馬宏酉

摘 要：高中數(shù)學(xué)是在整個(gè)學(xué)習(xí)生涯中最為重要的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)階段，數(shù)學(xué)是一切學(xué)科的基礎(chǔ)，常言道，學(xué)好數(shù)理化，走遍天下全不怕。就形象地說(shuō)明了學(xué)好數(shù)學(xué)有多么重要。而高中數(shù)學(xué)立體幾何，貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)邏輯學(xué)習(xí)的始終，因此，要想在高中打好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，就必須好好學(xué)習(xí)立體幾何的相關(guān)問(wèn)題。本文主要講解高中數(shù)學(xué)立體幾何外接球問(wèn)題，使學(xué)生建立起正確的空間想象和空間立體感。

關(guān)鍵詞：立體幾何;空間想象;立體感;邏輯論證

1、導(dǎo)語(yǔ)

空間幾何是高中立體幾何中較為難理解的一個(gè)部分，它要求學(xué)生有立體感，在一個(gè)平面空間內(nèi)能將幾何圖形的立體感想象出來(lái)，因此，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，最重要的就是要學(xué)會(huì)建立空間觀(guān)念，提高空間想象力。而在高考中，立體幾何外接球問(wèn)題幾乎是每年必考的知識(shí)要點(diǎn)，空間幾何體與球的外接問(wèn)題，本質(zhì)是在研究幾何體外接球的半徑問(wèn)題，但其實(shí)立體幾何外接球的解答問(wèn)題是有規(guī)律可循的。

2、正確學(xué)習(xí)使用立體幾何數(shù)學(xué)思維模式

在學(xué)會(huì)解答立體幾何外接球題型之前，需要先對(duì)數(shù)學(xué)立體幾何有個(gè)基礎(chǔ)的理解，以及正確建立空間幾何的邏輯思維。首先，要保證立體幾何論證的嚴(yán)謹(jǐn)性，對(duì)任何一個(gè)定義、推理和定理的理解要做到準(zhǔn)確無(wú)誤，，符號(hào)表示與定理要完全一致，不能有事實(shí)而非的理解態(tài)度，只有定理的所有條件都具備了，才能推出相關(guān)的結(jié)論。一定不能再條件沒(méi)有完全吻合的情況下就輕易地下結(jié)論。其次，一定要立足于課本中的基礎(chǔ)論證，夯實(shí)基礎(chǔ)，對(duì)于課本中所列舉出來(lái)的相關(guān)證明立體和定理、結(jié)論要確保完全準(zhǔn)確地掌握。定理的內(nèi)容一般總結(jié)的都很簡(jiǎn)單，但是定理在證明的過(guò)程中會(huì)有些難以理解，會(huì)讓初學(xué)者覺(jué)得很抽象，因此一定要多做題，多思考。再次，培養(yǎng)自己的空間感，一開(kāi)始，可以自己動(dòng)手做一些立體模型來(lái)幫助自己理解立體幾何，從簡(jiǎn)單的圖形如正方體、長(zhǎng)方體慢慢深入觀(guān)察，逐步培養(yǎng)自己對(duì)空間圖形的想象能力和識(shí)別能力。最后，通過(guò)轉(zhuǎn)化思想，建立數(shù)學(xué)思維模型，把理解的空間幾何圖形運(yùn)用到題目中去，通過(guò)解題來(lái)進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維，學(xué)習(xí)時(shí)，一方面要注意從實(shí)際出發(fā)，把學(xué)習(xí)的知識(shí)與周?chē)膶?shí)物聯(lián)系起來(lái)，另一方面，也要注意經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)的生活抽象空間圖形的過(guò)程，注重探索空間圖形的位置關(guān)系，歸納、概括它們的判定定理和性質(zhì)定理。

