吳志鵬 陳玉蘭

(福建省德化第一中學(xué)，362500)

通過建立空間直角坐標系,把空間幾何體中的點用坐標表示,進而利用空間中直線的方向向量、平面的法向量進行求角或求距離的運算,這是利用空間向量進行解題的思路.但近年來一些立體幾何問題中,在表示點的坐標時,有些點不能直接觀察獲知,即出現(xiàn)難以用坐標表示的“難”點,增加了問題求解難度. 如何突破此類難關(guān),本文總結(jié)求點坐標的一些方法,供讀者參考.

一、定點問題

1. 確定不能直接標記坐標的點

例1如圖1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=BB1,BC1∩B1C=O,AO⊥ 面BB1C1C.

(1)求證:AB⊥B1C;

(2)若∠B1BC=60°,直線A1B1與平面BB1C1C所成的角為30°,求二面角A1-B1C1-B的余弦值.

解(1)因為AO⊥平面BB1C1C,所以AO⊥B1C;因為BC=BB1,所以四邊形BB1C1C是菱形,BC1⊥B1C.又AO∩BC1=O,所以B1C⊥平面ABC1,從而B1C⊥AB.

(2)因為A1B1與平面BB1C1C所成的角為30°,A1B1∥AB,所以AB與平面BB1C1C所成的角為30°.因為AO⊥平面BB1C1C,所以AB與平面BB1C1C所成的角為∠ABO=30°.

評注建立坐標系后,點A1的坐標不能直接進行標記,此時利用向量的三角形法則運算、向量共線、向量相等等運算,輕松獲得點A1的坐標,解決問題.當然,也可以通過棱柱的兩底面平行,用面ABC的法向量替換面A1B1C1的法向量進行計算.

2. 確定不能標記位置點的坐標

評注本題球心坐標很難直接進行標記,此時假設(shè)球心O(x,y,z)，建立關(guān)于x,y,z的方程組,變幾何問題為代數(shù)問題,這也是在空間幾何體中求點坐標常用的一種方法.

二、動點問題

動點問題是空間中求點的坐標的一個難點.由于動點的坐標要滿足一定的約束條件,有必要先求出動點的軌跡方程,再根據(jù)其方程假設(shè)出動點的坐標,并利用向量共線、模相等、夾角關(guān)系等獲得動點的坐標.

1.動點在某坐標面內(nèi)與坐標軸垂直的直線上

例3如圖3,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥面ABCD,PA=AB,E為線段PB的中點,F為線段BC上的動點.

(1)求證:平面AEF⊥平面PBC.

(2)試確定點F的位置,使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°.

解(1)略.

故當點F為BC中點時,平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°.

評注利用點F在坐標面xAy上,且BC⊥AB,設(shè)點F的坐標時只需引入單參數(shù),降低問題求解難度.

2. 動點在某坐標面內(nèi)的直線上

(1)證明:平面PAC⊥平面ABC;

解(1)略.

3.動點在空間結(jié)構(gòu)中的直線上

例5在?ABC中,AB=BC=2，∠ABC=90°，點E,F分別為AB，AC的中點,將?AEF沿EF折起,使點A到達點P的位置,且PB=BE，如圖6所示.

(1)證明:EF⊥平面PBE；

(2)設(shè)N為線段PF上的動點,求直線BN與平面PCF所成角的正弦值的最大值.

解(1)略.

(2) 由(1)知EF⊥面PBE,進而面PBE⊥面BCFE.取BE的中點為O,由PB=PE,可知PO⊥BE，所以PO⊥平面BCFE.

設(shè)BN與面PCF所成角為θ,則

評析動點N在線段PF上,但此時線段PF所在的直線并不在某一個坐標平面中,利用向量共線關(guān)系可方便地將動點N的坐標用參數(shù)λ表示,使問題求解得以順利進行.