潘振嶸

(江蘇省木瀆高級中學，215101)

三角形有重心、內(nèi)心、外心、垂心和旁心,利用這“五心”構(gòu)建的解析幾何題,涵蓋了代數(shù)、三角、幾何等方面的知識,綜合性強,方法靈活.現(xiàn)舉幾例加以說明.

解設(shè)直線:y=k(x-2),其中k≠0.與拋物線方程聯(lián)立,消去x,得y2+(4k-k2)y+6k2=0.

依題意,Δ=(4k-k2)2-24k2>0,即k2-8k-8>0,(k-4)2>24.

評注本題按自然思路,先由解析法求得點P的坐標,再由重心的坐標公式得到點G的坐標,消去參數(shù)可得軌跡方程.解題時對綜合運算能力有較高要求,且軌跡方程要做到不重不漏.

(1)若⊙M與F1F2相切于點P,求證:|PF1|-|PF2|為定值;

(2)連結(jié)MN,求MN所在直線的傾斜角;

解(1)設(shè)⊙M分別與AF1與AF2切于點Q,R,則|F1P|=|F1Q|,|F2P|=|F2R|,|AQ|=|AR|.于是|PF1|-|PF2|=|F1Q|-|F2R|=(|F1Q|+|AQ|)-(|F2R|+|AR|)=|AF1|-|AF2|=2a(定值).

(2)由|PF1|+|PF2|=2c,且|PF1|-|PF2|=2a,解得|PF1|=c+a,|PF2|=c-a.

由點F1,F2在x軸上,O為F1,F2的中點,且|PF1|>|PF2|,可知點P在OF2上.又|OF2|=c,|PF2|=c-a,故點P的坐標為(a,0).結(jié)合MP⊥x軸,得點M的橫坐標為a.

同理可證點N的橫坐標也為a.于是MN⊥x軸,從而MN所在直線的傾斜角為90°.

評注第(1)問需熟悉內(nèi)接圓的幾何性質(zhì),并與雙曲線的定義綜合解題;第(2)問需由(1)聯(lián)想雙曲線的定義得出點P為定點,再由圓的切線性質(zhì)得出結(jié)論;第(3)問考查幾何與三角的綜合能力,對數(shù)形結(jié)合、方程思想的運用也提出了要求.

(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?求?AMN的外心C的軌跡E;

(2)當?AMN的外心C在E上什么位置時,使d+|BC|最小?最小值為多少?(其中d為外心C到直線c的距離)

解(1)如圖3,以直線b為x軸,過點A且與直線b垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系,則有A(0,p),B(2p,p).

設(shè)?AMN的外心C(x,y),則M(x-p,0),N(x+p,0).由|CA|=|CM|,得x2+(y-p)2=(x-x+p)2+y2,化簡得軌跡E:x2=2py.

評注本題第(1)問需要合理建系,由外心的定義選擇適當?shù)穆窂浇忸},路徑選擇不唯一;第(2)問圍繞拋物線的定義及經(jīng)典幾何最值設(shè)置問題,考查思維的靈活性.

評注本題思維方向不易把握.解題時可由幾個不同的特殊位置入手,在精準作圖的基礎(chǔ)上,先猜后證.