韋雷

摘 要：隨著新課程改革的逐漸深入，高中階段的教學(xué)中，越來越重視學(xué)生拓展性思維和解題能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)一直都是教學(xué)中的核心學(xué)科，而在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，最值得問題既是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是歷年高考的頻繁考點(diǎn)。因此在實(shí)際的教學(xué)過程中，讓學(xué)生掌握有效的求解方法，這對于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成以及成績的提升具有關(guān)鍵的價(jià)值。本文筆者將針對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中函數(shù)最值的求解方法中配方法、換元法、單調(diào)性法和數(shù)形結(jié)合法四個(gè)方面進(jìn)行詳細(xì)分析，希望能夠?qū)W(xué)生解答函數(shù)最值問題提供一定的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù)最值;求解方法

對于函數(shù)的最值問題一直是被談?wù)撟疃嗟脑掝}，其主要的內(nèi)容涵蓋了基本的函數(shù)性質(zhì)問題、導(dǎo)數(shù)問題、均值不等式問題、線性規(guī)劃問題、向量問題等，其范圍基本上包含代數(shù)、三角形以及幾何等方面，其最值的求解方式的分析，主要是為了培養(yǎng)學(xué)生對于數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思維等思路的培養(yǎng)，以下筆者將針對此進(jìn)行細(xì)化的分析。

一、配方法的運(yùn)用

對于配方法的運(yùn)用上，它是函數(shù)最值問題求解過程中運(yùn)用最多的方式之一，其主要運(yùn)用的范圍就是二次函數(shù)或者是復(fù)合函數(shù)中，通過對相關(guān)分項(xiàng)的整理、轉(zhuǎn)化形成二次函數(shù)的形式，學(xué)生通過對自變量的取值范圍進(jìn)行帶入，即可取得函數(shù)的最值。

例如：在解答“求函數(shù)f（x）=-x2+4x-6，x∈[0，5]的值域”這個(gè)題目時(shí)，首先教師要引導(dǎo)學(xué)生對題目的變量條件進(jìn)行分析，讓學(xué)生將題目函數(shù)根據(jù)數(shù)量關(guān)系配方形成函數(shù)f（x）=-X2+4X-6=-（x-2）2-2;然后教師讓學(xué)生觀察函數(shù)，當(dāng)自變量x∈[0，5]時(shí)，函數(shù)在什么時(shí)候取最大值，即-（x-2）2=0時(shí)，然后將x=2帶入方程，可取得函數(shù)最大值，所以說，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)值取最大值f（x）=-2;那么只有當(dāng)（x-2）2在自變量范圍內(nèi)取最大值時(shí)，函數(shù)才能取得最小值，即當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)取最小值f（x）=-11，那么這個(gè)函數(shù)的值域就是限定在[-11，-2]。配方法的運(yùn)用可以說是函數(shù)最值求解中相對較為簡單的方式，很容易讓學(xué)生理解記憶。

二、換元法的運(yùn)用

對于換元法的運(yùn)用，基本上都是在基本初等函數(shù)的最值求解中運(yùn)用最為普遍，從基本的運(yùn)用上就是以一個(gè)假定項(xiàng)代替題目中的不確定項(xiàng)，將假定項(xiàng)帶入原方程，然后根據(jù)假定項(xiàng)的取值范圍求解函數(shù)最值。

例如：求函數(shù)y=x+√（x-1）的值域。這一問題，如何才能將換元法運(yùn)用到函數(shù)的求解上呢？首先，教師讓學(xué)生觀察函數(shù)解析式的基本形式，存在x與√（x-1）兩個(gè)變量;其次，讓學(xué)生尋找變量t代替√（x-1），即t=√（x-1），t≥0，那么x=t2+1，將t帶入方程即可得到y(tǒng)=t2+1+t，再通過配方法即可得到y(tǒng)=（t+1/2）2+3/4，從函數(shù)的自變量上分析，t≥0，由二次函數(shù)的性質(zhì)分析，當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)取最小值，即ymin=1，當(dāng)函數(shù)t→0時(shí)，ymax→+∞;最后，函數(shù)的值域即可求得，值域?yàn)閇1，+∞]。

