袁欣楠

高中解析幾何的知識點較多，包含了直線與圓、圓錐曲線等.有些非解析幾何問題運用解析幾何知識來求解，可優(yōu)化解題的方案，提升解題的效率.運用解析幾何知識解答非解析幾何問題，主要是將某些式子看作解析幾何中的直線、圓、拋物線、橢圓、雙曲線的方程，然后利用解析幾何中曲線的定義、性質(zhì)、圖形、公式等使問題獲解.

例1.在矩形 中， ，動點 在以點 為圓心且與 相切的圓上.若 ，則 的最大值為（）.

解析：如圖1，建立平面直角坐標系 ，則結(jié)合題意可知點 .

因為 ，由 得 ，

所以點 ，于是 .

又易知 ，所以 .

設 ，則 .

設 ，根據(jù)解析幾何知識可知：直線 與圓 有公共點，

所以圓心（0，0）到直線的距離 ，

所以 ，解得 ，所以 .

解答上述例題的關鍵在于靈活利用變化中的不變量（即 兩點之間的距離為定值）構建關于 和 的等式;然后借助直線與圓有公共點的充要條件，求得 的最大值.

例2設 ，其中 ， 是自然對數(shù)的底數(shù)，則當 變化時， 的最小值是__.

解析：構造點 ，則易知點 在函數(shù) 的圖象上，點 在拋物線 上.在同一坐標系內(nèi)分別畫出 和 對應的圖形如，圖2.設拋物線 的焦點為 ，因為準線方程為 ，根據(jù)解析幾何中拋物線的定義可得 ，所以 .

對 求導得 ，如圖3所示，曲線 在點 處切線 的斜率 ，所以切線 的方程為 .

由 可得 ，又 ，所以 ，

所以 ，所以 .

故所求 .

本題具有一定的難度，求解的關鍵在以下兩點：一是通過構造點和圓錐曲線，充分利用雙變量代數(shù)式 的幾何意義;二是借助曲線的切線以及圖形的直觀性，分析雙變量代數(shù)式 何時取得最小值.在解含有雙變量的代數(shù)式的最小值問題時，我們往往需要進行多次構造（如點、直線、圓錐曲線等），以便利用圓錐曲線的定義以及數(shù)形結(jié)合思想來使問題獲解.

例3 .如圖4，在 中，點 在邊 上，滿足 ，若 ，則 的面積為__.圖4

解析：結(jié)合圖形特點，我們可以先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，靈活運用有關解析幾何知識與三角形面積公式來解題.

解：建立如圖5所示的平面直角坐標系 ，根據(jù)解析幾何知識可知：直線 的方程為 ，即 ;直線 的方程為 ，即 .

設點 ，點 ，則

的中點 的坐標為 ，從而可得

，即 . ?①

又由 得 . ?②圖5

結(jié)合 ，將①②聯(lián)立可解得 ，所以點 .

故 ?.

該解法主要是從代數(shù)的角度對問題進行分析，利用直線方程求得有關交點的坐標，進而利用兩點間距離公式得出結(jié)果.在處理解三角形中的有關長度、面積等問題時，如果利用正、余弦定理及面積公式較難順利獲解，可考慮靈活運用相關解析幾何知識去探求解題的思路，簡化解題的過程.

綜上，關注解析幾何與其他知識的交匯，可以啟發(fā)我們從不同的角度去分析、解決問題.靈活運用解析幾何解答非解析幾何問題，不僅有利于培養(yǎng)數(shù)學抽象、直觀想象以及數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，還可以幫助我們提升解題的技能.

（作者單位：甘肅省白銀市第九中學）