上面的數(shù)列收斂的定義換一種方式來寫，得到如下定義1。

定義1：設(shè)是數(shù)列，為定數(shù)。若對(duì)任意的鄰域，都存在正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)有，則稱數(shù)列收斂于。

此時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將定義的本質(zhì)抽出來，就可以自然的引出一般拓?fù)淇臻g中的序列收斂的定義。

定義2：設(shè)是拓?fù)淇臻g中的序列，為中的元素。若對(duì)任意的鄰域，都存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則稱數(shù)列收斂于。

這樣的教學(xué)能夠較為自然的引出定義定理，使得教學(xué)過程自然和諧。同時(shí)，通過對(duì)學(xué)生所熟悉的內(nèi)容進(jìn)行回顧鋪墊之后，學(xué)生更容易去理解定義定理，也更容易將知識(shí)內(nèi)化，教學(xué)效果自然不同。

另外，我們也要引導(dǎo)學(xué)習(xí)對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行類比，從而把握新的知識(shí)，這樣更有助于幫助學(xué)生去理解和記憶新知識(shí)。如在講解”拓?fù)浠暗母拍畹臅r(shí)候，可以將《高等代數(shù)》中的”基“的概念拿來對(duì)比：線性空間V中的所有向量都可以由基表示出來，并且要驗(yàn)證某種保持線性關(guān)系的性質(zhì)對(duì)于V中的所有向量成立，我們只需要驗(yàn)證對(duì)于基中的向量成立即可。有了這個(gè)作為鋪墊，我們就可以討論拓?fù)淇臻g中的基的定義及其作用，學(xué)生也能夠比較容易去理解和把握。

2.2通過具體的例子來加強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)

實(shí)數(shù)空間中所具有的很多結(jié)論在一般拓?fù)淇臻g中是不成立的，在授課過程中可以通過適當(dāng)具體的例子來說明，讓學(xué)生增加感性的認(rèn)識(shí)，從而加深對(duì)一般拓?fù)淇臻g的性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。如在實(shí)數(shù)空間中收斂序列的極限一定是唯一的，而從一般拓?fù)淇臻g序列收斂的定義可以看出序列收斂不一定是唯一，我們可以通過如下的例子來說明。

同時(shí)，通過這個(gè)例子，可以知道序列收斂與否是嚴(yán)格依賴于拓?fù)涞亩x，同樣的序列在不同的拓?fù)淇臻g中是否收斂、收斂值是什么都由拓?fù)鋪頉Q定的。這就要求學(xué)生不能按照已有的知識(shí)推出結(jié)論，而是根據(jù)特定的拓?fù)洌瑖?yán)格依據(jù)定義進(jìn)行推導(dǎo)。這樣對(duì)學(xué)生的推理能力的訓(xùn)練是非常有效的。

另外，第二章除了直接定義拓?fù)渲?，還通過鄰域系、閉包運(yùn)算、“基”、“子基”等四個(gè)角度定義了拓?fù)洹＿@些定義都比較抽象而且證明也比較復(fù)雜。在講完相關(guān)證明之后，如果能夠給出一個(gè)具體的例子讓學(xué)生直接去驗(yàn)證，則會(huì)大大加強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，更有利于學(xué)生掌握其本質(zhì)。如在閉包運(yùn)中，我們可以給出如下的例子讓學(xué)生去驗(yàn)證。

拓?fù)鋵W(xué)是一門抽象程度較高的課程，對(duì)于訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力是十分有效的，在科學(xué)技術(shù)發(fā)展越來越依賴數(shù)學(xué)的今天，經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展需要更多具有較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人才?；A(chǔ)教育是培養(yǎng)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要階段，因此作為培養(yǎng)基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)教師主力軍的地方高師院校開設(shè)拓?fù)鋵W(xué)課程是十分有必要的，同時(shí)，在教學(xué)過程中可以根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)基地等方面對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)優(yōu)化。

參考文獻(xiàn)

[1] 張恭慶.數(shù)學(xué)與國家實(shí)力（上）[DB/OL].http：//www.cms.org.cn/news/118.html， 2015.

[2] 李克強(qiáng).為何反復(fù)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的重要性[DB/OL].http：//www.gov.cn/xinwen/2018-01/04/content_5253247.htm.

[3] 普通高中課程方案和語文等課程標(biāo)準(zhǔn)[DB/OL].http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A26/s8001/201801/t20180115_324647.html.

[4] 教育部高等學(xué)校教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì).普通高等學(xué)校本科專業(yè)類教學(xué)質(zhì)量國家標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：高等教育出版社，2018.

[5]林慶南.點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)教學(xué)探索[J].廣西教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（03）：123-125.

[6]張亞圖.點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中的數(shù)學(xué)抽象方法[J].江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，19（03）：5-7.