三、單調(diào)性法的運(yùn)用

對函數(shù)的最值求解問題，不僅有配方法和換元法，還有根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，即根據(jù)函數(shù)的變量范圍，求解函數(shù)在不同變量范圍內(nèi)的最值問題，單調(diào)性法主要被應(yīng)用于復(fù)合函數(shù)最值的求解中。

例如：求解問題，首先教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)尋找出函數(shù)的單調(diào)性，利用換元法將函數(shù)項(xiàng)（x2-3x+5）替換為t（0≤x≤2），然后函數(shù)就變?yōu)閘og1/2t，根據(jù)函數(shù)的值域范圍，即可得到函數(shù)f（x）在（0≤x≤3/2）上屬于遞減函數(shù)，而在（3/2≤x≤2）上為遞減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分析，即在x=3/2上取最大值，f（x）max=f（3/2）=log1/211/4，其最小值的求解就需要從變量x=0或x=2上得出，即f（0）=log1/25，f（2）=log1/23，通過比較分析，即可得出f（x）min=log1/25，然后學(xué)生就能很清楚的求出這個(gè)冪函數(shù)的最值區(qū)間，即函數(shù)值域?yàn)閇log1/25，log1/211/4]。這樣單調(diào)性法的運(yùn)用，還經(jīng)常地被用到三角函數(shù)之中，這里需要在注意的就是函數(shù)的取值范圍，注重分析函數(shù)的性質(zhì)，并不是每個(gè)函數(shù)都有一個(gè)最值區(qū)間或最值點(diǎn)。

四、數(shù)形結(jié)合法運(yùn)用

對于函數(shù)的最值問題求解上，從實(shí)際的方法運(yùn)用上，數(shù)形結(jié)合法可以說是最為普遍和常用的，數(shù)形結(jié)合不僅可以讓學(xué)生學(xué)生通過數(shù)與形的結(jié)合中尋找出數(shù)量間的關(guān)系，還可以讓學(xué)生更為清楚地認(rèn)識(shí)幾何函數(shù)的特點(diǎn)。對于數(shù)形結(jié)合法的運(yùn)用，一般情況下都是被應(yīng)用于幾何意義的函數(shù)最值求解。

例如：已知x2+y2-2x+4y-20=0，求x2+y2的最值是多少？這個(gè)問題看似是一個(gè)簡單的二元二次方程，但是如果從數(shù)據(jù)之間的關(guān)系上分析，通過轉(zhuǎn)換即可得到方程（x-1）2+（y+2）2=25，通過這個(gè)方程分析，學(xué)生結(jié)合數(shù)形關(guān)系就會(huì)得到一個(gè)以P（1，-2）為圓心，半徑r=5的圓，這樣就將這個(gè)方程的最值問題轉(zhuǎn)換為方程x2+y2與圓結(jié)合的最值問題，求解過程中設(shè)定x2+y2=u，根據(jù)原方程移項(xiàng)可得u=2x-4y+20，那么y=x/2+（20-u）/4，即斜率為1/2的直線與圓相交，那么u的最值問題，就轉(zhuǎn)換為求解直線在y軸的截距最值問題，根據(jù)數(shù)形結(jié)合就可以得出圓心到切線的近距離只能是小于或這等于圓的半徑，即最最小值就變?yōu)?-√（12+22），最大值則為

5+√（12+22），那么x2+y2min=5-√5，x2+y2max=5+√5。這樣的數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用學(xué)生能夠很清晰的看出數(shù)量的變化與關(guān)系，提升學(xué)生的階梯效率和質(zhì)量，這對于學(xué)生成績的提升具有重要價(jià)值。

結(jié)束語

綜上所述，這些對于函數(shù)最值求解方式的分析，不僅可以為學(xué)生提供更為豐富的學(xué)習(xí)思路和解題方法，而且，這些方法之間的靈活運(yùn)用還可以幫助學(xué)生形成一個(gè)更具邏輯性和條理化的數(shù)學(xué)思維，實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)和解題效率的全面提升。以上論述僅為筆者個(gè)人的想象與看法，除了以上的解題方法之外，還有很多方式，期望廣大的數(shù)學(xué)教師繼續(xù)進(jìn)行探索。

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