楊君偉

摘?要：在進(jìn)入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之后，學(xué)生們會發(fā)現(xiàn)我們所要思考的模式和解題方法比以前更加豐富了.但是在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)問題解答的時候，所要經(jīng)歷的依然是從觀察到思考這樣的過程.本文將對解題時常見的觀察角度進(jìn)行詳細(xì)敘述，并結(jié)合實(shí)例來說明如何在高中數(shù)學(xué)解題過程中進(jìn)行思維拓展.

關(guān)鍵詞：觀察;思考;高中數(shù)學(xué);思維拓展

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0077-02

俗話說得好：“智慧源于思考，思考源于觀察.”對同一個問題，從不同的角度去觀察，往往可以給我們帶來不一樣的思考和不一樣的方法，這正是一題多解的形成原因.另外，在高中數(shù)學(xué)問題的解答過程當(dāng)中，如何有效地突破一些較為復(fù)雜的難點(diǎn)，最關(guān)鍵的地方還是要通過觀察來進(jìn)行.那么如何通過有效的觀察來實(shí)現(xiàn)題目的多樣化求解呢？這就是本篇文章所要討論的問題.

一、觀察字母變量

在解題過程中首當(dāng)其沖的一個重要觀察角度就是要對相應(yīng)的字母變量進(jìn)行觀察.有時我們需要觀察變量的個數(shù)，并進(jìn)一步思考如何消元或換元（比如函數(shù)問題）;有時我們需要觀察變量的屬性，并進(jìn)一步思考選用什么知識工具去處理問題（比如解三角形問題）;有時我們需要觀察變量的次數(shù)，并進(jìn)一步思考如何設(shè)計求解路徑.以下舉一例說明：

例1?已知不等式x3-（2a+2）x2+（2a+1）x+λ≥0對任意的a∈[32，52]，x∈[1，2]恒成立，求正實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

這個題目中的不等式中含有三個字母，其中正實(shí)數(shù)λ是我們要求解范圍的變量，其余兩個變量的范圍是給定的，但是這兩個變量的次數(shù)存在高低不同，我們可以先分析次數(shù)較低的變量a，把恒成立的不等式改寫成：λ≥（2x2-2x）a-x3+2x2-x，a∈[32，52]，于是λ大于右邊關(guān)于變量a的一次函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值，即λ≥-x3+7x2-6x，x∈[1，2]，進(jìn)而λ大于右邊關(guān)于變量x的一次函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值，即λ≥8.

二、觀察式子結(jié)構(gòu)

通過觀察式子結(jié)構(gòu)往往可以幫助我們構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，比如：在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用小題中，我們需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式構(gòu)造合適的原函數(shù)解題;在數(shù)列通項公式求解題型中，我們需要觀察條件等式的特點(diǎn)，來選擇通項公式求解方法;在解三角形問題中，我們需要觀察已知等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)來判斷是應(yīng)該“角化邊”還是應(yīng)該“邊化角”.以下舉一例說明：

例2?已知f（x）=12x2-（2a+2）x+（2a+1）lnx，對任意的a∈[32，52]，x1，x2∈[1，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）-f（x2）|≤λ|1x1-1x2|恒成立，求正實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

在本題求解中，式子|f（x1）-f（x2）|≤λ|1x1-1x2|的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)為：含有兩個變量x1，x2，不妨假設(shè)x1<x2，可以通過變形將兩個變量分離，分離后的式子為：f（x1）-λx1≤f（x2）-λx2，兩邊結(jié)構(gòu)一致，可以通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義來求解.

高中數(shù)學(xué)當(dāng)中有很多重要的公式、性質(zhì)，通過對題目所給式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行觀察以及變形思考，能夠更快地將這些題目與已經(jīng)學(xué)到過的公式、性質(zhì)等建立聯(lián)系，快速構(gòu)建解題思路.

三、觀察運(yùn)算特點(diǎn)

數(shù)學(xué)的推理離不開運(yùn)算，而對運(yùn)算特點(diǎn)的仔細(xì)觀察，常常能幫我們尋找到正確的解題方向.這樣的觀察角度多見于不等式類問題，比如利用基本不等式求最值，利用對數(shù)平均值不等式解決極值點(diǎn)偏移問題，以及在自招或競賽中常見的柯西不等式的應(yīng)用等.以下舉一例說明：

例3?已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lga+lgb+lgc.

這個題目的左端變量位于真數(shù)位置，而且是“和式”運(yùn)算，這不利于我們對左端式子進(jìn)行變形分析，因為我們都知道，真數(shù)位置如果是乘除運(yùn)算，是可以進(jìn)行式子變形化簡的，但是這里真數(shù)的“和式”運(yùn)算，怎么樣才能轉(zhuǎn)化為“乘除”運(yùn)算？再觀察到左端和右端并不相等，所以我們可以利用不等式將“和式”化為“積式”，用到的工具當(dāng)然就是基本不等式.

四、觀察條件聯(lián)系

對于題目已知條件的觀察，主要是觀察條件之間的聯(lián)系，這在向量問題、立體幾何問題等題型中較多見.當(dāng)然，任何數(shù)學(xué)題目的求解都離不開條件的觀察，這里所強(qiáng)調(diào)的，是在條件繁多的情況下，我們要著重觀察分析條件之間的聯(lián)系.以下舉一例說明：

例4?已知兩個單位向量OA，OB，它們的夾角為2π3，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的單位圓弧上運(yùn)動，若OC=xOA+yOB，求x+y的最大值.

這個題目中，已知條件涉及到兩個單位向量OA，OB及其夾角，這兩個條件結(jié)合起來，可以計算兩個向量OA，OB的數(shù)量積;點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的單位圓弧上運(yùn)動，說明|OA|=1.這幾個條件結(jié)合在一起可以發(fā)現(xiàn)，在向量等式OC=xOA+yOB的兩端可以同時進(jìn)行平方運(yùn)算，得到關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的等式.再結(jié)合運(yùn)算特點(diǎn)的觀察，利用基本不等式工具即可求解.

五、觀察圖象圖表

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中非常重要的思想，其中的“形”指的就是圖象圖表.我們通過觀察圖象圖表，可以直觀感受到研究對象的變化規(guī)律，進(jìn)而引導(dǎo)我們進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)論證，理解問題的“本質(zhì)”.在解題過程中，觀察圖象圖表可以幫助我們快速理解題意，有時也可以幫助我們找到巧妙解.以下舉一例說明：

例5?已知函數(shù)f（x）=aex-x-1，若f（x）≥0對于任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

這個問題中的不等式可以變形為：a≥x+1ex，x∈R，則實(shí)數(shù)a大于等于右端函數(shù)的最大值，通過觀察右端函數(shù)的圖象即可得到問題的解.本題還可以等價變形為：1a（x+1）≤ex，x∈R，左端是一條恒過定點(diǎn)（-1，0）的動直線，右端是不含參的函數(shù)，其圖象是確定的，所以我們可以觀察動直線和右端曲線的位置關(guān)系來求解——當(dāng)動直線在曲線下方，或者剛好和曲線相切時，是滿足題意的，所以切線的斜率就是1a的最大值，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

文中提到的五種有關(guān)高中數(shù)學(xué)解題過程中的觀察角度都是因時而動的.對于不同類型的數(shù)學(xué)問題，有的時候可能需要結(jié)合多種類型的觀察方式才能夠得出美妙的結(jié)果，同學(xué)們要在平時的訓(xùn)練中細(xì)心體會，長期積累，方能做到靈活應(yīng)用.

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