3、正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思維模式解決立體幾何外接球問(wèn)題

簡(jiǎn)單多面體外接球問(wèn)題是立體幾何中的難點(diǎn)和高考的重要考點(diǎn)，解決這類(lèi)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是解決球的半徑R和確定球心的位置問(wèn)題，而確定球心的位置是最關(guān)鍵步驟。在一個(gè)空間幾何中，如果一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的所有頂點(diǎn)距離都相等，那么這個(gè)定點(diǎn)就是該簡(jiǎn)單多面體的外接球的球心。這是課本里給出的關(guān)于球心的定義，根據(jù)這個(gè)定義以及證明的步驟，可以得出一系列的結(jié)論。將這些結(jié)論一一加以證明，學(xué)生對(duì)于外接球的基本問(wèn)題便有了一定程度的理解，尤其是對(duì)于解題中特別重要的論證——球心的位置，以及如何通過(guò)球心的位置來(lái)解答外接球的相關(guān)數(shù)據(jù)等有了更為清晰的解題思路。解題思路總結(jié)如下：1.出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，則根據(jù)體對(duì)角線(xiàn)可求出幾何體的外接球直徑2R等于體對(duì)角線(xiàn);2.出現(xiàn)兩個(gè)垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論：直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半，球心為直角三角形斜邊的中點(diǎn);3.出現(xiàn)多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)求解。而向量法幾乎是解題的萬(wàn)能方法，需要多動(dòng)手畫(huà)圖。

解答立體幾何外接球在高中教學(xué)與考試中是重點(diǎn)亦是難點(diǎn)，那么，主要有哪些立體幾何圖形存在外接球問(wèn)題呢：1.正方體的外接球，在立體幾何外接圓問(wèn)題中屬于基礎(chǔ)簡(jiǎn)單的題型，只要根據(jù)外接圓的定義和相關(guān)定理便可求出來(lái)，正方體的對(duì)角線(xiàn)為外接球球的直徑;2.長(zhǎng)方體與外接球，長(zhǎng)方體的內(nèi)角線(xiàn)為外接球的直徑;3.三棱錐與球，是考試的高頻考點(diǎn)，也是立體幾何中最能展現(xiàn)空間立體幾何思維的題型，要通過(guò)多種情況的分析來(lái)判定三棱錐的球心，并且大多數(shù)需要做輔助線(xiàn)甚至是空間直角坐標(biāo)系來(lái)判斷球心的位置，因此屬于考試中的難點(diǎn)。

高中數(shù)學(xué)立體幾何外接球問(wèn)題是在平面幾何和立體幾何教學(xué)之后，由此說(shuō)明，要想學(xué)好高中數(shù)學(xué)立體幾何外接球的問(wèn)題，必須要打牢基礎(chǔ)，立足于平面幾何和立體幾何的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，融會(huì)貫通，充分理解空間幾何與平面幾何之間的關(guān)系，以及直角坐標(biāo)系與向量之間的關(guān)系，這樣才能在學(xué)習(xí)立體幾何外接球問(wèn)題時(shí)打開(kāi)思路，拓寬數(shù)學(xué)思維方式。

4、總結(jié)

立體幾何是高中數(shù)學(xué)中非常經(jīng)典的內(nèi)容，它立足于平面幾何的基礎(chǔ)之上，也為日后進(jìn)入大學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)立體幾何奠定了根基。高中數(shù)學(xué)將簡(jiǎn)單的空間幾何體加以整理，并進(jìn)行了基礎(chǔ)介紹，包括棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球這些柱體、椎體和球體的簡(jiǎn)單整合，并對(duì)這些幾何圖形的表面積、體積、點(diǎn)與直線(xiàn)與立體圖形的性質(zhì)和關(guān)系進(jìn)行了基礎(chǔ)解析。如何理解并且運(yùn)用高中數(shù)學(xué)立體幾何相關(guān)判定方法，包括立體幾何外接球問(wèn)題，是學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)空間思維模式進(jìn)行思考的重要的教學(xué)內(nèi)容之一。

參考文獻(xiàn)

[1]閆威.立體幾何中關(guān)于棱錐外接球易錯(cuò)問(wèn)題的分析[J].中學(xué)生數(shù)理化：高二高三版.2018（21）：18-19

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